7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

1．从13：00到当天13：25，某时钟的分针转动的弧度为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，所以分针转动的弧度为－π＝－.故选C. 2．在半径为9的圆中，100°的圆心角所对弧长为(　　) A．900 B．5π C．π D．10π 解析：选B.100°＝×100＝，则所对弧长为×9＝5π.故选B. 3．与终边相同的角的表达式中，正确的是(　　) A．45°＋2kπ，k∈Z B．k·360°＋，k∈Z C.k·360°＋315°，k∈Z D．2kπ－，k∈Z 解析：选D.在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误；与终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)的形式，当k＝－2时，2kπ＋＝－，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．故选D. 4．如图所示，已知⊙O的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.设⊙O的半径为r，劣弧的长为l，过圆心O作OD⊥AB于点D，则D为AB边的中点．因为AO＝r，∠OAD＝30°，AD＝r·cos 30°＝r，所以边长AB＝2AD＝r，所以劣弧的长l＝AB＝r.又α是负角，所以α＝－＝－＝－.故选D. 5.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题．如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为6，圆心角为，则此弧田的面积为(　　) A．12π－9 B．9π－12 C．12π－3 D．12π 解析：选A.由题意得，扇形半径r＝6，圆心角α＝，扇形面积为αr2＝××62＝12π，设点C为AB的中点，连接OC，则OC⊥AB，由∠AOB＝，有∠OAC＝，得OC＝3，AC＝3，S△AOB＝AB·OC＝×6×3＝9，所以此弧田的面积为12π－9.故选A. 6．(多选)若角α的终边与角的终边关于x轴对称，且α∈(－2π，2π)，则α的值可能为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选AD.因为角α的终边与角的终边关于x轴对称，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，又因为α∈(－2π，2π)，所以当k＝0时，α＝－；当k＝1时，α＝.故选AD. 7．把下列各角度与弧度进行互化． (1)18°＝________；(2)π＝________． 解析：(1)18°＝18×＝. (2)π＝×180°＝54°. 答案：(1)　(2)54° 8．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20°，则这条弧所在圆的半径为________． 解析：由于20°＝，所以根据弧长公式得这条弧所在圆的半径为＝9. 答案：9 9．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为30 cm，内圆半径为10 cm，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料________cm2. 解析：由题意可知，扇环的面积为S＝××(302－102)＝300π(cm2). 答案：300π 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界). 解：(1)如题图1，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以题图1中阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}． (2)如题图2，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z). 不妨设题图2中右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2， 则M1＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}， M2＝{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}． 所以题图2中阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝{α|2kπ<α<＋2kπ或＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}． 11．如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为(　　) A． B． C． D．π 解析：选A.如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠FCD＝，又∠BCD＝＝， 所以∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝－＝，所以＝×3＝.故选A. 12．(多选)已知某扇形的弧长为3π，圆心角为，则(　　) A．该扇形的半径为6π B．该扇形的周长为9π C．该扇形的面积为9π D．该扇形的面积为9π2 解析：选AD.设该扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α， 则r＝＝＝6π，A正确； 该扇形的周长为6π＋6π＋3π＝15π，B错误； 该扇形的面积为××(6π)2＝9π2，C错误，D正确．故选AD. 13．以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知正三角形ABC的边长为2，则图中勒洛三角形的面积与周长之比为________． 解析：由题意易知以点A，B，C为圆心，圆弧BC，AC，AB所对的扇形面积各为××22＝，等边三角形ABC的面积为×2×＝，所以题图中勒洛三角形的面积是×3－2×＝2π－2，周长为×2×3＝2π，故题图中勒洛三角形的面积与周长之比为1－. 答案：1－ 14．已知角α＝2 040°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． 解：(1)α＝2 040°＝2 040×＝， 又＝＋5×2π，所以α＝＋5×2π， 所以α与的终边相同，又π<<， 因此α是第三象限角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)， 所以当k＝－3时，γ＝－π； 当k＝－2时，γ＝－π； 当k＝－1时，γ＝－π. 所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π，－π. 15．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00，如果一个半径为3的扇形，它的面积为π，则其圆心角用密位制表示为(　　) A．14－40 B．12－50 C．4－00 D．2－00 解析：选D.依题意，设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n， 则α×32＝π，解得α＝π， 由题意可得＝， 解得n＝×6 000＝200， 因此该扇形圆心角用密位制表示为2－00.故选D. 16．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α(0<α<π). (1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积； (2)当α＝2时，求的中点E到弦BC的距离． 解：(1)延长BA，CD相交于点O，设内圆弧半径为r， 则AB＝CD＝OA＝OD＝r，所以＝rα，＝2rα， 所以rα＋2rα＋2r＝2l，则r＝， 所以S扇环＝S扇形OBC－S扇形OAD ＝×2rα×2r－×rα×r＝αr2 ＝≤＝， 当且仅当9α＝，即α＝(负值已舍去)时，S扇环取得最大值，最大值为. (2)连接OE，设OE交BC于点F，则由垂径定理得OE⊥BC，则的中点E到弦BC的距离为EF， ∠BOE＝∠BOC＝1， 由(1)知，r＝＝＝， 所以OF＝cos 1， 所以EF＝OE－OF＝2r－cos 1＝(1－cos 1). 所以点E到弦BC的距离为(1－cos 1). 学科网（北京）股份有限公司 $