8.2.2 第2课时 两角和与差的正切 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

1.的值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选B.＝×＝×＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝1.故选B. 2．若cos (－α)＝，且α∈(，π)，则tan (α＋)＝(　　) A．－ B． C． D．7 解析：选C.依题意 α∈(，π)，cos (－α)＝sin α＝，所以cos α＝－＝－，所以tanα＝－，所以tan (α＋)＝＝.故选C. 3．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值为(　　) A．－ B． C．1 D．－1 解析：选B.因为tan (20°＋40°)＝ ＝tan 60°＝，所以tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)，所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .故选B. 4．已知tan α＝2，tan (α＋β)＝－1，则＝(　　) A． B． C．2 D． 解析：选D.由题tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝3，所以＝＝＝＝.故选D. 5．(多选)下列化简结果正确的是(　　) A．＝－ B．＝ C．cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝－ D．sin ＋cos ＝ 解析：选BD. 对于A，原式＝ ＝tan ＝tan ＝，故A错误； 对于B，＝tan (24°＋36°) ＝tan 60°＝，故B正确； 对于C，cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝sin (52°－22°)＝sin 30°＝，故C错误； 对于D，sin ＋cos ＝(sin ＋cos )＝sin ＝sin ＝，故D正确．故选BD. 6．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则下列各式中正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 解析：选CD.因为C＝120°，所以A＋B＝60°，所以A＋B＝，且tan (A＋B)＝，故选项A，B错误；因为tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝， 所以tan A tan B＝，① 又tan A＋tan B＝，② 所以联立①②解得tan A＝tan B＝， 又因为A，B为△ABC内角，所以A＝B＝30°， 所以cos B＝sin A，故选项C，D正确． 7．已知在△ABC中，tan A tan B－tan A－tan B＝，则C的大小为________． 解析：依题意有＝－， 即tan (A＋B)＝－. 又因为0<A＋B<π， 所以A＋B＝， 所以C＝π－A－B＝. 答案： 8．已知tan α＋tan β＝3，sin (α＋β)＝3sin (α－β)，则tan (α－β)＝______________． 解析：因为sin (α＋β)＝3sin (α－β)，所以sin αcos β＋cos αsin β＝3(sin αcos β－cos αsin β)， 则sin αcos β＝2cos αsin β，即tan α＝2tan β，又tan α＋tan β＝3，联立得tan α＝2，tan β＝1， 故tan (α－β)＝＝. 答案： 9．已知0＜α＜，sin α＝，tan (α－β)＝－，则tan β＝__________，＝________． 解析：因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝＝，所以tanα＝＝，又因为tan (α－β)＝－， 所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝ ＝＝＝3， 所以＝＝＝＝. 答案：3　 10．计算：(1)tan 50°－tan 20°－tan 50°tan 20°； (2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°). 解：(1)tan 50°－tan 20°－tan 50°tan 20° ＝tan (50°－20°)(1＋tan 50°tan 20°)－tan 50°tan 20° ＝tan 30°(1＋tan 50°tan 20°)－tan 50°tan 20° ＝＋tan 50°tan 20°－tan 50°tan 20°＝. (2)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋tan (21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°tan 24°)tan 45°＋tan 21° tan 24°＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2. 同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2.所以原式＝2×2＝4. 11．若tan 2α＝3tan (α－β)，则tan (α＋β)的最大值为(　　) A． B．1 C．2－ D． 解析：选D.因为α＋β＝2α－(α－β)， 所以tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)] ＝＝， 设tan(α－β)＝t，则＝＝≤＝，当且仅当＝3t(t>0)，即t＝时，等号成立．故选D. 12．(多选)已知α∈(，π)，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若sin(α＋)＝－，则下列点在角α的终边上的是(　　) A．(－3，4) B．(－4，3) C．(－6，8) D．(－8，6) 解析：选BD.因为α∈(，π)， 所以α＋∈(，)，则cos (α＋)＝－，即tan (α＋)＝，所以tan α＝tan [(α＋)－]＝＝－，选项A，C中，tan α＝－；选项B，D中，tan α＝－，故选BD. 13．若α，β∈(－，)，且tan α，tan β是方程x2＋4x＋5＝0的两个根，则α＋β＝________． 解析：由题可得tan α＋tan β＝－4，tan αtan β＝5， 所以tan (α＋β)＝＝＝， 因为α，β∈(－，)，且tan α＜0，tan β＜0， 所以α，β∈(－，0)，则α＋β∈(－π，0)， 所以α＋β＝－. 答案：－ 14．已知＝－8，α∈(0，). (1)求tan α的值； (2)若β∈(0，)，且cos (＋β)＝，求α＋β的值． 解：(1)由题意得，＝＝－8，解得tan α＝. (2)因为β∈(0，)，所以<＋β<， 且cos (＋β)＝，所以sin (＋β)＝， 所以cos β＝cos ＝×＋×＝， 所以sin β＝，则tan β＝， 所以tan (α＋β)＝＝＝1， 又因为α＋β∈(0，)，所以α＋β＝. 15．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为(　　) A．1 B． C．1或 D．1或10 解析：选C.因为α＋β＝， 所以tan (α＋β)＝＝1， 所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)·lg ， 所以1＝1－lg (10a)·lg ， 所以lg (10a)·lg ＝0， 所以lg (10a)＝0或lg ＝0， 所以a＝或a＝1. 16．已知函数f(x)＝. (1)若f(φ)＝3，求tan φ的值； (2)若f(α－β)＝－，f(α)＝－，且α∈(0，π)，β∈(，π)，求2α－β的值． 解：由已知f(x)＝， 即f(x)＝. (1)因为f(φ)＝3，即＝3， 解得tan φ＝5. (2)依题意，由f(α－β)＝－，f(α)＝－ 得＝－，＝－， 解得tan (α－β)＝，tan α＝， 所以tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α] ＝＝＝1. 因为α∈(0，π)，tan α＝， 所以α∈(0 ，)，又β∈(，π)， 所以2α－β∈(－π，－)， 所以2α－β＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $