7.3.2 正弦型函数的性质与图象(一)(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的性质与图象，系统梳理参数φ（平移）、ω（伸缩）、A（振幅）对图象的影响，衔接五点法作图及物理意义，构建从y=sinx到复杂正弦型函数的知识支架。 以筒车工作原理引入，培养用数学眼光观察现实世界，通过思考问题引导抽象函数关系发展数学思维，结合例题、变式及跟踪训练强化数学语言表达。课中辅助教师授课，课后助力学生回顾练习，弥补知识盲点。

7．3.2　正弦型函数的性质与图象(一) 1.理解y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响，掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系．　2.会用五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象．　3.了解y＝A sin (ωx＋φ)图象的物理意义，能指出振幅、周期、频率、初相． 明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘出了筒车的工作原理．如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，筒车从点P0运动到点P.设点P距水面的高度为H. 思考1　H由哪些量决定？ 提示：H由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，筒车的初始位置P0以及所经过的时间t. 思考2　如何将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数？ 提示：H＝r sin (ωt＋φ)＋h. 思考3　观察函数y＝sin (x＋)与函数y＝sin x 的图象的形状和位置，你有什么发现？ 提示：两图象形状完全相同，只是位置不同，把正弦曲线y＝sin x上所有点向左平移个单位，得到函数y＝sin (x＋)的图象． 1．正弦型函数的定义 一般地，形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数． 2．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响 　要得到函数y＝sin (2x＋)的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【解析】　因为y＝sin (2x＋)＝sin ，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，就可得到函数y＝sin (2x＋)的图象． 【答案】　C 【变式探究】 (综合变式)要得到函数y＝sin 2x的图象，只要将函数y＝sin 的图象(　　) A.向左平移个单位　 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 解析：选D.因为y＝sin ＝sin ，只需将函数的图象向右平移个单位，就得到y＝sin ＝sin 2x的图象． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x前的系数．当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位．　 [跟踪训练1] (1)将函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是______________________． 解析：函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位，得y＝sin (x－－)＝sin (x－).　 答案：y＝sin (x－) (2)把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝sin (x＋)的图象，则f(x)＝________． 解析：由题意可知，函数y＝sin (x＋)向左平移个单位即为f(x)，即 f(x)＝sin (x＋＋)＝sin (x＋). 答案：sin (x＋) 1．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响 2．A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响 　为了得到函数y＝sin (x－)的图象，只需将函数y＝sin (x－)的图象上各点(　　) A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【解析】　先将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象，再将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象，即将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象．故选D. 【答案】　D 图象伸缩变换的关注点 (1)两个弄清：要弄清是横向还是纵向，要弄清是伸长还是缩短； (2)三角函数图象伸缩变换的两种方法： [跟踪训练2] (1)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数解析式是(　　) A．y＝sin ，x∈R B．y＝sin ，x∈R C．y＝sin ，x∈R D．y＝sin ，x∈R 解析：选C.把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数y＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，故选C. (2)将函数y＝sin (x－)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象． 解析：把y＝sin (x－)的图象上各点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象． 答案：y＝sin (x－) 三　用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)的图象 　(对接教材例4)用五点法画函数y＝2sin (3x＋)在一个周期内的简图． 【解】　令u＝3x＋，则y＝2sin 可以化成y＝2sin u，列表如下： x － u＝3x＋ 0 π 2π y＝2sin u＝ 2sin 0 2 0 －2 0 描点连线，画图如下． 【变式探究】 (条件变式)本例中把“一个周期内”改为“[0，]”，又如何作图？ 解：因为x∈[0，]，所以3x＋∈[，]， 令u＝3x＋，则y＝2sin 可以化成y＝2sin u， 列表如下： x 0 u＝3x＋ π 2π y＝2sin u＝ 2sin 1 2 0 －2 0 1 描点连线，画图如下． (1)五点法作图的实质：利用五点法画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用五点法作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤． 第一步：列表． x － － － － － ωx＋φ 0 π 2π f(x) 0 A 0 －A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象． (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值．　 [跟踪训练3] 已知函数y＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象． 解：(1)列表： x － ＋ 0 π 2π y＝3sin ＋3 3 6 3 0 3 (2)描点连线，画图如下： 四　y＝A sin (ωt＋φ)中，常数A，φ，ω的实际意义 1．振幅|A|：小球能偏离________________的最大距离． 2．初相φ：在决定________时小球的位置(即A sin φ)中起关键作用． 3．周期T＝：小球完成________________所需要的时间． 4．频率f＝：单位时间内能够完成的________． [答案自填] 平衡位置　t＝0　一次运动 运动次数 【即时练】 1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　) A．3π，， B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3，－ 解析：选B.由题可知周期T＝＝6π，振幅为，初相为. 2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A．， B．2， C．，π D．2，π 解析：选A.当t＝0时，θ＝sin ＝.又T＝＝π，所以单摆频率为.故选A. 1．用五点法画函数y＝sin 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：选C.令4x－＝，得x＝，所以该点坐标为. 2．(多选)下列图象变换正确的是(　　) A．将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin (x－)的图象 B．将y＝sin (x＋)的图象向右平移个单位得到y＝sin x的图象 C．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin (2x＋)的图象 D．将y＝sin x的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y＝sin 2x的图象 解析：选AB.选项A，将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin (x－)的图象，故正确； 选项B，将y＝sin (x＋)的图象向右平移个单位得到y＝sin (x＋－)＝sin x的图象，故正确； 选项C，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin＝sin (2x＋)的图象，故不正确； 选项D，将y＝sin x的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y＝sin x的图象，故不正确．故选AB. 3．(教材P51T2改编)把函数y＝sin (2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，再将 f(x)图象上所有点向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________． 解析：y＝sin (2x＋)纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到f(x)＝sin (x＋)，将f(x)图象上所有点向右平移个单位，可得g(x)＝f(x－)＝sin (x－＋)＝sin x. 答案：sin x 4．将函数y＝2sin (x＋)的图象向右平移m(m＞0)个单位后的图象过原点，则m的最小值是________． 解析：由题意可知，平移后函数解析式为y＝2sin (x＋－m)，因为函数y＝2sin (x＋－m)的图象过原点，所以0＝2sin (0＋－m)，即0＝sin (－m)，解得－m＝kπ，k∈Z，即m＝－kπ，k∈Z，又m＞0，故k＝0时，m取最小值. 答案： 1．已学习：三角函数图象的平移变换、伸缩变换；五点法作图． 2．须贯通：由函数y＝sin x的图象得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，既可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移，其效果是一样的，但两种变换中平移的单位均是对于自变量“x”而言的，因而平移的单位是不同的． 3．应注意：(1)变换前后函数名是否相同及变换顺序；(2)五点法作图中五点的选取．　 学科网（北京）股份有限公司 $