7.1.2 弧度制及其与角度制的换算(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦弧度制概念、角度与弧度互化及扇形弧长面积公式，通过生活中弧度实例（海浪、嘴角等）导入，结合思考问题衔接初中角度制，搭建新旧知识支架，引导学生理解弧度定义与公式推导。 其亮点是融入生活实例与实际问题（如亚运会会徽几何题），通过即时练、例题及跟踪训练，培养数学眼光（抽象弧度概念）、数学思维（逻辑推理换算）、数学语言（公式表达）。帮助学生系统掌握知识，教师可提升教学效率与学生应用能力。

7．1.2　弧度制及其与角度制的换算 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵…….而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 新知学习 探究 返回导航 思考2　在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：圆心角是确定的． 思考3　射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，则在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 新知学习 探究 返回导航 角度制 弧度 半径长 rad 新知学习 探究 返回导航 点拨　(1)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可． (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． 新知学习 探究 返回导航 √ × √ √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为________． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 1弧度 新知学习 探究 返回导航 关于弧度制的理解 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．　 新知学习 探究 返回导航 2π 360° π 180° 新知学习 探究 返回导航 60° 180° 2π 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [注意]　(1)弧度单位rad可以省略． (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)将－157°30′化成弧度为________． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 解析：对于A，B，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A，B错误； 新知学习 探究 返回导航 αr 新知学习 探究 返回导航 　已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l. (1)若α＝120°，r＝10 cm，求扇形的弧长l； 新知学习 探究 返回导航 已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l. (2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (综合变式)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 6 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 3．已知扇形的弧长为20π cm，面积为300π cm2，求： (1)扇形的半径r； (2)扇形圆心角θ的弧度数． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：弧度制的概念；角度制与弧度制的互化；弧度制的应用；扇形弧长公式和面积公式的应用． 2．须贯通：角度制与弧度制是两种不同度量角的制度，任何一个角无论是以弧度为单位还是以角度为单位，都是一个与半径无关的定值，并且它们之间存在着一定的换算关系． 3．应注意：(1)弧度与角度不能混用； (2)弧长公式、扇形的面积公式的圆心角必须以弧度为单位．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.了解弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的相互转化．　3.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． 提示：1度的角等于周角的 eq \f(1,360) . 提示：设α＝n°，因为l1＝ eq \f(nπr1,180) ，所以 eq \f(l1,r1) ＝n eq \f(π,180) . 故 eq \f(l,r) ＝ eq \f(l1,r1) . eq \a\vs4\al(一　弧度制) 1．定义：用度作单位来度量角的制度称为 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________，以 eq \o(□,\s\up1(2)) ________为单位来度量角的制度称为弧度制． 2．度量方法：长度等于 eq \o(□,\s\up1(3)) ____________的圆弧所对的圆心角为1弧度的角． 3．记法：弧度单位用符号“ eq \o(□,\s\up1(4)) ________”表示，或用“弧度”两个字表示． 4．公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则 α＝ eq \o(□,\s\up1(5)) ________． eq \f(l,r) 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)1 rad的角比1°的角要大．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.(　　) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　) (4)1°的角是周角的 eq \f(1,360) ，1 rad的角是周角的 eq \f(1,2π) .(　　) 2．要在半径OA＝100 cm的圆形金属板上截取一块扇形板OAB，使弧AB的长为120 cm，则圆心角∠AOB＝(　　) A. eq \f(5,6) rad B． eq \f(6,5) rad C． eq \f(3,5) rad D． eq \f(5,3) rad 解析：设扇形弧长为l，圆心角为α，半径为r，则α＝ eq \f(l,r) ＝ eq \f(120,100) ＝ eq \f(6,5) rad.故选B. eq \a\vs4\al(二　弧度制与角度制的换算) 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ________ rad 2π rad＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ________ 180°＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ________ rad π rad＝ eq \o(□,\s\up1(4)) ________ 1°＝ eq \f(π,180) rad≈0．017 45 rad 1 rad＝( eq \f(180,π) )°≈57．