2.3.1 向量的数乘运算 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．若a＝2b＋c，则化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(　　) A．－a　　　　　　　　 B．－b C．－c D．以上都不对 解析：选C.因为a＝2b＋c，所以3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b) ＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c，故选C. 2．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则点P在(　　) A．△ABC外部 B．线段AB上 C．线段BC上 D．线段AC上 解析：选D.因为＋＋＝，所以＋＋－＝0，所以＋＋＋＝＋＋＝0，所以2＝，所以点P在线段AC上．故选D. 3．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选A.因为＝－，＝－，所以－＝t(－)，所以＝(1－t)＋t＝＋，所以t＝.故选A. 4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－4＋3＝0，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：选B.由－4＋3＝0，得－＝3(－)，即＝3，所以＝＋＝，所以||＝||，即＝，故选B. 5．(多选)已知向量a＝2e，b＝－6e，e为非零向量，则下列说法正确的是(　　) A．a∥b B．向量a，b方向相反 C．|a|＝3|b| D．b＝－3a 解析：选ABD.由数乘运算的定义可知，a与b方向相反且|b|＝3|a|，A，B正确，C错误．因为a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确．故选ABD. 6．(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.＝a－b B.＝－a＋b C.＝－a－b D.＝a＋b 解析：选BC.如图所示，＝＋＝－b－a，A错误； ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－a＋b，B正确；＝＋＝－－＝－a－b，C正确； ＝＋＝－－＝－a－b，D错误．故选BC. 7．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝________. 解析：因为＝＝，∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.所以＝.又与同向，所以＝. 答案： 8．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_____________.(用a，b表示) 解析：如图，＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a. 答案：b－a 9．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，则－＋(2b－a)＝________．(用i，j表示) 解析：原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j. 答案：－i－5j 10．已知在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：＝(＋)． 证明：如图，因为E为AD的中点， 所以＝. 因为F是BC的中点， 所以＝(＋)． 又因为＝＋， 所以＝(＋＋)＝(＋)＋，所以＝－＝(＋)＋－＝(＋)． 即＝(＋)． 11．(多选)已知点P为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．向量与可能平行 B．点P在线段EF的延长线上 C．点P在线段EF上 D．PE∶PF＝2∶1 解析：选CD.因为点P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点， 则＋＝2，＋＝2，而＋2＋3＝0，即(＋)＋2(＋)＝0，于是得2＋4＝0，即＝2，所以点P在线段EF上，且PE∶PF＝2∶1.又点P在△ABC的中位线EF上，有EF∥AB，即点P，A，C不共线，则向量与不可能平行．故A不正确，B不正确，C正确，D正确．故选CD. 12．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：选B.因为－＝，所以＝λ.令＋＝，则是以A为起点，以向量，对应线段为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上． 因为＝λ，所以，共线．故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选B. 13．在四边形ABCD中，若＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________． 解析：如图所示，因为＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)， 所以＝2.所以与共线，且||＝2||. 又因为这两个向量所在的直线不重合，所以AD∥BC，且AD＝2BC. 所以四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 答案：梯形 14．已知点D为等边三角形ABC所在平面内一点，＝，且线段BC上存在点E，使得＝＋.试确定点E的位置，并说明理由． 解：因为＝，所以＝， 所以＝×＋＝＋，从而＝－＝－＝(－)＝， 故点E为靠近点B的一个三等分点． 15．已知点P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△ABP与△ACP的面积之比是(　　) A．3∶1 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶2 解析：选B.由＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，可得＝－，即点P在线段BC上，且||＝||，则S△ABP∶S△ACP＝||∶||＝2∶3.故选B. 16.如图，O为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且＝＋＋. (1)求证：H是△ABC的垂心；(提示：＋＝－＝) (2)若H为△ABC所在平面内任一点，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？ 解：(1)证明：因为O为△ABC的外心，H为△ABC内一点，且＝＋＋， 所以＋＝－＝. 取AB的中点E(图略)，则＋＝2， 又||＝||，所以OE⊥AB. 又＝2，所以CH⊥AB. 同理＋＝－＝，可得BH⊥AC，＋＝－＝，可得AH⊥BC， 所以H是三条高线的交点，即H是△ABC的垂心． (2)成立． 因为向量的运算法则不会因为H在△ABC上或外侧而发生改变， 所以只要满足题干中的条件，仍然能按照(1)中的推导证明H是△ABC的垂心． 学科网（北京）股份有限公司 $