7.3.1 第1课时 正弦函数的性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦函数的定义域、值域、奇偶性、周期性及单调性，以单位圆为学习支架，从三角函数定义自然过渡到性质探究，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过单位圆直观理解性质（数学眼光），结合例题（如求定义域、比较大小）培养推理能力（数学思维），用符号语言精准表达结论（数学语言）。课堂小结梳理易错点，助力学生深化理解，为教师提供系统教学资源。

7．3　三角函数的性质与图象 7．3.1　正弦函数的性质与图象 第1课时　正弦函数的性质 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有着天然的联系，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！ 思考　角α的终边与单位圆的交点是否唯一？该交点的纵坐标是什么？ 提示：唯一，纵坐标为y＝sin α. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 R [－1，1] 1 －1 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域． 新知学习 探究 返回导航 求正弦函数的值域一般有以下两种方法 (1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题． (2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.　 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 奇 新知学习 探究 返回导航 f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 新知学习 探究 返回导航 整数倍 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期． (2)f(x)＝|sin x|. 【解】　易知x∈R，f(－x)＝|sin (－x)|＝|sin x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数．由f(x)＝|sin x|＝|sin (x＋kπ)|＝f(x＋kπ)，k∈Z，可知f(x)的最小正周期为π. 新知学习 探究 返回导航 (1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法． (2)当函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时，其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)f(x)＝x sin x是(　　) A．奇函数　　　　　 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇函数，又是偶函数 解析：因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(－x)＝－x sin (－x)＝ x sin x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)函数y＝2－sin x的单调递减区间为____________． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 ②sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. 因为y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，且0°<14°<70°<90°，所以sin 14°<sin 70°， 所以－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. 新知学习 探究 返回导航 用单调性比较三角函数值大小的策略 比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性进行比较，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)下列关系式中正确的是(　　) A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10° C．sin 11°<sin 168°<cos 10° D．cos 10°<sin 168°<sin 11° 解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以 sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C. √ 新知学习 探究 返回导航 (2)若x∈[0，π]，则函数y＝1－3sin x的单调递减区间为____________． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 因为f(－x)＝sin (－x)＋1＝－sin x＋1≠－f(x)，故B不正确； f(x) 的最小正周期为2π，故C正确； f(x)的最大值为1＋1＝2，故D正确． 课堂巩固 自测 返回导航 2．(教材P43练习AT1改编)已知2a－1－3sin x＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．[0，1] C．(0，1) D．[－1，2] 解析：由题意得2a－1＝3sin x，因为sin x∈[－1，1]，所以－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2. √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：正弦函数的周期性与奇偶性、正弦函数的单调区间、比较三角函数值的大小、正弦函数的定义域与最值(值域). 2．须贯通：正弦函数的单调性及其应用、求函数的最值(值域). 3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z； (2)求值域时忽视sin x本身具有的范围．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．　2.依据正弦线理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间及最值，会判断它的奇偶性． eq \a\vs4\al(一　正弦函数的定义域与值域（最值）) 1．正弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x 与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 2．正弦函数的定义域与值域 因为任意角都有正弦，所以y＝sin x的定义域为 eq \o(□,\s\up1(1)) ________． 如图，由正弦线可以看出， eq \o(MP,\s\up16(→)) 的长度最大是1，最小是0.因此可知y＝sin x的值域为 eq \o(□,\s\up1(2)) ________，而且当且仅当x＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x的最大值ymax＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ________； 当且仅当x＝ eq \f(3π,2) ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x 的最小值ymin＝ eq \o(□,\s\up1(4)) ________． 　(1)函数y＝ eq \r(log2\f(1,sin x)－1) 的定义域为_________________________． 【解】　为使函数有意义，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,sin x)－1≥0，,sin x>0，)) 即0<sin x≤ eq \f(1,2) . 由图可得函数的定义域为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<x≤\f(π,6)＋2kπ或)) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋2kπ≤x<π＋2kπ，k∈Z)) . 故答案为： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<x≤\f(π,6)＋2kπ或\f(5π,6)＋2kπ)) ≤x<π＋2kπ，k∈Z}． 【解】　当x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)) 时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3； 当x∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)) 时，ymin＝－2×1＋1＝－1， 所以函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3]. [跟踪训练1] (1)(多选)已知函数f(x)＝2a sin x＋a＋b的定义域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，值域为[－5，－1]，则a，b的值为(　　) A．a＝2，b＝－7 B．a＝－2，b＝2 C．a＝－2，b＝1 D．a＝1，b＝－2 解析：因为f(x)＝2a sin x＋a＋b的定义域是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以0≤sin x≤1. 当a<0时，由题意 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－1，,3a＋b＝－5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1.)) 当a>0时，由题意 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－5，,3a＋b＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－7.)) (2)求函数y＝cos2x－sinx在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) 上的最值． 解：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx ＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(5,4) . 