7.3.1 第2课时 正弦函数的图象(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正弦函数的图象这一核心知识点，衔接前期三角函数“数”的研究，通过数形结合思想，系统梳理五点法作图步骤、正弦曲线对称性，以及利用图象解决定义域、三角不等式、零点等问题，构建从作图到应用的完整学习支架。 该资料以华罗庚“数形结合”诗导入，培养学生用数学眼光观察“数”与“形”的联系。通过五点法作图实例（如作y=1+sinx图象）和对称性探究，发展数学思维中的推理能力，结合跟踪训练（如解sinx>√3/2的定义域），提升用数学语言表达问题的能力。课中助教师直观教学，课后通过习题与解析帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　正弦函数的图象 1.会利用五点法作正弦函数的图象．　2.理解正弦曲线的对称性，并能利用正弦曲线解决简单问题． 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”的角度研究三角函数． 思考　结合所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示：先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等性质． 1．一般地，y＝sin x的函数图象称为正弦曲线． 2．五点法作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 ______ 0 ______ 0 (2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，0)，____________，(π，0)，________，(2π，0). (3)连线：用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图． [答案自填] 1　－1　　 　(对接教材例4)用五点法作出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π] 的简图． 【解】　(1)列表： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝＋sin x (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：，，，，. (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，得到函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的简图，如图所示． 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x的图象在[0，2π]内的最高点，最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．　 [跟踪训练1] 用五点法作函数y＝－1＋2sin x，x∈[0，2π]的简图． 解：找关键的五个点，列表如下： x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝－1＋2sin x －1 1 －1 －3 －1 描点连线，如图所示． 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为________________________________；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为____________________． [答案自填] x＝＋kπ(k∈Z)　(kπ，0)(k∈Z) 　(1)函数y＝sin x(x∈R)图象的一条对称轴是　(　　) A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．直线x＝ (2)函数y＝sin x(x∈R)图象的一个对称中心是(　　) A． B．(－5π，0) C． D．(2π，1) 【解析】　(1)函数y＝sin x(x∈R)图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，只有D选项符合，故选D． (2)函数y＝sin x(x∈R)图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，只有B选项符合，故选B. 【答案】　(1)D　(2)B (1)正弦函数在对称轴处取得最大(或最小)值，正弦曲线的对称中心是曲线与x轴的交点，因此判断直线x＝x0或点(x0，0)是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． (2)正弦函数的图象有无数个对称中心，也有无数条对称轴． (3)一个周期内，正弦函数在图象对称轴处取得最值． (4)若定义域不是R，则正弦函数的图象不一定有对称轴和对称中心．　 [跟踪训练2] (多选)关于函数y＝|sin x|的图象，下列结论正确的是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C.关于原点对称 D．关于直线x＝对称 解析：选BD.y＝|sin x|的图象是由y＝sin x 的图象保持x轴上方的图象不变，x轴下方的图象沿x轴翻折得到，如图所示，由图可知，B，D选项是正确的． 角度1　利用正弦函数图象解三角不等式 　(1)函数f(x)＝lg (sin x)＋的定义域为________________． (2)不等式<sin x≤，x∈[0，2π]的解集为________________． 【解析】　(1)由题意，得则 作出y＝sin x的图象，如图所示． 结合图象可得x的定义域为[－4，－π)∪(0，π). (2)作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，画出直线y＝和y＝，如图所示． 由图可知，在[0，2π]上，当<x≤或≤x＜时，不等式<sin x≤成立．所以原不等式的解集为{x|<x≤，或≤x＜}． 【答案】　(1)[－4，－π)∪(0，π) (2){x|<x≤，或≤x＜} (1)求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图象直观地求得解集． (2)解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的三角函数值相等，写出原不等式的解集．　 角度2　利用正弦函数图象解零点问题 　若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________． 【解析】　f(x)＝sin x＋2|sin x| ＝ 画出函数的图象如图所示， 又函数f(x)的图象与y＝k仅有两个不同交点，则k的取值范围是(1，3). 【答案】　 (1，3) (1)函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线，求得参数的取值范围． (2)作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件．　 [跟踪训练3] (1)函数y＝lg (sin x－)的定义域为____________． 解析：要使函数y＝lg (sin x－)有意义， 则sin x－>0，即sin x>. 作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]和直线y＝的图象，如图所示． 由图象可以得到满足条件的x的集合，即函数的定义域为，k∈Z. 答案：(＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z (2)函数y＝lg |x|－sin x的零点个数为________． 解析：lg |x|－sin x＝0，故lg |x|＝sin x， 画出f(x)＝lg |x|和g(x)＝sin x的图象，两函数交点个数即为y＝lg |x|－sin x的零点个数， 由图象可得，共6个交点，所以y＝lg |x|－sin x的零点个数为6. 答案：6 1．(教材P43T5改编)函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是(　　) 解析：选D.因为y＝sin (－x)＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，只有D符合题意．故选D. 2．函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]的图象与直线y＝2的交点的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]和直线y＝2的图象如图所示，可得两图象的交点共有4个．故选D. 3．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C.两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称 D．形状不同，位置不同 解析：选BC.根据公式①：sin (x＋2π)＝sin x，所以y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象形状相同、位置不同，且两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称．所以B，C正确，A，D错误．故选BC. 4．(教材P44T4改编)不等式sin x<－，x∈[0，2π]的解集为________． 解析：作出y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图象可知，不等式sin x<－的解集为(，). 答案：(，) 1．已学习：正弦函数的图象及应用，五点(画图)法． 2．须贯通：若函数图象要求精度不高，只描出函数图象的关键点，再根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图即可；解题时要注意数形结合． 3．应注意：“五点法”作图中“五点”的选取．　 学科网（北京）股份有限公司 $