7.2.2 单位圆与三角函数线 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．已知角α的终边与单位圆交于点(－，－)，则sin α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选B.根据任意角的正弦的定义，可得sin α＝－. 2．如果，分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是(　　) A．||<||<0 B．||<0<|| C．||>||>0 D．||>||>0 解析：选D.角β＝的余弦线与正弦线的长度相等，结合图象可知角α＝的余弦线和正弦线满足||>||>0. 3．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上 解析：选B.因为sin α＝1或sin α＝－1，所以角α的终边在y轴上．故选B. 4．点P为单位圆x2＋y2＝1与x轴正半轴的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P′，当转过的弧长为时，点P′的坐标为(　　) A．(，－) B．(－，) C．(－，) D．(，－) 解析：选B.点P从点(1，0)开始逆时针旋转到点P′，转过的角度为θ，则θ＝＝，从而可知P′(－，). 5．已知A是△ABC的一个内角，且tan A－≥0，则sin A的取值范围是(　　) A．[，1) B．[，1) C． D． 解析：选A.因为tan A－≥0，所以tan A≥，令tan A＝，又0＜A＜π，所以A＝，在单位圆中，作角的正切线MT，如图所示．由图可得，当≤A＜时，tan A≥ ，所以≤sin A＜1， 即sin A的取值范围是[，1).故选A. 6．(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P，则sin α的值可能是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选AC.由题意可得sin α＝＝，解得m＝±4.当m＝4时，sin α＝；当m＝－4时，sin α＝－.故A，C正确，B，D错误．故选AC. 7．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sin α的值为________. 解析：由题设可知sin α的值为－. 答案：－ 8．设P是角α终边上一点，且OP＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________. 解析：由P(cos α，sin α)，得Q(－cos α，－sin α). 答案：(－cos α，－sin α) 9．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则2cos α＋tan α＝________． 解析：角α的终边与单位圆的交点为P，则cos α＝－，tan α＝－，则2cos α＋tan α＝－－＝－. 答案：－ 10．作出角的正弦线、余弦线和正切线． 解：如图，作角的终边与单位圆的交点为P.过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过A(1，0)作单位圆的切线AT，与角的终边的反向延长线交于点T，则角的正弦线为，余弦线为，正切线为. 11．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是(　　) A．等边三角形 　 B．直角三角形 C．不等边的锐角三角形 　 D．钝角三角形 解析：选D.当0＜α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝，所以α必为钝角，所以该三角形为钝角三角形． 12．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈，使tan θ<sin θ的角θ∈∪，故θ的取值范围是.故选B. 13．将sin ，cos ，tan 按从小到大的顺序排列为________________． 解析：在单位圆中分别作角与角(图略)，可知为第三象限角，所以cos <0.又0<<，所以的正切线大于正弦线，即0<sin <tan ，所以cos <sin <tan . 答案：cos <sin <tan 14．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α<－. 解：(1)如图1所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－，所以满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－＋kπ，k∈Z}． (2)如图2所示，过点(0，－)作x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP′＝－，所以∠xOP＝，∠xOP′＝，所以满足条件的所有角α的集合是{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}． 15．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D.因为＜3＜π，作出单位圆如图所示． 3弧度的正弦线、余弦线分别为，， 所以sin 3>0，cos 3<0，所以sin 3－cos 3＞0. 因为||＜||，所以sin 3＋cos 3＝||－||＜0. 故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限． 16．已知α∈，求证：1＜sin α＋cos α＜. 证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过点P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，垂足分别为M，N. 所以MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α，在△OMP中，MP＋OM＞OP， 即sin α＋cos α＞1. 因为S△OAP＝OA·MP＝y＝sin α， S△OBP＝OB·NP＝x＝cos α， S扇形OAB＝π×12＝， 又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB， 所以sin α＋cos α＜， 即sin α＋cos α＜， 所以1＜sin α＋cos α＜. 学科网（北京）股份有限公司 $