第二章 二次函数（单元自测·培优卷）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第二章二次函数培优卷（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 A A C C B A B D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.1 12.4 13.<-1且B>3 14.4 15.（2,-2) 16.①②③④ 三、解答题（共8小题，共72分） 17.【详解】(1)解：将2,1代入y=x2+bx+1得，22+2b+1=1, 解得：b=-2,2分 :该抛物线的函数表达式为y=x2一2x+1; ,3分 (2)解：：P(0,4),AB∥x轴， :当y=4时，x2-2x+1=4, 解得：x=-1,x2=3, .5分 ∴.AB=3--1=4, .6分 18.【详解】(1)解：依题意，y=x2-2x-3=x2-2x+1-1-3=(x-1)2-4, .该抛物线的顶点坐标为1，-4；.2分 (2)解：：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A和B, 令y=0,则0=x2-2x-3=(x-3)(x+1), 解得x=-1,2=3, 1/8 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点A在点B的左边， A-1,0,B3,0, 0B=3, …… 4分 :抛物线y=x2-2x-3与y轴的交点为C. .令x=0,则y=02-2×0-3=-3, C0,-3), 则0C=3, 5分 0B=3,∠B0C=90°， ∴.△BOC是等腰直角三角形， ∴∠0CB=45°， .sin∠0CB=sin45o= ，6分 2 19.【详解】(1)证明：：二次函数为y=x2-2kx-(4k+4), .a=1,b=-2k,c=-(4k+4), 判别式△=b2-4aC=(-2k)2-4×1×[-(4k+4)]=4k2+4(4k+4)=4k2+16k+16, 化简得△=4(K2+4k+4)=4(k+2)}2,… 2分 :无论k为何值，(k+2)2≥0， .△=4(k+2)2≥0， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与X轴都有交点；… 4分 (2)解：二次函数y=r产-2-4+4)的对称轴为=-6：-2k, 2a2×1 又：对称轴为x=1, k=1, 代入函数得y=x2-2X1XX-(4×1+4)=X2-2X-8,…6分 令y=0,则x2-2x-8=0, 解得(x-4)(x+2)=0, .x=4或x=-2, 它与X轴的交点坐标为(4,0)和（-2,0)..8分 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.【详解】(1)解：：y=ax2-2ax-2; 直线=2a1； -2a (2)解：=y2, ∴点A、B关于对称轴对称， 对称轴为直线x=1,x=0, x2=2×1-x1=2, 故答案为：2； 4分 (3)由题可知Mm,am2-2am-2,N(m,am-2）, :.MN am2-3am, 画出MN=am2-3am函数图象， X- 6分 要使得线段MN的长随m的增大而减小， 由图可知，m<0或≤m<3. 8分 21.【详解】(1)解：①由题意得H(0,4),I12,4),右边钢缆的抛物线顶点为6,2)， 设右边钢缆的抛物线表达式为y=a,(x-6)+2, 2分 H B 图1 图2 3/8 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :H(0,4, .4=a(0-6)2+2, 1 :a=18' 1 E及6+2.4分 ②由题意得H(0,4),G（-12,4,左边钢缆的抛物线顶点为-6,2)， 设左边钢缆的抛物线表达式为y=a,(x+6)+2, H O xH(0,4), B B 图1 图2 4=a(0+6)2+2, 1 :a=18' 1 男=1g+6+2. 6分 (2)解：设拱桥侧面抛物线表达式为y,=a2x2, 由题意得F(6,-1.5, .-1.5=36a2, 1 :.a2=24 12 :y= 打长度为则=-⅓=x-6+(京- +4,8分 3 7 >0, 当-气-2<兰<12]时，有最小值为9 7 7 答：灯带长度的最小值是9米。 10分 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22.【详解】(1)解：将点1,0)代入y=(-m)2+2-m2: (1-m)2+2-m2=0 3 1-2m+m2+2-m2=0→3-2m=0→m= 2分 2 (2)解：二次函数y=(x-m)2+2-m2的对称轴为x=m,开口向上. 情况1：m≤0 在0≤x≤2时，y随x的增大而增大，最小值在x=0处： yn=(0-m）2+2-m2=2 …3分 情况2：0<m<2 最小值在对称轴x=m处： ymin 2-m2 … 4分 情况3：m≥2 在0≤x≤2时，y随x的增大而减小，最小值在x=2处： yn=(2-m）尸+2-m2=6-4m5分 综上，最小值为 [2 (m≤0) ymn=2-m2(0<m<2）6分 6-4m(m≥2) (3)解：当x可取全体实数时，y的最小值为2-m2. 己知ymn=-1且m>0,得： 2-m2=-1→m2=3→m=V5 此时函数为y=(x-⑤}2-1.8分 令y=0,解方程(x-V3)2-1=0: x=√3±1 所以A(V3-1,0),B(V3+1,0), AB=(5+1)-(V5-1)=2. 10分 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.【详解】解：思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买100÷2=50件， 则50×[80-(50-30)×1-201+50×(80-20-20)=4000元， 即：公司将产品平均出售给两个经销商，可以获利4000元； .2分 思考2：设公司出售给经销商A的数量x件，其中x>70,则出售给经销商B的数量100-x)<30件， 则公司可获利y=80-(x-30)×1-20x+(100-x)(80-20 =-x2+30x+6000 =-(X-15)2+6225,4分 当x=70时，y=3200, -1<0, x>70,则y随x增大而减小，即获利小于3200元， 不能实现保底利润； ………….6分 思考3：设公司出售给经销商A的数量x件，则出售给经销商B的数量100-x)件， ①当0≤x≤30，则100-x≥70， 由题意可得：公司可获利y=(80-20)x+(100-x)(80-20-20)=20x+4000 当y=4400时，x=20, :20>0,则y随x增大而增大， 当20≤x≤30时，能实现保底利润； … 8分 ②当 x>30 100-x>30' 即30<x<70时， 由题意可得：公司可获利y=80-（x-30)×1-20x+(100-x)(80-20-20)=-x2+50r+4000 =-(x-25)2+4625 当y=4400时，x=40(x=10不符题意，舍去)， :-1<0,则当30<x<70时，y随x增大而减小， .当30<x≤40时，能实现保底利润； 10分 ③当x≥70时，由思考2可知，不能实现保底利润； 11分 综上，经销商A购买20~40件（包括20件，40件），经销商B购买80~60件（包括80件，60件)，能实 现保底利润. 12分 6/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 24.【详解】(1)解：将点A4,0,B(-2,0代入y=ax2+bx-2中， [16a+4b-2=0, 2分 4a-2b-2=0, 1 解得 a=4 1 b=2 ·抛物线的解析式为y=x-1x 1 x-2: 421 4分 (2)解：对于y=x2-x x-2,当x=0,y=-2 42 C(0,-2), :抛物线肉解折式为少子一分产 2t-2, :对称轴为直线x=1. 设P1,m, :B(-2,0 BP=V9+m2,CP=V1+(m+22. 6分 :△PBC是以BC为底的等腰三角形， :BP=CP，即V9+m2=1+(m+2}2, 解得m=1, 。点P的坐标为(1,1；… 7分 (3)解：C(0,-2), .设直线AC的解析式为y=x-2, 把A4,0)代入，得4k-2=0, 解得k=2' -2 8分 如图，过点M作MD∥y轴交AC于点D, 7/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 y B -2八04 C M :.△ONC∽△MND, NO CO 10分 MN MD :点M的横坐标为t, w--- NO CO nv MN MD1 1 t2-2+t+24t-2)+1 4 :当1=2时，-21有最大值1， NO 有最小值2，此时M(2,-2). 12分 MN 8/8 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第二章 二次函数·培优卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数的最大值为3 B．该函数图象的对称轴为直线 C．该函数图象开口向上 D．当时，函数值随的增大而减小 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故C错误； 对称轴为直线，故B错误； 函数有最大值，最大值为 ，故A正确； 当时，随增大而增大，故D错误． 故选A． 3．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵点与关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 设另一个交点的横坐标为m， ∵抛物线与x轴的一个交点为，且两个交点关于对称轴对称， ∴则， 解得， ∴另一个交点为． 故选：C． 4．已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把点和点代入二次函数中， 则，， ∵， ∴，即， ∴，解得，这与矛盾，故不成立； 或，解得， 又， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴二次函数的图像开口向下，顶点横坐标， ∴y的最大值在处，， 解得， ∴该函数解析式为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的最小值为． 故选：B． 6．将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∵将抛物线向左平移8个单位， ∴平移后的抛物线解析式为：， ∵平移后的抛物线对称轴为直线， ∴， ， ∴平移后的抛物线解析式为：， 在中，令，则， ∴平移后的抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：A． 7．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 8．一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项：一次函数，二次函数，不符合题意； 选项：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； 选项：一次函数，二次函数，不符合题意； 选项：一次函数，；二次函数，，可得，不符合题意； 故选：． 9．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 【答案】D 【详解】解：由题意得，当时，， ∴， ∴或（舍去）； ∴， 当时， 当时，， ∴和时，小球离地面的高度不相同，故A说法错误； ∵， ∴当时，有最大值， ∴时，小球到达最高点，故B说法错误； 当时，， ∴时，小球没有回到地面，故C说法错误； ∵，， ∴当时，h随t的增大而减小， ∴当时，小球处于下降阶段，故D说法正确； 故选：D． 10．如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3（对应点P）和 ∴， ∴， 联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3和， ∴， ∴， ∵点A、B在直线上， ∴ ∴ ， ∵， ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若抛物线经过点、、， 则 【答案】 【详解】解：∵抛物线经过点、、， 故代入得， 解得 故答案为：1． 12．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度后，得到的抛物线交y轴于点A，则m的值为 ． 【答案】4 【详解】解：由题意，平移后的解析式为， 把代入，得， 解得； 故答案为：4． 13．设一元二次方程的两实数根分别为α、β且，则α、β满足 ． 【答案】且 【详解】方程的两实数根α、β可看作抛物线与直线的两交点的横坐标， 而抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图， 所以且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 14．已知函数，若时，，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴函数最小值为． 当时，，即：， 解方程得：或， ∴的取值范围为，即，， ∴． 由于二次函数图象在顶点附近最平缓，对于其他，，故最大值为． 故答案为：． 