30°＝57°18′ 度数× eq \f(π,180) ＝弧度数 弧度数× eq \f(180,π) ＝度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° eq \o(□,\s\up1(5)) ____ 90° 120° 弧度 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) 度 135° 150° eq \o(□,\s\up1(6)) ____ 270° 360° 弧度 eq \f(3π,4) eq \f(5π,6) π eq \f(3π,2) eq \o(□,\s\up1(7)) ____ 　(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．47°30′化成弧度是 eq \f(19,72) π B．－ eq \f(10,3) π化成角度是－600° C.－150°化成弧度是－ eq \f(7,6) π D． eq \f(π,12) 化成角度是15° 对于D， eq \f(π,12) ＝ eq \f(1,12) ×180°＝15°，故D正确．故选ABD. 【解析】　对于A，47°30′化成弧度是 eq \f(π,180) ×47.5＝ eq \f(19,72) π，故A正确； 对于B，－ eq \f(10,3) π＝－ eq \f(10,3) ×180°＝－600°，故B正确； 对于C，－150°＝－150× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(5,6) π，故C错误； 角度制与弧度制的互化原则及方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ eq \f(π,180) rad和1 rad＝( eq \f(180,π) )°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝(α· eq \f(180,π) )°；n°＝n· eq \f(π,180) rad. [跟踪训练1] (1)200°的弧度数为(　　) A． eq \f(7π,10) B． eq \f(10π,9) C．9π D．10π 解析：由200× eq \f(π,180) ＝ eq \f(10π,9) .故选B. 解析：－157°30′＝－157.5°＝－157.5× eq \f(π,180) ＝－ eq \f(7π,8) . － eq \f(7π,8) eq \a\vs4\al(三　用弧度制表示角) 　(对接教材例1)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合是_________________________________． [2kπ－ eq \f(π,6) ，2kπ＋ eq \f(3π,4) ]，k∈Z 【解析】　由题图，终边OB对应角为2kπ－ eq \f(π,6) ，k∈Z，终边OA对应角为2kπ＋ eq \f(3π,4) ，k∈Z，所以终边落在题图中阴影部分角θ的集合是[2kπ－ eq \f(π,6) ，2kπ＋ eq \f(3π,4) ]，k∈Z. [跟踪训练2] 与60°角终边相同的角的集合是(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝k·360°＋\f(π,4)，k∈Z)) B．{α|α＝2kπ＋60°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋60°，k∈Z} D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)) 对于C，D，因为60°换算成弧度制为 eq \f(π,3) ，所以与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}或{α|α＝2kπ＋ eq \f(π,3) ，k∈Z}，C错误，D正确．故选D. eq \a\vs4\al(四　扇形的弧长及面积公式) 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝ eq \f(nπr,180) ＝ eq \o(□,\s\up1(1)) ____________；扇形的面积：S＝ eq \f(α,2π) ·πr2＝ eq \o(□,\s\up1(2)) ____________＝ eq \o(□,\s\up1(3)) ______________． eq \f(1,2) lr eq \f(1,2) αr2 【解】　由题意知α＝120°＝ eq \f(2π,3) ， 所以弧长l＝αr＝ eq \f(2π,3) ×10＝ eq \f(20π,3) (cm). 【解】　由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝10，,\f(1,2)αr2＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝8)) (舍去)或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝4，,α＝\f(1,2)，)) 故扇形的圆心角为 eq \f(1,2) rad. 解：由题意知l＋2r＝20，所以S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) (20－2r)r＝10r－r2＝－(r－5)2＋25， 所以当r＝5 cm时，S取得最大值，最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad. 扇形的弧长和面积的求解策略 (1)记公式：面积公式：S＝ eq \f(1,2) lr＝ eq \f(1,2) αr2，弧长公式：l＝αr(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π). (2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．　 [跟踪训练3] 杭州第19届亚运会会徽(图1)名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手、紧密相拥、永远向前．图2是会徽抽象出的几何图形．设 eq \o(AD,\s\up18(︵)) 的长度是l1， eq \o(BC,\s\up18(︵)) 的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若l1＝2l2，S2＝2，则S1＝____________． 解析：设∠BOC＝α，由 eq \f(l1,l2) ＝2， 得 eq \f(OA·α,OB·α) ＝ eq \f(OA,OB) ＝2，即OA＝2OB， 则 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(\f(1,2)α·OA2－\f(1,2)α·OB2,\f(1,2)α·OB2) ＝ eq \f(OA2－OB2,OB2) ＝ eq \f(4OB2－OB2,OB2) ＝3， 故S1＝3S2＝6. 1．若α＝－ eq \f(2π,3) ＋kπ，k∈Z，则α终边所在象限为(　　) A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 解析：因为－ eq \f(2π,3) 经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，故α＝－ eq \f(2π,3) ＋kπ，k∈Z，经过第一、三象限．故选B. 2．(多选)(教材P11T1改编)下列转化结果正确的是(　　) A．150°化成弧度是 eq \f(5π,6) B．－ eq \f(π,4) 化成角度是45° C．－120°化成弧度是－ eq \f(2π,3) D． eq \f(π,6) 化成角度是30° eq \f(π,6) 化成角度是30°，D选项正确．故选ACD. 解析：150°化成弧度是 eq \f(5π,6) ，A选项正确； － eq \f(π,4) 化成角度是－45°，B选项错误； －120°化成弧度是－ eq \f(2π,3) ，C选项正确； 解：由题得300π＝ eq \f(1,2) ×20πr，解得r＝30 cm. 解：由题意得扇形圆心角θ＝ eq \f(20π,30) ＝ eq \f(2π,3) . $