7.3.3 余弦函数的性质与图象(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学余弦函数的性质与图象核心知识点，系统梳理其定义、图象画法（平移法、五点法）及定义域、值域、周期性等性质，通过类比正弦函数经验，利用y=cosx=sin(x+π/2)实现知识迁移，构建学习支架。 以“过山车”情境引入培养数学眼光，通过类比正弦函数引导思考发展数学思维，设置多角度例题与跟踪训练助学生用数学语言解决问题。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

7．3.3　余弦函数的性质与图象 1.会用五点法和图象平移伸缩变换作出余弦函数的简图．　2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴和对称中心，并会简单应用． 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径．这节课我们要研究的余弦函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝cos x的什么性质？有了前面我们研究正弦函数的经验，我们来探究一下余弦函数的性质与图象． 思考　刚学习了正弦函数的性质及图象，怎么根据正弦函数快速地确定余弦函数的性质与图象？ 提示：由y＝cos x＝sin ，只需研究 y＝sin 的性质与图象即可． 1．余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有________确定的余弦cos x与之对应，因此y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 2．图象的画法 (1)平移法 由y＝cos x＝sin 知，余弦函数y＝cos x 的图象可以通过将正弦曲线y＝sin x 的图象向____________平移__________个单位得到． (2)五点法 函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点分别是：(0，1)，，______________，____________，(2π，1). [答案自填] 唯一　左　　(π，－1)　 角度1　五点法作余弦曲线 　用五点法作函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图． 【解】　因为x∈， 所以令x＝0，，π，，2π. 列表： x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝2cos x＋1 3 1 －1 1 3 描点，连线，如图． 五点法作余弦函数y＝cos x图象的策略 (1)五点法作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点等五个　 关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状．连线要保持光滑，注意凹凸性． (2)五个关键点的确定：使函数中x取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，再作出图象． 角度2　余弦函数的图象变换 　(多选)要得到函数y＝cos (2x＋)的图象，只需将函数y＝cos x图象上所有的点(　　) A．向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) B．向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) C．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位 D．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位 【解析】　函数y＝cos x的图象向左平移个单位，得y＝cos (x＋)的图象，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos (2x＋)的图象；将函数y＝cos x的图象横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再向左平移个单位，得y＝cos ，即y＝cos (2x＋)的图象．故选BC. 【答案】　BC 余弦函数图象变换的技巧 当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换．在变换时要注意两点：一是平移变换的规则，即“左加右减”“上加下减”；二是对于先伸缩后平移的变换，要注意由y1＝cos ωx(ω≠0)的图象得到y2＝cos(ωx＋φ)的图象时，因为y2＝cos ，所以应该将y1＝cos ωx的图象向左或向右平移个单位，而不是平移|φ|个单位．　 [跟踪训练1] 把函数f(x)＝3cos (x＋)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数g(x)的解析式是(　　) A．g(x)＝3cos (x＋) B．g(x)＝3cos [(x＋)] C．g(x)＝3cos (2x＋) D．g(x)＝3cos [2(x＋)] 解析：选A.若把f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则g(x)＝f()＝3cos (x＋). 函数 y＝cos x 定义域 ________ 值域 ________ 最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 是周期函数，最小正周期为________ 奇偶性 是________函数，图象关于________对称 单调性 当x∈____________________________时，函数单调递增； 当x∈____________________________时，函数单调递减 零点 ＋kπ(k∈Z) 图象的 对称性 对称中心为点，k∈Z； 对称轴为直线x＝kπ，k∈Z [答案自填] R　[－1，1]　2π　偶　y轴 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 角度1　余弦函数的单调性及其应用 　(1)函数f(x)＝5cos 的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． (2)三个数cos ，cos ，cos 的大小关系是(　　) A．cos <cos <cos B．cos <cos <cos C．cos <cos <cos D．cos <cos <cos 【解析】　(1)由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤＋(k∈Z)， 所以是f(x)的一个单调递减区间．故选B. (2)因为cos ＝cos >0， cos ＝－cos <0， cos >0，又余弦函数y＝cos x 在上单调递减， 所以cos <cos ， 因此－cos <cos <cos ， 即cos <cos <cos ，故选B. 【答案】　(1)B　(2)B (1)用整体代换法求函数y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数；然后整体代换，将“ωx＋φ”看成一个整体“z”，利用余弦函数的单调性，求原函数的单调性． (2)求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，并注明k∈Z. (3)关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用单调性比较大小．　 [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝cos (2x－)，则f(x) 在[－2，0]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 解析：选D.