7.2.4 第1课时 诱导公式①，②，③，④(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学诱导公式①②③④，从终边相同角三角函数值转化问题引入，通过回顾三角函数定义，结合角α+2kπ、-α、π-α、π+α与α终边的对称关系（相同、x轴、y轴、原点对称）推导公式，构建从问题到定义到图形到应用的学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察角终边对称性，通过定义推导公式培养推理能力，用表格对比和“函数名不变，符号看象限”口诀强化数学语言表达。例题与跟踪训练覆盖求值、化简等应用，课中助力教师引导推导，课后帮助学生巩固查漏。

7．2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式①，②，③，④ 1.理解诱导公式①，②，③，④的推导方法．　2.能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明． 同学们，我们知道角α与角α＋2kπ(k∈Z)的终边相同，那么我们可以利用这一点把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解呢？ 思考1　我们是如何定义三角函数的？ 提示：三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等． 思考2　画图观察角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，点P1与点P2关于原点对称． 角 α＋2kπ (k∈Z) －α π－α π＋α 图示 与角 α终 边的 关系 相同 关于____ ________ 轴对称 关于____ ________ 轴对称 关于__ ________ 对称 公式 ① ② ③ ④ 正弦 sin (α＋2kπ) ＝______ (k∈Z) sin (－α)＝ ________ sin (π－α)＝ ________ sin (π＋α)＝ ________ 续　表 角 α＋2kπ (k∈Z) －α π－α π＋α 余弦 cos (α＋2kπ) ＝______ (k∈Z) cos (－α)＝ ________ cos (π－α)＝ ________ cos (π＋α)＝ ________ 正切 tan (α＋2kπ) ＝______ (k∈Z) tan (－α)＝ ________ tan (π－α)＝ ________ tan (π＋α)＝ ________ 记忆 口诀 函数名不变，符号看象限 点拨　诱导公式①～④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是方便记忆公式，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. [答案自填] x　y　原点　sin α　－sin α sin α　－sin α　cos α　cos α　－cos α －cos α　tan α　－tan α　－tan α　tan α 　(对接教材例3)求下列三角函数值． (1)sin 1 320°； (2)cos ； (3)sin ＋tan －cos . 【解】　(1)sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－. (2)cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－cos ＝－. (3)sin ＋tan －cos ＝sin ＋tan －cos ＝sin ＋tan －cos ＝sin －tan ＋cos ＝－1＋＝0. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 　 [跟踪训练1] (1)(多选)下列各式中，值为 的是(　　) A．sin B．sin (－210°) C．cos D．tan 240° 解析：选AB.sin ＝sin (π－)＝sin ＝，A正确；sin (－210°)＝－sin (180°＋30°)＝sin 30°＝，B正确；cos ＝cos (2π－)＝cos ＝，C错误；tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝×＝，D错误．故选AB. (2)计算：＝________． 解析： ＝ ＝＝＝－1. 答案：－1 　(1)若sin (π－α)＝－，且α∈(－，0)，则cos (π＋α)的值为(　　) A．± B． C．－ D． (2)已知α为锐角，若cos (α＋)＝，则cos (α＋)＝________． 【解析】　(1)由sin (π－α)＝－， 得sin α＝－，而α∈(－，0)， 于是cos α＝＝＝， 所以cos(π＋α)＝－cos α＝－.故选C. (2)因为cos (α＋)＝， 所以cos (α＋)＝cos [(α＋)＋π] ＝－cos (α＋)＝－. 【答案】　(1)C　(2)－ 【变式探究】 (设问变式)本例(2)条件不变，求sin (－α)＝________． 解析：因为α为锐角，且cos (α＋)＝， 所以α＋也是锐角，所以sin (α＋)＝＝＝. sin(－α)＝sin [π－(α＋)]＝sin (α＋)＝. 答案： 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　 [跟踪训练2] (1)若tan (π＋α)＝－，则tan (3π－α)的值为(　　) A． B．2 C．－ D．－2 解析：选A.由已知得tan (π＋α)＝tan α＝－，所以tan (3π－α)＝－tan α＝.故选A. (2)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则sin (255°＋α)＝________． 解析：因为－180°<α<－90°， 所以－105°<75°＋α<－15°，又cos (75°＋α)＝， 所以sin (75°＋α)＝－＝－， 所以sin (255°＋α)＝sin (180°＋75°＋α) ＝－sin (75°＋α)＝. 答案： 　(对接教材例5)化简： (1)； (2). 【解】　(1)原式＝ ＝＝－tan α. (2)原式＝ ＝＝－1. 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数．　 [跟踪训练3] (1)已知f(α)＝ ，则f(－)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.f(α)＝ ＝ ＝＝－sin α. 所以f(－)＝－sin (－)＝sin ＝sin (4π＋)＝sin ＝.故选A. (2)化简：＝________． 解析： ＝＝－tan α. 答案：－tan α 1．(教材P33T2(2)改编)计算：cos (－)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A.由诱导公式可得，cos (－)＝cos ＝cos (5π＋)＝cos (π＋)＝－cos ＝－.故选A. 2．(多选)设sin (3π－α)＝，α∈(，π)，以下正确的是(　　) A．tan α＝ B．tan α＝－ C．cos α＝ D．cos α＝－ 解析：选BD.因为sin (3π－α)＝sin α＝，α∈(，π)， 所以cos α＝－＝－＝－， 所以tanα＝＝－.故选BD. 3．sin ＋cos －tan (－)＝________． 解析：sin ＋cos －tan (－) ＝sin (2π＋)＋cos (4π＋)－tan (－6π＋) ＝sin ＋cos －tan ＝＋－1＝0. 答案：0 4．已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°. (1)求sin (127°＋α)的值； (2)求cos (233°－α)的值． 解：(1)因为sin (53°－α)＝， 所以sin (127°＋α)＝sin [180°－(53°－α)]＝sin (53°－α)＝. (2)因为sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°， 所以143°<53°－α<323°，又sin (53°－α)＝>0， 所以143°<53°－α<180°， 所以cos (53°－α)＝－ ＝－＝－， 所以cos(233°－α)＝cos [180°＋(53°－α)] ＝－cos (53°－α)＝. 1．已学习：特殊关系角的终边对称性，诱导公式①，②，③，④及应用． 2．须贯通：诱导公式①～④在化简、求值、证明过程中，一般遵循如下顺序：负化正→大化小→锐角→求值． 3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定； (2)三角函数名称不变．　 学科网（北京）股份有限公司 $