2.1 从位移、速度、力到向量 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．下列说法错误的是(　　) A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有长度的 C．零向量与任意向量平行 D．零向量的方向是任意的 解析：选B.零向量的长度为0，方向是任意的，它与任意向量都平行，所以A，C，D正确，B错误．故选B. 2．设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是(　　) A．a0＝b0　　　　　　　 B．a0＝－b0 C．a0∥b0 D．|a0|＋|b0|＝2 解析：选D.单位向量的模为1，故|a0|＋|b0|＝2，D正确，因为a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，故A，B，C错误，故选D. 3．已知汽车以大小为120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以大小为45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：选C.速度和位移都是向量，向量不能比较大小，易知C正确，故选C. 4.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，||＝2，则||＝(　　) A．1 B. C. D．2 解析：选A.如图，连接AC，由||＝||，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上一点，AB为直径，所以∠ACB＝90°，所以||＝||＝1.故选A. 5．(多选)若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中正确的是(　　) A．a∥b B．a≠b C．|a|≠|b| D．b＝－a 解析：选ABD.由平行向量的定义可知a∥b，故A正确；因为a和b的方向相反，所以a≠b，故B正确；由相反向量的定义可知b＝－a，|a|＝|b|，故C错误，D正确．故选ABD. 6.(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A.与共线 B.与共线 C.与共线 D.与共线 解析：选BD.对于A，因为AB与AC不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，A错误；对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE∥BC，故与共线，B正确；对于C，因为AB与AE不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，C错误；对于D，因为D是AB的中点，所以AD＝BD，且与方向相反，所以与共线，D正确．故选BD. 7.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，那么与的夹角为________． 解析：与的夹角等于与的夹角，显然为120°. 答案：120° 8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝__________ 解析：因为向量m与向量是平行向量，所以向量m与向量方向相同或相反．因为向量m与是共线向量，所以向量m与向量方向相同或相反．又由A，B，C是不共线的三点，可知向量与向量不共线，则m＝0. 答案：0 9．一辆汽车从A出发向正西方向行驶100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°方向行驶200 km到达C点，又改变方向，向正东方向行驶100 km到达D点．D在A的西偏北______方向上，||＝________km. 解析：作出向量，，，如图所示．由题意，易知与方向相反，故与共线．又||＝||，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km.由图知向量的方向为西偏北50°. 答案：50°　200 10.如图所示，在四边形ABCD中，＝，点N，M分别是AD，BC上的点，且＝，求证：＝. 证明：因为＝，所以AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以＝， 又＝，所以CN＝MA，CN∥MA， 所以四边形CNAM是平行四边形， 所以＝，所以CM＝NA，CM∥NA. 因为CB＝DA，CM＝NA， 所以MB＝DN. 又DN∥MB，所以与的模相等且方向相同，所以＝. 11.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与相等的向量只有1个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与的夹角为120° 解析：选ABC.由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，共9个，故A，B正确； 在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以||＝||，故||＝||，故C正确； 由于＝，所以与的夹角为∠CDA＝60°，故D不正确．故选ABC. 12.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在图中标出了4个向量，则下列说法正确的是(　　) A．向量，的模相等 B．||＝ C．向量，共线 D．||＋||＝10 解析：选BC.对于A，因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，所以A错误； 对于B，因为||＝＝，所以B正确； 对于C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°， 所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确； 对于D，因为||＋||＝＋＝5≠10， 所以D错误．故选BC. 13.已知在四边形ABCD中，＝，且||＝||，tan D＝，则四边形ABCD的形状是________． 解析：因为在四边形ABCD中，＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．因为tan D＝，∠D∈(0，π)，所以∠B＝∠D＝.又＝，即AB＝AC，所以△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC，故四边形ABCD是菱形． 答案：菱形 14.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解：(1)所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.所以||的最大值为，最小值为. 15.如图所示，在▱ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为________． 解析：由题可知，集合S中任意两点连成的有向线段共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝. 因为集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个． 答案：12 16.如图，已知以O为圆心，1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点或终点作向量．求： (1)向量与的夹角； (2)与向量垂直的向量； (3)模等于的向量的个数． 解：(1)由题意得所对圆心角是45°，即∠DOE＝45°，所以向量与的夹角为45°. (2)由题意得BF是圆O的直径，OD⊥BF，CE∥BF∥AG，如图， 所以与向量垂直的向量有： ，，，，，，，，，. (3)以A，B，C，D，E，F，G，H中四点为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形ACEG，另一个是正方形BDFH.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一条边对应两个向量)的长度为，故模为的向量共有4×2×2＝16(个)． 学科网（北京）股份有限公司 $