7.1.2 弧度制及其与角度制的换算(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学弧度制及其与角度制的换算，从初中角度制复习切入，通过思考弧长与半径关系引入弧度制概念，系统讲解定义、互化方法及扇形弧长与面积公式，构建完整知识支架。 以海浪、嘴角弧度等现实情境激发兴趣，用问题链引导推理弧长半径比值关系培养数学思维，设置即时练、跟踪训练强化互化与公式应用提升数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾巩固，弥补知识盲点。

7．1.2　弧度制及其与角度制的换算 1.了解弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的相互转化．　3.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 同学们，弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵…….而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 提示：1度的角等于周角的. 思考2　在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：圆心角是确定的． 思考3　 射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，则在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 提示：设α＝n°，因为l1＝，所以＝n. 故＝. 1．定义：用度作单位来度量角的制度称为____________，以________为单位来度量角的制度称为弧度制． 2．度量方法：长度等于____________的圆弧所对的圆心角为1弧度的角． 3．记法：弧度单位用符号“________”表示，或用“弧度”两个字表示． 4．公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则 α＝________． 点拨　(1)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可． (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． [答案自填] 角度制　弧度　半径长　rad 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)1 rad的角比1°的角要大．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.(　　) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　) (4)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．要在半径OA＝100 cm的圆形金属板上截取一块扇形板OAB，使弧AB的长为120 cm，则圆心角∠AOB＝(　　) A. rad B． rad C． rad D． rad 解析：选B.设扇形弧长为l，圆心角为α，半径为r，则α＝＝＝ rad.故选B. 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 答案：1弧度 关于弧度制的理解 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．　 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad＝________ 180°＝________ rad π rad＝________ 1°＝ rad≈ 0．017 45 rad 1 rad＝()°≈ 57．30°＝57°18′ 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° ____ 90° 120° 弧度 0 度 135° 150° ____ 270° 360° 弧度 π ____ [答案自填] 2π　360°　π　180°　60°　180°　2π 　(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．47°30′化成弧度是π B．－π化成角度是－600° C.－150°化成弧度是－π D．化成角度是15° 【解析】　对于A，47°30′化成弧度是×47.5＝π，故A正确；对于B，－π＝－×180°＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－π，故C错误；对于D，＝×180°＝15°，故D正确．故选ABD. 【答案】　ABD 角度制与弧度制的互化原则及方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝(α·)°；n°＝n· rad. [注意]　(1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用．　 [跟踪训练1] (1)200°的弧度数为(　　) A． B． C．9π D．10π 解析：选B.由200×＝.故选B. (2)将－157°30′化成弧度为________． 解析：－157°30′＝－157.5°＝－157.5×＝－. 答案：－ 　(对接教材例1)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是________． 【解析】　由题图，终边OB对应角为2kπ－，k∈Z，终边OA对应角为2kπ＋，k∈Z，所以终边落在题图中阴影部分角θ的集合是[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z. 【答案】　[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用．　 [跟踪训练2] 与60°角终边相同的角的集合是(　　) A． B．{α|α＝2kπ＋60°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋60°，k∈Z} D． 解析：选D.对于A，B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A，B错误；对于C，D，因为60°换算成弧度制为，所以与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}或{α|α＝2kπ＋，k∈Z}，C错误，D正确．故选D. 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝＝____________；扇形的面积：S＝·πr2＝____________＝______________． [答案自填] αr　lr　αr2 　已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l. (1)若α＝120°，r＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角． 【解】　(1)由题意知α＝120°＝， 所以弧长l＝αr＝×10＝(cm). (2)由题意得解得 (舍去)或故扇形的圆心角为 rad. 【变式探究】 (综合变式)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解：由题意知l＋2r＝20，所以S＝lr＝(20－2r)r＝10r－r2＝－(r－5)2＋25， 所以当r＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad. 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S＝lr＝αr2，弧长公式：l＝αr(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．　 [跟踪训练3] 杭州第19届亚运会会徽(图1)名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手、紧密相拥、永远向前．图2是会徽抽象出的几何图形．设的长度是l1，的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若l1＝2l2，S2＝2，则S1＝____________． 解析：设∠BOC＝α，由＝2， 得＝＝2，即OA＝2OB， 则＝ ＝＝ ＝3， 故S1＝3S2＝6. 答案：6 1．若α＝－＋kπ，k∈Z，则α终边所在象限为(　　) A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 解析：选B.因为－经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，故α＝－＋kπ，k∈Z，经过第一、三象限．故选B. 2．(多选)(教材P11T1改编)下列转化结果正确的是(　　) A．150°化成弧度是 B．－化成角度是45° C．－120°化成弧度是－ D．化成角度是30° 解析：选ACD.150°化成弧度是，A选项正确； －化成角度是－45°，B选项错误；－120°化成弧度是－，C选项正确；化成角度是30°，D选项正确．故选ACD. 3．已知扇形的弧长为20π cm，面积为300π cm2，求： (1)扇形的半径r； (2)扇形圆心角θ的弧度数． 解：(1)由题得300π＝×20πr，解得r＝30 cm. (2)由题意得扇形圆心角θ＝＝. 1．已学习：弧度制的概念；角度制与弧度制的互化；弧度制的应用；扇形弧长公式和面积公式的应用． 2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系． 3．应注意：(1)弧度与角度不能混用； (2)弧长公式、扇形的面积公式的圆心角必须以弧度为单位．　 学科网（北京）股份有限公司 $