令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)，单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，又因为x∈[－2，0]，所以f(x)在[－2，－]上单调递减，在[－，0]上单调递增，即f(x)在[－2，0]上先减后增．故选D. 角度2　余弦函数的最值、值域问题 　(对接教材例4)求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的值域． 【解】　y＝3cos2x－4cosx＋1＝3－. 因为x∈，所以cos x∈. 从而当cos x＝－， 即x＝时，ymax＝； 当cos x＝，即x＝时，ymin＝－. 所以所求函数的值域为. 三角函数最值问题的求解方法 (1)y＝a cos x型，可利用余弦函数的有界性，注意对a进行正负的讨论． (2)y＝A cos (ωx＋φ)＋b型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得cos (ωx＋φ)的范围，最后求得最值． (3)y＝a cos2x＋b cosx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝cos x，转化为二次函数等求最值．t的范围需要根据定义域来确定．　 [跟踪训练3] (1)函数y＝cos (x＋)，x∈[0，]的值域是(　　) A．(－，) B．[－，] C．[，1] D．[，1] 解析：选B.由0≤x≤，得≤x＋≤， 所以－≤cos (x＋)≤，故选B. (2)若函数f(x)＝cos (1≤x≤t)的值域为[－1，1]，则正整数t的最小值是________． 解析：因为1≤x≤t，则≤≤， 若函数f(x)＝cos (1≤x≤t)的值域为[－1，1]，则2π≤，解得t≥6，所以正整数t的最小值是6. 答案：6 角度3　余弦函数的周期性、奇偶性与对称性 　(1)函数f(x)＝3cos 图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． (2)定义在R上的偶函数f(x)，其最小正周期是π，且当 x∈[0，]时，f(x)＝cos x，则f() 的值为________． 【解析】　(1)由题意得4x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝－(k∈Z)，所以f(x)＝3cos 图象的对称中心是(k∈Z).当k＝1时，函数的对称中心为.故选B. (2)因为f(x)的最小正周期是π， 所以f()＝f(2π－)＝f(－)， 又因为f(x)是偶函数， 所以f()＝f(－)＝f()＝cos ＝. 【答案】　(1)B　(2) 【变式探究】 1．(条件变式)若将本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？ 解：f ()＝f(2π－)＝f(－)＝－f()＝－cos ＝－. 2．(条件变式)若将本例(2)条件改为“定义在R上的偶函数f(x)，f (x＋)＝－f(x)，且f()＝1”，试求f()的值． 解：因为f(x＋)＝－f(x)，所以f(x＋π)＝－f(x＋)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝π.又f(x)是偶函数， 因此f()＝f(2π－)＝f(－)＝f()＝1. (1)对于函数y＝cos (ωx＋φ)，令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可解出对称轴，令ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z可解出对称中心． (2)对于函数y＝cos (ωx＋φ)，若已知x＝α是对称轴，或(α，0)是对称中心，则代入α，ωα＋φ＝kπ或ωα＋φ＝＋kπ，k∈Z可求ω或φ. (3)特别地，对于函数y＝cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ，k∈Z时，函数为偶函数；当φ＝＋kπ，k∈Z时，函数为奇函数．　 [跟踪训练4] (1)已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象与函数g(x)＝cos (2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，则φ的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D.由题意得，f(x)与g(x)图象的对称中心完全相同，则两函数的周期相同，即＝，则ω＝2，即f(x)＝2sin ，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，即f(x)图象的对称中心为，k∈Z，所以g(x)图象的对称中心也为，k∈Z，则g＝cos ＝cos ＝±cos ＝0，则φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝－. (2)若函数f(x)＝cos (2x＋φ－)(φ>0)是奇函数，则φ的最小值为________． 解析：因为函数f(x)＝cos (2x＋φ－)(φ>0)是奇函数，所以φ－＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ的最小值为. 答案： 1．(多选)若f(x)＝2cos [2(x＋)]，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)的最小正周期为π D．f(x)的最小正周期为2π 解析：选AC.因为f(x)＝2cos (2x＋)＝－2sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，又因为f(－x)＝－2sin (－2x)＝2sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；可得f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选AC. 2．(教材P55T2(4)改编)已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则f(x)的图象(　　) A．与g(x)的图象相同 B．与g(x)的图象关于y轴对称 C．向左平移个单位，得g(x)的图象 D．向右平移个单位，得g(x)的图象 解析：选D.因为f(x)＝sin ＝cos x，g(x)＝cos ，所以f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)的图象． 3．(教材P55练习AT4改编)函数y＝3－4cos 的最大值为____________，此时自变量的取值集合为___________________________________． 解析：当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)max＝3＋4＝7. 答案：7　 4．设函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f()＝. (1)求ω和φ的值； (2)填下表并在给定平面直角坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． x ωx＋φ f(x) 解：(1)由题意知，T＝＝π， 解得ω＝2，又f()＝cos (2×＋φ)＝，－<φ<0， 解得φ＝－. (2)由(1)知，f(x)＝cos (2x－)，列表如下： x 0 π 2x－ － 0 π f(x) 1 0 －1 0 描点连线，画图如下． 1．已学习：(1)余弦函数．(2)余弦函数的性质与图象．(3)余弦函数的单调性、奇偶性、对称性．(4)余弦函数的值域(最值).　 2．须贯通：研究函数y＝A cos (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助余弦函数的性质与图象解决有关问题． 3．应注意：余弦函数的单调性、对称性易混淆． 学科网（北京）股份有限公司 $