7.3.1 第2课时 正弦函数的图象(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦函数的图象，核心内容包括五点法作图、正弦曲线对称性及应用。通过华罗庚诗句导入数形结合思想，承接前期“数”的角度学习，搭建从“数”到“形”的学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点是以数形结合为主线，“五点法”作图培养几何直观（数学眼光），例题与跟踪训练层层递进发展逻辑推理（数学思维），应用部分结合定义域、不等式等问题强化数学语言表达。课堂小结突出关键点与数形结合，助力学生直观理解知识，教师提升教学效率。

第2课时　正弦函数的图象 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”的角度研究三角函数． 思考　结合所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示：先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等性质． 新知学习 探究 返回导航 1 －1 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x的图象在[0，2π]内的最高点，最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 用五点法作函数y＝－1＋2sin x，x∈[0，2π]的简图． 新知学习 探究 返回导航 (kπ，0)(k∈Z) 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　函数y＝sin x(x∈R)图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)，只有B选项符合，故选B. √ 新知学习 探究 返回导航 (1)正弦函数在对称轴处取得最大(或最小)值，正弦曲线的对称中心是曲线与x轴的交点，因此判断直线x＝x0或点(x0，0)是不是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． (2)正弦函数的图象有无数个对称中心，也有无数条对称轴． (3)一个周期内，正弦函数在图象对称轴处取得最值． (4)若定义域不是R，则正弦函数的图象不一定有对称轴和对称中心．　 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：y＝|sin x|的图象是由y＝sin x 的图象保持x轴上方的图象不变，x轴下方的图象沿x轴翻折得到，如图所示，由图可知，B，D选项是正确的． 新知学习 探究 返回导航 [－4，－π)∪(0，π) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图象直观地求得解集． (2)解三角不等式sin x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0，2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的三角函数值相等，写出原不等式的解集．　 新知学习 探究 返回导航 角度2　利用正弦函数图象解零点问题 　若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________． (1，3) 新知学习 探究 返回导航 (1)函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线，求得参数的取值范围． (2)作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)函数y＝lg |x|－sin x的零点个数为________． 解析：lg |x|－sin x＝0，故lg |x|＝sin x， 画出f(x)＝lg |x|和g(x)＝sin x的图象，两函数交点个数即为y＝lg |x|－sin x的零点个数，   由图象可得，共6个交点，所以y＝lg |x|－sin x的零点个数为6. 6 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．(教材P43T5改编)函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是(　　)     解析：因为y＝sin (－x)＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，只有D符合题意．故选D. √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]的图象与直线y＝2的交点的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]和直线y＝2的图象如图所示，可得两图象的交点共有4个．故选D. √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C.两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称 D．形状不同，位置不同 解析：根据公式①：sin (x＋2π)＝sin x，所以y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象形状相同、位置不同，且两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称．所以B，C正确，A，D错误．故选BC. √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：正弦函数的图象及应用，五点(画图)法． 2．须贯通：若函数图象要求精度不高，只描出函数图象的关键点，再根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图即可；解题时要注意数形结合． 3．应注意：“五点法”作图中“五点”的选取．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.会利用五点法作正弦函数的图象．　2.理解正弦曲线的对称性，并能利用正弦曲线解决简单问题． eq \a\vs4\al(一　五点法作正弦曲线) 1．一般地，y＝sin x的函数图象称为正弦曲线． 2．五点法作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sin x 0 eq \o(□,\s\up1(1)) ______ 0 eq \o(□,\s\up1(2)) ______ 0 (2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，0)， eq \o(□,\s\up1(3)) ____________，(π，0)， eq \o(□,\s\up1(4)) ________，(2π，0). (3)连线：用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1)) 　(对接教材例4)用五点法作出函数y＝ eq \f(3,2) ＋sin x，x∈[0，2π] 的简图． 【解】　(1)列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝ eq \f(3,2) ＋sin x eq \f(3,2) eq \f(5,2) eq \f(3,2) eq \f(1,2) eq \f(3,2) (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5,2))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(1,2))) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π，\f(3,2))) . (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，得到函数y＝ eq \f(3,2) ＋ sin x，x∈[0，2π]的简图，如图所示． 解：找关键的五个点，列表如下： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝－1＋2sin x －1 1 －1 －3 －1 描点连线，如图所示． eq \a\vs4\al(二　正弦曲线的对称性) 正弦曲线是轴对称图形，对称轴为 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________________________；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为 eq \o(□,\s\up1(2)) ____________________． x＝ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z) 　(1)函数y＝sin x(x∈R)图象的一条对称轴是　(　　) A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．直线x＝ eq \f(5π,2) 【解析】　函数y＝sin x(x∈R)图象的对称轴为x＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，只有D选项符合，故选D． (2)函数y＝sin x(x∈R)图象的一个对称中心是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1)) B．(－5π，0) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)，0)) D．(2π，1) [跟踪训练2] (多选)关于函数y＝|sin x|的图象，下列结论正确的是(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C.关于原点对称 D．关于直线x＝ eq \f(π,2) 对称 eq \a\vs4\al(三　正弦函数图象的应用) 角度1　利用正弦函数图象解三角不等式 　(1)函数f(x)＝lg (sin x)＋ eq \r(16－x2) 的定义域为__________________________． 【解析】　由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x>0，,16－x2≥0，)) 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin x>0，,－4≤x≤4.)) 作出y＝sin x的图象，如图所示． 结合图象可得x的定义域为[－4，－π)∪(0，π). (2)不等式 eq \f(1,2) <sin x≤ eq \f(\r(3),2) ，x∈[0，2π]的解集为___________________________________________． 【解析】　作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，画出直线y＝ eq \f(1,2) 和y＝ eq \f(\r(3),2) ，如图所示． {x| eq \f(π,6) <x≤ eq \f(π,3) ，或 eq \f(2π,3) ≤x＜ eq \f(5π,6) } 由图可知，在[0，2π]上，当 eq \f(π,6) <x≤ eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3) ≤x＜ eq \f(5π,6) 时，不等式 eq \f(1,2) <sin x≤ eq \f(\r(3),2) 成立．所以原不等式的解集为{x| eq \f(π,6) <x≤ eq \f(π,3) ，或 eq \f(2π,3) ≤x＜ eq \f(5π,6) }． 【解析】　f(x)＝sin x＋2|sin x| ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3sin x，0≤x≤π，,－sin x，π<x≤2π.)) 画出函数的图象如图所示， 又函数f(x)的图象与y＝k仅有两个不同交点，则k的取值范围是(1，3). [跟踪训练3] (1)函数y＝lg (sin x－ eq \f(\r(2),2) )的定义域为__________________________________． 解析：要使函数y＝lg (sin x－ eq \f(\r(2),2) )有意义， 则sin x－ eq \f(\r(2),2) >0，即sin x> eq \f(\r(2),2) . 作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]和直线y＝ eq \f(\r(2),2) 的图象，如图所示． 由图象可以得到满足条件的x的集合，即函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ)) ，k∈Z. ( eq \f(π,4) ＋2kπ， eq \f(3π,4) ＋2kπ)，k∈Z 4．(教材P44T4改编)不等式sin x<－ eq \f(1,2) ，x∈[0，2π]的解集为__________________． 解析：作出y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图象可知，不等式sin x<－ eq \f(1,2) 的解集为( eq \f(7π,6) ， eq \f(11π,6) ). ( eq \f(7π,6) ， eq \f(11π,6) ) $