2.2.2 向量的减法(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦向量的减法这一核心知识点，前承向量加法运算，通过类比数的减法引入向量减法，以相反向量为桥梁定义运算规则（a - b = a + (-b)），结合几何意义（共起点时从减向量终点指向被减向量终点），构建从概念到运算再到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于以数学眼光抽象向量减法与加法的逆运算关系，通过思考问题、即时练及跟踪训练发展数学思维中的推理能力，借助几何作图与例题解析强化数学语言表达。课中辅助教师清晰讲解运算方法，课后通过分层练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

2．2　向量的减法 1.通过实例能用相反向量说出向量减法的意义．　2.掌握向量减法的运算及其几何意义． 3．能熟练地进行向量的加减运算． 在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，可以定义向量的减法． 思考1　向量的减法与加法有什么关系？ 提示：向量的减法是向量加法的逆运算． 思考2　怎样定义一个向量的相反向量？ 提示：一个向量和其相反向量长度相等，方向相反． 向量a减向量b等于向量a加上向量b的____________，即a－b＝a＋(－b)． [答案自填] 相反向量 【即时练】 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)＝－.(　　) (3)a－b的相反向量是b－a. (　　) (4)|a－b|<|a＋b|.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A．0 B. C. D. 解析：选A.＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.故选A. 3．化简下列各式： (1)＋－－； (2)(＋＋)－(－－)． 解：(1)＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝＋－＋ ＝＋＋＋ ＝＋＝0. 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点． 如图，给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝， 即如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量就是a－b. 　(对接教材例4)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 【解】　方法一：如图1，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二：如图2，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为减向量的终点指向被减向量的终点的向量． [跟踪训练1] (1)如图，单位圆上有两个动点A，B，则|－|的最大值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 解析：选D.因为|－|＝||，A，B是单位圆上的动点，所以|－|的最大值是单位圆的直径为2，此时与反向．故选D. (2)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝____________． 解析：如图，设＝a，＝b，则＝－＝a－b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝＋＝a＋b.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是一个菱形，∠OAC＝120°，所以|a＋b|＝||＝|a|，所以＝＝. 答案： 　(1)(对接教材例6)已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示； (2)(对接教材例5)已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值． 【解】　(1)方法一：如图所示： ＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋c－b. 方法二：＝＋＋＋＝＋＋(＋)＝＋＋0＝＋(＋)＝a＋(－b＋c)＝a－b＋c. (2)设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB(图略)，则||＝|a＋b|.因为(＋1)2＋(－1)2＝42，所以||2＋||2＝||2，所以OA⊥OB.所以平行四边形OACB是矩形．因为矩形的对角线相等，所以||＝||＝4，即|a＋b|＝4. 用已知向量表示未知向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果． [跟踪训练2] (1)如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及； 解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b，＝＋＝b－a＋c. (2)设平面内四边形ABCD及任一点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d且|a－b|＝|a－d|.试判断四边形ABCD的形状． 解：由a＋c＝b＋d得a－b＝d－c，即－＝－，所以＝， 于是AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形．又|a－b|＝|a－d|，即|－|＝|－|，所以||＝||，所以四边形ABCD为菱形． 1．(教材P89T2改编)化简－＋＋＝(　　) A. B. C. D. 解析：选B.原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.故选B. 2．(多选)下列四个式子中能化简为的是(　　) A.－＋ B.＋(＋) C．(＋)＋(－) D.＋－ 解析：选ABC.－＋＝＋＝(或－＋＝0－＝)，故A符合；＋(＋)＝＋＋＝＋＝，故B符合；(＋)＋(－)＝－＝－＝，故C符合；＋－＝－，故D不符合．故选ABC. 3．若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为____________，|a－b|的最大值为____________． 解析：由向量的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可知，当这两个向量方向相反时，|a＋b|取得最小值7，|a－b|取得最大值17. 答案：7　17 4．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝____________． 解析：因为||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，所以||2＋||2＝||2，即||＝13.因为＝a，＝b，所以a－b＝－＝，所以|a－b|＝||＝13. 答案：13 1．已学习：向量的减法运算、向量减法的几何意义、向量加减法的运用． 2．须贯通：向量的减法运算通过相反向量可以转化为向量的加法运算，三角形法则仍然可以进行向量减法运算，体现了数形结合思想． 3．应注意：(1)忽略向量共起点时才可用向量的减法； (2)差向量连接两向量的终点，方向指向被减向量的终点． 学科网（北京）股份有限公司 $