因为－ eq \f(π,4) ≤x≤ eq \f(π,4) ， 所以－ eq \f(\r(2),2) ≤sin x≤ eq \f(\r(2),2) ， 所以当x＝－ eq \f(π,6) ，即sin x＝－ eq \f(1,2) 时， 函数y＝cos2x－sinx取得最大值，ymax＝ eq \f(5,4) ； 当x＝ eq \f(π,4) ，即sin x＝ eq \f(\r(2),2) 时， 函数y＝cos2x－sinx取得最小值，ymin＝ eq \f(1,2) － eq \f(\r(2),2) . eq \a\vs4\al(二　正弦函数的奇偶性与周期性) 1．正弦函数的奇偶性 由诱导公式sin (－x)＝－sin x可知，正弦函数y＝sin x是 eq \o(□,\s\up1(1)) ________函数，其图象关于原点中心对称． 2．周期函数 (1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足 eq \o(□,\s\up1(2)) ____________________，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期． (2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 eq \o(□,\s\up1(3)) ______________，那么这个最小的正数就称为f(x) 的最小正周期． 3．正弦函数的周期性 由诱导公式sin (x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)，可知，当自变量x的值每增加或减少2π的 eq \o(□,\s\up1(4)) ____________时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性． 　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期． (1)f(x)＝sin eq \f(1,2) x(x∈R)； 【解】　因为x∈R，所以定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x)) ＝－sin eq \f(1,2) x＝－f(x)， 所以f(x)＝sin eq \f(1,2) x是奇函数． 因为sin eq \f(x,2) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋2π)) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（x＋4π）)) ， 所以f(x)＝sin eq \f(x,2) 的最小正周期是4π. (2)判断等式sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(5π,3))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) 是否成立．如果成立，能否说明 eq \f(5π,3) 是函数y＝sin x的周期？ 解：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋\f(5π,3))) ＝sin eq \f(4π,3) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3))) ＝－sin eq \f(π,3) ，而sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝ －sin eq \f(π,3) ，所以上述等式成立，但不能说明 eq \f(5π,3) 是函数y＝sin x的周期． 理由如下，若 eq \f(5π,3) 是函数y＝sin x的周期，则对任意的实数x，都有sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,3))) ＝sin x， 但当x＝0时，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,3))) ≠sin x，所以 eq \f(5π,3) 不是函数y＝sin x的周期． eq \a\vs4\al(三　正弦函数的单调性及应用) 一般地，正弦函数y＝sin x在区间___________________________(k∈Z)上递增，在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ)) (k∈Z)上递减． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) 【解】　当－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤x≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝2－sin x单调递减，故y＝2－sin x的单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) (k∈Z)． 故答案为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) (k∈Z). (2)(对接教材例2)不求值，比较大小． ①sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π)) 与sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,3)π)) ； ②sin 194°和cos 160°. 【解】　①sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π－\f(π,6))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ， sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(49,3)π)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16π＋\f(π,3))) ＝sin eq \f(π,3) . 因为函数y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上单调递增， 且－ eq \f(π,2) <－ eq \f(π,6) < eq \f(π,3) < eq \f(π,2) ， 所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))) ＜sin eq \f(π,3) ， 即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(37,6)π)) ＜sin eq \f(49,3) π. 解析：当－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤x≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z时，函数y＝1－3sin x单调递减． 若x∈[0，π]，因为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) (k∈Z)∩[0，π]＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，所以当x∈[0，π]时，y＝1－3sin x的单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) . eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 1．对于函数f(x)＝sin x＋1，下列选项中不正确的是(　　) A．f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) 上单调递增 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2 解析：因为函数y＝sin x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) 上单调递增，所以f(x)＝sin x＋1在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) 上单调递增，故A正确； 3．(教材P43练习AT3改编)函数y＝9－sin x的单调递增区间是(　　) A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) (k∈Z) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ)) (k∈Z) C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，π＋2kπ)) (k∈Z) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π＋2kπ，2kπ)) (k∈Z) 解析：易知函数y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同，即 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ)) (k∈Z). 4．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,5))) 与sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))) 的大小关系为___________________________． (用“>”连接) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,5))) >sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))) 解析：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,5))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(3π,5))) ＝sin eq \f(3π,5) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5))) ＝sin eq \f(2π,5) ， sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,4))) ＝sin eq \f(π,4) ， 因为0< eq \f(π,4) < eq \f(2π,5) < eq \f(π,2) ，且y＝sin x在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 上递增， 所以sin eq \f(2π,5) >sin eq \f(π,4) ， 即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,5))) >sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4))) . $