8.1.1 向量数量积的概念 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积、夹角及投影等核心知识，通过平行四边形、直角三角形等实例导入，衔接向量基本概念与应用，构建从基础计算到综合应用的学习支架。 其亮点在于分层设计题目，从基础达标到素养拓展，结合数学思维与数学语言，如通过直角三角形向量数量积计算培养推理能力，新定义问题发展创新意识。助力学生巩固知识，提升应用能力，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

8．1.1　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 5．已知平面向量a满足a·e＝3，其中e是单位向量，则|a|的取值范围为(　　) A．(0，3) B．(0，3] C．[3，＋∞) D．(3，＋∞) 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 6．(多选)已知向量a，b和实数λ，则下列选项中正确的是(　　) A．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| 解析：选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角，故B错误． 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 课后达标 检测 8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影的数量为________． 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 5 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ √ 课后达标 检测 13．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a，b的夹角为________． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 15．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．已知在▱ABCD中，∠DAB＝60°，则 eq \o(AD,\s\up16(→)) 与 eq \o(CD,\s\up16(→)) 的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：如图，向量 eq \o(AD,\s\up16(→)) 与 eq \o(CD,\s\up16(→)) 的夹角为180°－60°＝120°. 2．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为 eq \f(5π,6) ，则a·b＝(　　) A.－6 B．6 eq \r(3) C．6 D．－6 eq \r(3) 解析： a·b＝3×4×cos eq \f(5π,6) ＝3×4×(－ eq \f(\r(3),2) )＝－6 eq \r(3) . 3．在Rt△ABC中，A＝90°，B＝60°，AB＝2，则 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝(　　) A．－4 B．4 C．－8 D．8 解析：因为△ABC为直角三角形，且B＝60°，AB＝2，所以BC＝4，且〈 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(BC,\s\up16(→)) 〉＝120°，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) || eq \o(BC,\s\up16(→)) |·cos 120°＝2×4×(－ eq \f(1,2) )＝－4. 4．已知|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，e是与b同向的单位向量，则a在b上的投影为(　　) A．e B．－ eq \r(3) e C． eq \r(3) e D．－e 解析：由题意知，a在b上的投影为|a|cos 120°·e＝2×(－ eq \f(1,2) )e＝－e. 解析：因为a·e＝|a||e|cos 〈a，e〉＝3>0，所以cos 〈a，e〉∈(0，1]，所以|a|＝ eq \f(3,|e|cos 〈a，e〉) ＝ eq \f(3,cos 〈a，e〉) ≥3，故|a|的取值范围为[3，＋∞).故选C. 7．在边长为3的等边三角形ABC中， eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(MC,\s\up16(→)) ，则 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝________． － eq \f(3,2) 解析：由题得 eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(MC,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→)) ，| eq \o(BM,\s\up16(→)) |＝1，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) || eq \o(BM,\s\up16(→)) |cos (180°－60°)＝3×1×(－ eq \f(1,2) )＝－ eq \f(3,2) . eq \f(3\r(2),2) 解析：由已知得向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos θ＝3× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(3\r(2),2) . 9．在正方形ABCD中， eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝25，则正方形ABCD的边长为________． 解析：在正方形ABCD中，〈 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 〉＝45°. 设| eq \o(AB,\s\up16(→)) |＝a(a>0)， 则 eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) || eq \o(AC,\s\up16(→)) |cos 〈 eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) 〉＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) |2＝a2＝25，解得a＝5. 所以正方形ABCD的边长为5. 10．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，求 eq \o(AC,\s\up16(→)) · eq \o(AB,\s\up16(→)) ， eq \o(AC,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ， eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) 的值． 解：因为AB＝6，AC＝8，BC＝10， 所以AB2＋AC2＝BC2， 所以A＝90°. 如图所示．所以 eq \o(AC,\s\up16(→)) · eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝0， eq \o(AC,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝| eq \o(AC,\s\up16(→)) || eq \o(BC,\s\up16(→)) |cos C＝8×10× eq \f(4,5) ＝64， eq \o(AB,\s\up16(→)) · eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) || eq \o(BC,\s\up16(→)) |cos (180°－B)＝－| eq \o(AB,\s\up16(→)) |·| eq \o(BC,\s\up16(→)) |cos B＝－6×10× eq \f(3,5) ＝－36. 11．如图，在太极图中，A，B分别为太极图中的最低点和最高点，AB经过大圆和小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段AB的两个四等分点(异于AB的中点)，过A作圆O1的切线，切点为C，则向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 在向量 eq \o(AC,\s\up16(→)) 上的投影为(　　) A．6 eq \o(AC,\s\up16(→)) B．