15．如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：根据二次函数的对称性可知， 即， 如图，连接，交直线于P，可知此时最小， 当时，， 由题意得：， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得： ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴． 故答案为：． 16．如图，抛物线与轴交于，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【详解】解：抛物线与轴交于，， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 抛物线开口向下， ， ， 抛物线交轴正半轴， ， ，②正确； 抛物线的对称轴，开口向下， 时，有最大值，最大值， （为任意实数）， 即（为任意实数），③正确； ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 将代入， 得， ， 二次函数解析式为，直线的解析式为， 过点作轴交于点， ， ，， ， ， ， 当时，的面积最大，④正确． 综上，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数图象与系数的关系，二次函数最值、待定系数法求一次函数解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 2分 该抛物线的函数表达式为； 3分 （2）解：，轴， 当时，， 解得：，， 5分 ． 6分 18．（6分）如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左边，与轴的交点为． (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的值． 【详解】（1）解：依题意，， ∴该抛物线的顶点坐标为； 2分 （2）解：∵抛物线与轴交于点和， ∴令则， 解得， ∵点在点的左边， ∴， ∴， 4分 ∵抛物线与轴的交点为． ∴令则， ∴， 则， 5分 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵． 6分 19．（8分）已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 【详解】（1）证明：∵ 二次函数为 ， ∴ , , ， 判别式 ， 化简得 ， 2分 ∵ 无论 为何值，， ∴ ， 即无论 为何值时，该二次函数的图像与 轴都有交点； 4分 （2）解：∵ 二次函数 的对称轴为 ， 又∵ 对称轴为 ， ∴ ， 代入函数得 ， 6分 令 ，则 ， 解得 ， ∴ 或 ， ∴ 它与 轴的交点坐标为 和 ． 8分 20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和在该抛物线上，如果，且，那么 ； (3)已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵； ∴对称轴为直线x1； 2分 （2）解：∵， ∴点A、B关于对称轴对称， ∵对称轴为直线，， ∴， 故答案为：2； 4分 （3）由题可知， ∴， 画出函数图象， 6分 要使得线段的长随m的增大而减小， 由图可知，或． 8分 21．（10分）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， 2分 ∵， ∴， ∴， ∴． 4分 ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴． 6分 （2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 设灯带长度为，则， 8分 ∵， ∴当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是米． 10分 22．（10分）已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过点，求m的值； (2)当时，求y的最小值（用含m的代数式表示）； (3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 【详解】（1）解：将点代入： 2分 （2）解：二次函数的对称轴为，开口向上． 情况1： 在时，y随x的增大而增大，最小值在处： 3分 情况2： 最小值在对称轴处： 4分 情况3： 在时，y随x的增大而减小，最小值在处： 5分 综上，最小值为 6分 （3）解：当 x 可取全体实数时，y 的最小值为． 已知且，得： 此时函数为． 8分 令，解方程： 所以，， ． 10分 23．（12分）综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 【详解】解：思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件， 则元， 即：公司将产品平均出售给两个经销商，可以获利4000元； 2分 思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件， 则公司可获利 ， 4分 当时，， ∵， ∴，则随增大而减小，即获利小于3200元， ∴不能实现保底利润； 6分 思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件， ①当，则， 由题意可得：公司可获利 当时，， ∵，则随增大而增大， ∴当时，能实现保底利润； 8分 ②当，即时， 由题意可得：公司可获利 当时，（不符题意，舍去）， ∵，则当时，随增大而减小， ∴当时，能实现保底利润； 10分 ③当时，由思考2可知，不能实现保底利润； 11分 综上，经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润． 12分 24．（12分）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得 2分 解得 抛物线的解析式为； 4分 （2）解：对于，当 ∴， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线． 设， ∵ ． 6分 是以为底的等腰三角形， ，即， 解得， 点的坐标为； 7分 （3）解：∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 8分 如图，过点作轴交于点， ∴， ． 10分 点的横坐标为， ， ， 当时，有最大值1， ∴有最小值2，此时． 