7.2.1 三角函数的定义(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦任意角三角函数的定义、求法及各象限符号规律，从初中锐角三角函数（直角三角形边角关系）切入，通过思考问题（相似变化函数值不变、终边上点坐标表示）过渡到任意角定义，结合坐标法求函数值，构建完整知识脉络，辅以思考引导、表格填空及例题变式作为学习支架。 该资料亮点在于注重初高中衔接，以问题链引导学生用数学眼光抽象概念，如从直角三角形到终边上点坐标的推广。例题含参数分类讨论（如点P(4a,-3a)），培养数学思维中的逻辑推理能力。坐标法步骤规范，用数学语言表达，课中辅助教师突破难点，课后跟踪训练帮助学生巩固，有效查漏补缺。

7．2　任意角的三角函数 7．2.1　三角函数的定义 1.理解三角函数的定义，会求给定角的三角函数值．　2.掌握各象限角的三角函数值的符号规律． 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示． 定义sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示：不变． 思考2　如图，如果一个锐角α的终边在第一象限，终边上有一点P(x，y)，且x2＋y2＝1，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝；能． 前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ 定义 正弦 一般地，称________为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝________ 余弦 一般地，称________为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝________ 正切 当角α的终边不在y轴上时，称________为角α的正切，记作tan α，即tan α＝________ 角α的正弦、余弦与正切，都称为α的____________________ [答案自填] 　　　　　 三角函数 　(对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 【解析】　根据题意，r＝OP＝＝5， 所以sin α＝－，cos α＝， 所以cos α＋sin α＝＋(－)＝.故选C. 【答案】　C 【变式探究】 1．(条件变式)将本例中的“已知角α的终边经过点P(4，－3)”变为“设函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P，且点P在角α的终边上”，求cos α＋sin α的值． 解：对于函数f(x)＝ax＋1＋1，令x＋1＝0， 所以x＝－1，f(－1)＝2，故f(x)＝ax＋1＋1的图象过定点P(－1，2)，r＝OP＝＝， 所以cos α＝－＝－，sin α＝＝， 所以cos α＋sin α＝－＋＝. 2．(综合变式)将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin θ，cos θ，tan θ的值． 解：当a>0时，sin θ＝＝－， cos θ＝＝，tan θ＝＝－； 当a<0时，sin θ＝＝， cos θ＝＝－， tan θ＝＝－. 综上所述，tan θ＝－； 当a>0时，sin θ＝－，cos θ＝； 当a<0时，sin θ＝，cos θ＝－. 坐标法求三角函数值的步骤 (1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)； (2)根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，求出三角函数值．　 [跟踪训练1] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P(2，－2)，则cos θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.因为角θ的终边过点P(2，－2)，所以P到原点的距离r＝ ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝＝.故选A. (2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tan α＝__________． 解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，由三角函数的定义可得tan α＝＝. 答案： 如图所示： 正弦：________象限正，______象限负． 余弦：________象限正，______象限负． 正切：________象限正，______象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [答案自填] 一二　三四　一四　二三 一三　二四 　(对接教材例4、例5)(1)设角α的始边为x轴的正半轴，则“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)tan 125°sin 223°______________0.(填“>”或“<”) 【解析】　(1)当sin α>0时，取α＝，满足sin α>0，但此时角α的终边在第一象限，即充分性不成立； 当角α的终边在第二象限时，则终边上的任一点纵坐标都大于0，故sin α＝>0，即必要性成立； 所以“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的必要不充分条件．故选B. (2)因为125°是第二象限角，所以tan 125°<0；223°为第三象限角，所以sin 223°<0， 所以tan 125°sin 223°>0. 【答案】　(1)B　(2)> 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限； (2)定符号：利用三角函数值的符号变化规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．　 [跟踪训练2] (1)当x为第四象限角时，＋＋＝(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：选B.由x为第四象限角，则sin x<0，cos x>0，tan x<0，所以＋＋＝＋＋＝－1.故选B. (2)已知tan x<0且cos x<0，则角x的终边在第__________象限． 解析：由tan x<0，得角x的终边在第二、四象限，因为 cos x<0，所以角x的终边在第二、三象限或x轴负半轴上，由于上述条件要同时成立，所以角x的终边在第二象限． 答案：二 　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝(　　) A．－3 B．3 C．±3 D．±2 (2)若角α的终边在直线3x＋y＝0上，则cos α＝________． 【解析】　(1)因为sin θ＝－<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－3(正值已舍去).故选A. (2)因为角α的终边在直线3x＋y＝0上，所以角α的终边在第二象限或第四象限．当角α的终边在第二象限时，在角α的终边上取一点P(－1，3)，则点P到原点的距离r＝＝，所以cos α＝＝＝－. 当角α的终边在第四象限时，在角α的终边上取一点P′(1，－3)，则点P′到原点的距离r′＝＝， 所以cos α＝＝.综上，cos α＝或cos α＝－. 【答案】　(1)A　(2)或－ (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． (2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，求解时应注意分类处理．　 [跟踪训练3] (1)已知角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝－，则cos α的值是(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：选B.因为角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝＝－，解得m＝3，即点P(－4，3)，由三角函数的定义可得cos α＝＝－.故选B. (2)请写出终边落在射线y＝x(x≥0)上的一个角__________．(用弧度制表示) 解析：设θ的终边落在射线y＝x(x≥0)上，则θ为第一象限角，取y＝x(x≥0)上的一个点A(1，)，根据三角函数的定义可得，tan θ＝＝，所以可取θ＝. 答案：(答案不唯一) 1．sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.在平面直角坐标系中作∠AOB＝，在终边OB上取点P，使OP的长为1. 由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角为∠POA＝，因此可得点P的坐标为(，－)，所以sin ＝－.故选C. 2．(多选)设α＝210°＋k·360°(k∈Z)，则下列判断正确的是(　　) A．sin α>0 B．tan α>0 C．cos α<0 D．sin αcos α<0 解析：选BC.由题易知α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，sin αcos α>0.故选BC. 3．(教材P18T1改编)已知平面直角坐标系xOy，点P在半径为2的圆O上，现点P从圆O与y轴正半轴的交点A出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点P的纵坐标为________． 解析：由题意，点P顺时针旋转了60°，故∠xOP＝30°，sin ∠xOP＝，所以yP＝2sin ∠xOP＝1. 答案：1 4．(教材P17T1改编)已知角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，求sin α，cos α，tan α的值． 解：因为角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，所以令x＝5a，y＝12a(a<0)， 所以P到原点的距离r＝＝＝13|a|，因为a<0，所以r＝－13a，所以sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝. 1．已学习：三角函数的概念；三角函数值的求法；三角函数在各象限的符号． 2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关． 3．应注意：角α的正切函数有意义需满足{α|α≠＋kπ，k∈Z}．　 学科网（北京）股份有限公司 $