4 eq \o(AC,\s\up16(→)) C． eq \a\vs4\al(4\r(2)) eq \a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→))) D． eq \a\vs4\al(3\r(2)) eq \a\vs4\al(\o(AC,\s\up16(→))) 解析：由题意得 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝4AO1，连接O1C(图略)，由AC与圆O1相切，得O1C⊥AC，故AO1在 eq \o(AC,\s\up16(→)) 上的投影为 eq \o(AC,\s\up16(→)) ， 所以向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 在向量 eq \o(AC,\s\up16(→)) 上的投影为4 eq \o(AC,\s\up16(→)) . 12．(多选)设向量a在向量b上的投影为m，则下列等式一定成立的是(　　) A．m＝( eq \f(a·b,|b|) )b B．m＝( eq \f(a·b,|b|2) )b C．m·b＝a·b D．m·a＝b·a 解析：记向量a，b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影m＝( eq \f(a·b,|b|) ) eq \f(b,|b|) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|2))) b，A错误，B正确； 所以m·b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|2))) b·b＝ eq \f(a·b,|b|2) ·|b|2＝a·b，故C正确； m·a＝ eq \f(a·b,|b|2) ·b·a＝ eq \f(|a|2|b|2cos2θ,|b|2) ＝|a|2cos2θ，故D错误．故选BC. eq \f(2π,3) 解析：由题意得a，b不共线，设 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝b， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则 eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝a＋b. 由|a|＝|b|＝|a＋b|可知，△OAC为等边三角形，△OCB也为等边三角形，故〈a，b〉＝ eq \f(2π,3) . 14．已知A1A2A3A4A5A6是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列： eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A3,\s\up16(→)) ， eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A4,\s\up16(→)) ， eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A5,\s\up16(→)) ， eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A6,\s\up16(→)) ． 解：设正六边形的边长为1，如图， 则| eq \o(A1A3,\s\up16(→)) |＝ eq \r(3) ，| eq \o(A1A4,\s\up16(→)) |＝2，| eq \o(A1A5,\s\up16(→)) |＝ eq \r(3) ，∠A2A1A3＝ eq \f(π,6) ，∠A2A1A4＝ eq \f(π,3) ，∠A2A1A5＝ eq \f(π,2) ，∠A2A1A6＝ eq \f(2π,3) ，所以 eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A3,\s\up16(→)) ＝| eq \o(A1A2,\s\up16(→)) |·| eq \o(A1A3,\s\up16(→)) |cos eq \f(π,6) ＝1× eq \r(3) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3,2) ， eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A4,\s\up16(→)) ＝| eq \o(A1A2,\s\up16(→)) || eq \o(A1A4,\s\up16(→)) |cos eq \f(π,3) ＝1×2× eq \f(1,2) ＝1， eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A5,\s\up16(→)) ＝0， eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A6,\s\up16(→)) ＝| eq \o(A1A2,\s\up16(→)) || eq \o(A1A6,\s\up16(→)) |·cos eq \f(2π,3) ＝1×1× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝ － eq \f(1,2) ， 所以 eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A6,\s\up16(→)) < eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A5,\s\up16(→)) < eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A4,\s\up16(→)) < eq \o(A1A2,\s\up16(→)) · eq \o(A1A3,\s\up16(→)) ． 解析：cos θ＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(－6,2×5) ＝－ eq \f(3,5) ， 因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝ eq \f(4,5) . 所以|a×b|＝2×5× eq \f(4,5) ＝8.故选A. 16．如图，扇形AOB中 eq \o(AB,\s\up18(︵)) 的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°. (1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用 eq \o(OA,\s\up16(→)) ， eq \o(OB,\s\up16(→)) 表示向量 eq \o(MC,\s\up16(→)) ； 解：连接BM，AM(图略).由已知可得 eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \o(OA,\s\up16(→)) ，四边形OAMB是菱形，则 eq \o(OM,\s\up16(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up16(→)) ，所以 eq \o(MC,\s\up16(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up16(→)) － eq \o(OM,\s\up16(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \o(OA,\s\up16(→)) －( eq \o(OA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up16(→)) )＝－ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up16(→)) － eq \o(OB,\s\up16(→)) . (2)求 eq \o(MC,\s\up16(→)) · eq \o(MD,\s\up16(→)) 的取值范围． 解：易知∠DMC＝60°，且| eq \o(MC,\s\up16(→)) |＝| eq \o(MD,\s\up16(→)) |， 那么只需求MC的最大值与最小值即可． 当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ eq \f(\r(3),2) ， 则 eq \o(MC,\s\up16(→)) · eq \o(MD,\s\up16(→)) ＝ eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),2) ×cos 60°＝ eq \f(3,8) . 当MC与MO或MA重合时，MC最大， 此时MC＝1， 则 eq \o(MC,\s\up16(→)) · eq \o(MD,\s\up16(→)) ＝1×1×cos 60°＝ eq \f(1,2) . 所以 eq \o(MC,\s\up16(→)) · eq \o(MD,\s\up16(→)) 的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(1,2))) . $