2.3.1 向量的数乘运算(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学向量的数乘运算核心知识点，系统梳理其定义、几何意义、运算律及线性运算，前承向量加减运算，后为向量共线定理等内容铺垫，构建向量线性运算完整知识支架。 通过蚂蚁运动情境引入培养数学眼光，结合定义推导与例题解析发展数学思维，以符号表达和线性运算训练数学语言。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升向量运算能力与应用意识。

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3．1　向量的数乘运算 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义．　2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a. 思考1　蚂蚁向东运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 提示：3a. 思考2　蚂蚁向西运动5秒钟的位移对应的向量怎样表示？ 提示：－5a. 1．定义 实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作________，满足以下条件： (1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向________； 当λ<0时，向量λa与向量a的方向________； 当λ＝0时，0a＝________． (2)|λa|＝________． 2．几何意义 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在______方向伸长或缩短为原来的λ倍；当λ＜0时，表示向量a的有向线段在________方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 3．向量的单位化 由向量的数乘定义容易推出，在非零向量a方向上的单位向量是________． [答案自填] λa　相同　相反　0 |λ||a|　原　反　 【即时练】 1．已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　) ①当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同； ③当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ④当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选D.由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确；对于命题③④，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，所以λa与μa都与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，所以λa与μa反向，故③④也正确．正确的命题有4个．故选D. 2．(多选)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是(　　) A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍 B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的 C．－2a与2a是一对相反向量 D．a－b与－(b－a)是一对相反向量 解析：选ABC.因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|，所以A正确；因为5>0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2<0，所以－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，所以－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的，所以B正确；按照相反向量的定义可以判断，C正确；因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－(b－a)为相等向量，所以D不正确． 3．若C在线段AB上，且＝，则(　　) A.＝ B.＝－ C.＝ D.＝－ 解析：选D.因为点C在线段AB上，所以，同向，，反向，故B，C错误；又||＝||，所以A错误；又，反向且||＝||，所以＝－，故D正确．故选D. 4．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则这个四边形是____________． 解析：因为 ＝，所以DC∥AB且DC＝AB，所以四边形ABCD为梯形． 又||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形． 答案：等腰梯形 对数乘向量的说明 (1)λa中的实数λ叫作向量a的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小几倍． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. 1．运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量． (1)(λ＋μ)a＝____________； (2)λ(μ a)＝________； (3)λ(a＋b)＝________． 2．线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． [答案自填] λa＋μa　(λμ)a　λa＋λb 　(1)(对接教材例1)计算：2(3a－2b)－6＝________． (2)(对接教材例2)若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________． 【解析】　(1)原式＝6a－4b－2a＋3b＝4a－b. (2)因为(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0， 所以a－2c＋15c－12b＝0， 所以化简得13c＝12b－a， 所以c＝b－a. 【答案】　(1)4a－b　(2)b－a 向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算． [跟踪训练1] (1)化简： ①－2； ②. 解：①原式＝(2a＋b)－a－b＝a＋b－a－b＝0. ②原式＝＝ ＝＝a－b. (2)已知3(2a－b＋c)＋x＝2(－a＋3b)，求x. 解：因为3(2a－b＋c)＋x＝2(－a＋3b)， 所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b， 即x＝－8a＋9b－3c. 　(对接教材例3)(1)如图，在△ABC中，＝a，＝b，M是AB的中点，N是CM的中点，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b (2)如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，用a，b分别表示，. 【解】　(1)选D.因为＝a，＝b，M是AB的中点，N是CM的中点， 所以＝(＋)＝(＋)＝a＋b.故选D. (2)因为＝3a，＝2b，所以＝－＝2b－3a.又因为D，E为边AB的两个三等分点，所以＝＝b－a，所以＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b. 向量线性表示的求解思路 (1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中． (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． [跟踪训练2] (1)在△ABC中，若点D满足＝2，则＝(　　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 解析：选D.如图所示， 由题意可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.故选D. (2)如图，矩形ABCD与矩形DEFG全等，且＝. ①用向量与表示，； ②用向量与表示，. 解：①因为＝，矩形ABCD与矩形DEFG全等，所以AB＝DE＝2DG＝2AD. 所以＝＋＝＋＝2＋＝2＋， ＝＋＝＋＝－. ②由①知 所以 1．要得到向量－2a，可将(　　) A．向量a向左平移2个单位长度 B．向量a向右平移2个单位长度 C．向量a保持方向不变，长度伸长为原来的2倍 D．向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍 解析：选D.根据向量数乘的定义及几何意义可知，要得到向量－2a，可将向量a的方向反向，长度伸长为原来的2倍．故选D. 2．(教材P94T2改编)若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　) A．－a B．－4b C．c D．a－b 解析：选A.3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.故选A. 3．(教材P94T3改编)若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝____________． 解析：由题意知2x－a－b－c＋x＋b＝0，所以x＝a－b＋c，所以x＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝____________．(用a，b表示) 解析：如图，因为AD＝AB，BE＝BC， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝－＋＝－a＋b. 答案：－a＋b 1．已学习：向量的数乘定义、数乘运算的运算律、向量的线性表示． 2．须贯通：向量的数乘运算及向量的线性表示． 3．应注意：数乘向量的结果仍是向量． 学科网（北京）股份有限公司 $