4.2.3 三角函数的叠加及其应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦三角函数的叠加及其应用，前承两角和与差的三角函数公式，通过具体实例推导叠加公式结构，构建从公式正逆用到化简、图象变换及最值求解的学习支架。 资料以问题链引导探究，如“sinx - cosx能否化为单三角函数”培养数学眼光，强调角的构造与公式逆用发展数学思维，结合向量、图象平移等实例提升数学表达。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2．3　三角函数的叠加及其应用 1.初步掌握两角和与差的三角函数公式和公式的由来以及公式的正用和逆用．　2.理解三角函数叠加公式的结构形式，并利用公式进行化简． 思考　式子sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°可以化简成什么式子？式子sin 20°－cos 20°能否化为只含有一个三角函数的形式？式子sin x－cos x呢？ 提示：sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°＝sin(20°＋30°)＝sin 50°； sin 20°－cos 20°＝sin 20°cos 60°－cos 20°sin 60°＝sin(20°－60°)＝－sin 40°； sin x－cos x＝＝ ＝sin (x－). 1．三角函数的叠加公式 a sin α＋b cos α＝________________(a，b不同时为0).其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由__________和________的值确定，也就是由tan φ＝________来确定． 2．几个振幅和初相不同但________相同的正弦波之和，总是________另一个具有相同频率的正弦波． [答案自填] sin (α＋φ)　sin φ cos φ　　频率　等于 　(对接教材例5)(1)化简cos x＋sin x＝(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2cos (2)已知向量a＝(sin α，1)，b＝(3，3cos α－)，若a⊥b，则cos ＝__________． 【解析】　(1)原式＝2(cos x＋sin x) ＝2＝2cos . (2)由a⊥b得a·b＝0，即3sin α＋3cos α－＝0，因此sin α＋cos α＝，即cos ＝，于是cos ＝，故cos ＝. 【答案】　(1)B　(2) 应用三角函数的叠加公式找角的三个注意点 (1)同一个角：在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和与差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角． (2)灵活找角：找角可以灵活，不必拘于结论的形式，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角． (3)特殊角：看到特殊值，1，，时，一定要考虑引入特殊角，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的φ来代替，再在旁边标注φ的一个三角函数值． [跟踪训练1] (1)已知cos (x－)＝－，则cos x＋cos (x－)＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 解析：选C.cos x＋cos (x－) ＝cos x＋cos x cos ＋sin x sin ＝cos x＋sin x ＝ ＝cos ＝－×＝－1，故选C. (2)计算：(tan 10°－)sin 40°＝__________． 解析：(tan 10°－)sin 40° ＝(－)sin 40° ＝·sin 40° ＝·sin 40° ＝ ＝ ＝＝－1. 答案：－1 　函数y＝(sin 2x＋cos 2x)的图象向左平移个单位长度得到下列哪个函数的图象(　　) A．y＝sin (2x－) B．y＝－sin (2x＋) C．y＝－cos (2x＋) D．y＝cos (2x＋) 【解析】　y＝(sin 2x＋cos 2x)＝sin (2x＋)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin ＝cos (2x＋)＝－sin 的图象，故选D. 【答案】　D 研究三角函数图象的变换时，要把三角函数式化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式后解决问题． [跟踪训练2] 为了得到函数y＝sin x－cos x的图象，只要把y＝2sin x的图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选B.因为y＝sin x－cos x＝2sin (x－)，所以为了得到函数y＝2sin (x－)的图象，只需把函数y＝2sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度．故选B. 　(对接教材例6)函数f(x)＝sin (x＋)＋cos (x－)的最大值为(　　) A． B．1 C． D． 【解析】　方法一：因为f(x)＝sin ＋cos ＝＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x＝×2sin ＝sin ，所以f(x)的最大值为.故选A. 方法二：因为－＝， 所以x－＝－， 所以cos ＝cos ＝sin . 所以f(x)＝sin ＋sin ＝sin . 所以f(x)的最大值为. 【答案】　A 【变式探究】 1．(综合变式)本例函数f(x)的解析式不变，若x∈[0，π)，f(x)＝a有两个不同的实根，则实数a的取值范围是____________． 解析：f(x)＝sin ，令t＝x＋，因为x∈[0，π)，所以t∈. 画出函数f(t)＝sin t，t∈的示意图． 因为f＝，由图象可知，要使f(x)＝a有两个不同的实根，则≤a<. 答案： 2．(综合变式)本例函数f(x)的解析式不变，若x∈[0，π)，求函数f(x)的值域． 解：f(x)＝sin ，因为0≤x<π， 所以≤x＋<，所以－<sin ≤1， 所以－<f(x)≤， 故函数f(x)的值域为. (1)研究此类函数的性质，应先利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，然后求解性质． (2)化简过程中，注意角度之间的关系，往往是先展开，再合并． [跟踪训练3] (1)若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.方法一：f(x)＝5cos x＋12sin x ＝13＝13sin (x＋α)， 其中sin α＝，cos α＝， 由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)， 得θ＝2kπ－－α(k∈Z)， 所以cos θ＝cos ＝cos (＋α)＝－sin α＝－.故选B. 方法二：由f(x)＝13sin (x＋φ)，知函数的最小值为－13. 依题意5cos θ＋12sin θ＝－13， 联立 解得cos θ＝－.故选B. (2)已知函数f(x)＝cos －sin 2x. ①求f(x)的最小正周期； ②求证：当x∈时，f(x)≥－. 解：①f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin . 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. ②证明：因为－≤x≤， 所以－≤2x＋≤， 所以sin ≥sin ＝－， 所以当x∈时，f(x)≥－. 1．(教材P159T1改编)sin ＋cos 的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.sin ＋cos ＝(sin ＋cos )＝sin (＋)＝sin ＝.故选B. 2．(教材P159T3改编)函数y＝4sin (3x＋)＋3cos (3x＋)的最小正周期是(　　) A．6π B．2π C． D． 解析：选C.因为y＝4sin (3x＋)＋3cos (3x＋)＝5sin (3x＋＋φ)(其中tan φ＝)， 所以最小正周期T＝.故选C. 3．函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到． 解析：因为y＝sin x－cos x＝2sin ，所以函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到． 答案： 4．函数y＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个单位长度后的函数解析式为________． 解析：函数y＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得函数解析式为y＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－). 答案：y＝sin (2x－) 1．已学习：叠加公式的推导、叠加公式的应用． 2．须贯通：叠加公式的应用，实质是两角和与差的正、余弦公式的逆用． 3．应注意：写错辅助角、写错函数名称． 学科网（北京）股份有限公司 $