12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第二章 二次函数·培优卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数的最大值为3 B．该函数图象的对称轴为直线 C．该函数图象开口向上 D．当时，函数值随的增大而减小 3．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（） A． B． C． D． 6．将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 9．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 10．如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若抛物线经过点、、， 则 12．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度后，得到的抛物线交y轴于点A，则m的值为 ． 13．设一元二次方程的两实数根分别为α、β且，则α、β满足 ． 14．已知函数，若时，，则的最大值是 ． 15．如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为 ． 第15题 第16题 16．如图，抛物线与轴交于，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 18．（6分）如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左边，与轴的交点为． (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的值． 19．（8分）已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和在该抛物线上，如果，且，那么 ； (3)已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围． 21．（10分）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 22．（10分）已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过点，求m的值； (2)当时，求y的最小值（用含m的代数式表示）； (3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 23．（12分）综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 24．（12分）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元自测 第二章 二次函数·培优卷 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数的最大值为3 B．该函数图象的对称轴为直线 C．该函数图象开口向上 D．当时，函数值随的增大而减小 3．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x y 由表可知，抛物线与轴的一个交点是，则与轴另一个交点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．已知一个二次函数，当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值是（） A． B． C． D． 6．将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．一次函数和二次函数（a，b，c是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 9．从地面竖直向上抛出的小球离地面的高度h（单位；）与小球的运动时间t（单位：）之间满足．则下列选项中正确的是（   ） A．和时，小球离地面的高度相同 B．时，小球到达最高点 C．时，小球回到地面 D．时，小球处于下降阶段 10．如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若抛物线经过点、、， 则 12．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度后，得到的抛物线交y轴于点A，则m的值为 ． 13．设一元二次方程的两实数根分别为α、β且，则α、β满足 ． 14．已知函数，若时，，则的最大值是 ． 15．如图，抛物线的对称轴为直线，点A、B是抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为，在对称轴上有一点P，使的值最小的P的坐标为 ． 第15题 第16题 16．如图，抛物线与轴交于，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 18．（6分）如图，已知抛物线与轴交于点和，点在点的左边，与轴的交点为． (1)用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)求的值． 19．（8分）已知二次函数． (1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； (2)若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 20．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和在该抛物线上，如果，且，那么 ； (3)已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围． 21．（10分）某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求其中一条钢缆抛物线的函数表达式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 22．（10分）已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过点，求m的值； (2)当时，求y的最小值（用含m的代数式表示）； (3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 23．（12分）综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 24．（12分）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $