7.3.4 正切函数的性质与图象(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦正切函数的性质与图象这一核心知识点，通过类比正弦、余弦函数的学习经验，系统梳理正切函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性及对称中心，构建从定义到性质再到正切型函数应用的知识迁移支架。 该资料以问题链驱动探究，如通过诱导公式分析奇偶性、周期性，培养抽象能力与推理意识。例题采用“整体代换”解决定义域、值域问题，结合图象画法与对称中心分析，提升数学表达与应用能力。课中辅助教师引导学生自主建构知识，课后助力学生通过跟踪训练查漏补缺，强化知识应用。

7．3.4　正切函数的性质与图象 1.理解、掌握正切函数的性质．　2.了解正切函数图象的画法，并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 同学们，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 思考1　正切函数y＝tan x的定义域是什么？ 提示：{x|x≠＋kπ，k∈Z}． 思考2　回忆诱导公式②与诱导公式④中的正切公式，你能说明正切函数有什么性质？ 提示：tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数，tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数． 1．正切函数 对于任意一个角x，只要x≠__________，就有________确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． 2．正切函数的定义域与值域 (1)定义域：因为角＋kπ(k∈Z)的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知y＝tan x的定义域为________________________． (2)值域：正切函数的值域是实数集R. (3)正切函数y＝tan x的零点为________，k∈Z. [答案自填] ＋kπ，k∈Z　唯一 　kπ 　(1)(对接教材例1)函数y＝3tan 的定义域为________________________________________________； (2)函数y＝tan2x－2tanx的值域为____________． 【解析】　(1)由－≠＋kπ，k∈Z， 得x≠－－4kπ，k∈Z， 即函数的定义域为. (2)令u＝tan x，因为|x|≤， 所以由正切函数的图象知u∈[－，　]， 所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，　]， 因为二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1的图象开口向上，对称轴方程为u＝1，所以当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2， 所以原函数的值域为[－1，3＋2　]. 【答案】　(1) (2)[－1，3＋2　] (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. ②求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.　 (2)求正切函数值域的方法 ①对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． ②对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． [跟踪训练1] (1)函数y＝3tan (π＋x)，－<x≤的值域为________. 解析：函数y＝3tan (π＋x)＝3tan x，因为正切函数在(－，]上单调递增，所以－3<y≤，所以值域为(－3，　]. 答案：(－3，　] (2)函数y＝lg (－tan x)的定义域是____________． 解析：要使y＝lg (－tan x)有意义， 需使 所以函数的定义域是 . 答案： 1．奇偶性：由诱导公式tan (－x)＝－tan x，x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数y＝tan x是一个____________． 2．周期性：由诱导公式tan (x＋π)＝tan x，且x≠＋kπ，k∈Z，可知y＝tan x是周期为________的周期函数． [答案自填] 奇函数　π 　(1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π (2)函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝________． 【解析】　(1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为.故选B. (2)由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1， 所以am3－bm－tan m＝－1， 所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3. 【答案】　(1)B　(2)3 解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝，常常利用此公式来求最小正周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．　 [跟踪训练2] (1)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 解析：选A.由2x≠kπ＋，k∈Z， 解得x≠＋，k∈Z， f(x)的定义域是，f(x)的定义域关于原点对称． f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，由此排除B，D选项． f(x＋)＝|tan (2x＋π)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)的一个周期为，A选项正确． f(x＋)＝ ＝ ＝ ＝≠f(x)， 所以不是f(x)的周期，C选项错误．故选A. (2)函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支被直线y＝所截得的线段长为，则f() 的值是________． 解析：由题意知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为，所以ω＝＝8. 所以f()＝tan ＝tan ＝. 答案： 正切函数的单调性： 正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都是____________________的． [答案自填] 单调递增 角度1　求正切型函数的单调区间 　函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为____________________． 【解析】　y＝tan (－3x＋)＝－tan (3x－). 由－＋kπ＜3x－＜＋kπ(k∈Z)， 得－＋＜x＜＋(k∈Z)， 故函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为 (－＋，＋)(k∈Z). 【答案】　(－＋，＋)(k∈Z) 求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的求法是当ω> 0时，把ωx＋φ看成一个整体，解不等式－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间．　 角度2　比较大小 　比较下列各组中三角函数值的大小： (1)tan 138°与tan 143°； (2)tan (－)与tan (－). 【解】　(1)因为当90°＜x＜180°时，函数y＝tan x单调递增，且90°＜138°＜143°＜180° ， 所以tan 138°＜tan 143° . (2)因为tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan ， tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan ， 且0＜＜＜， 结合函数y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan ＜tan ， 即tan (－)＜tan (－). 运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用正切函数单调性比较大小关系．　 [跟踪训练3] (1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞c＞b B．a＜b＜c C．a＞b＞c D．a＜c＜b 解析：选A.由题意得，函数y＝tan x在(0，)上单调递增且tan x＞0，在(，π)上单调递增且tan x＜0，因为＜1＜＜2＜3＜π，所以tan 2＜tan 3＜0，tan 1＞0，所以a＞c＞b.故选A. (2)若函数y＝tan 3x在区间(m，)上单调递增，则实数m的取值范围为________． 解析：令kπ－＜3x＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜＋，k∈Z，令k＝0，则其一个单调递增区间为(－，)，则实数m的取值范围为[－，). 答案：[－，) 一般地，y＝tan x的函数图象称为正切曲线． 正切函数的对称中心为(k∈Z). 提醒　正切函数只有对称中心，没有对称轴． 　设函数f(x)＝tan . (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称中心； (2)作出函数f(x)在一个周期内的简图． 【解】　(1)因为ω＝， 所以最小正周期T＝＝＝2π. 令－＝(k∈Z)， 得x＝＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)图象的对称中心是(k∈Z). (2)令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. 所以函数y＝tan 的图象与x轴的一个交点坐标是， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期(－，)内的简图(如图). 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的，y＝tan x图象的对称中心为，k∈Z.　 [跟踪训练4] 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性． 解：由y＝|tan x|， 得y＝ 其图象如图， 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为 ， 值域为[0，＋∞)，是偶函数． 函数y＝|tan x|的最小正周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. 1．函数y＝的定义域为(　　) A．[kπ－，kπ]，k∈Z B．[kπ，kπ＋]，k∈Z C．(kπ－，kπ＋]，k∈Z D．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z 解析：选C.由题意可得1－tan x≥0，且x≠＋kπ，k∈Z，即tan x≤1，所以x∈(kπ－，kπ＋]，k∈Z.故选C. 2．(多选)已知函数f(x)＝tan (x＋)，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为 C．f(x)是奇函数 D．f() ＜f() 解析：选BD.对A，由f(x)＝tan (x＋)，得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A错误； 对B，由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的定义域为，故B正确； 对C，由B知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故C错误； 对D，由B知当k＝1时，f(x)在(，)上单调递增， 所以f()＜f()，故D正确．故选BD. 3．(教材P59T5改编)函数f(x)＝tan (x＋)的单调递增区间为________________． 解析：对于函数f(x)＝tan (x＋)， 由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)， 可得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(2k－，2k＋)(k∈Z). 答案：(2k－，2k＋)(k∈Z) 4．已知函数f(x)＝a－tan 2x在闭区间[－，b]上的最大值为7，最小值为3，求实数a，b的值． 解：取－＜2x＜， 解得－＜x＜， 所以y＝tan 2x在(－，)上单调递增， 即f(x)＝a－tan 2x在(－，)上单调递减， 因为f(x)在闭区间[－，b]上有最大值为7，最小值为3， 所以－＜b＜，且f(b)＝3，f(－)＝7， 即 解得 因为－＜b＜，所以b＝， 故a＝4，b＝. 1．已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质． 2．须贯通：研究函数y＝A tan (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题． 3．应注意：(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，而不是T＝；(2)函数y＝tan x在定义域内不单调，其图象的对称中心(，0)(k∈Z).　 学科网（北京）股份有限公司 $