培优1 破解三角函数中的参数问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦三角函数参数问题这一核心知识点，系统梳理利用奇偶性确定φ值、单调性分析区间关系、最值结合有界性、零点转化方程解等类型，构建从三角函数性质到参数求解的学习支架。 资料以高考考查模式为导向分类解析，通过结论归纳、例题示范与尝试训练，培养学生数学思维（如单调性中区间包含关系推理）和数学语言表达（如参数范围的不等式组），课中辅助教师高效授课，课后助力学生自主巩固查漏补缺。

　破解三角函数中的参数问题 含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．本文结合最近几年高考考查模式，对求解参数问题进行分类解析． 类型一 利用奇偶性求参数 对于三角函数的奇偶性，常用以下结论解决问题： (1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，需φ＝kπ(k∈Z)； (2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω≠0)为奇函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω≠0)为偶函数，需φ＝kπ(k∈Z). 　已知函数f(x)＝4sin (x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则2cos (2φ＋)＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D． 【解析】　由于函数f(x)＝4sin (x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，故φ＝kπ＋，k∈Z.因为0＜φ＜π，所以φ＝，则2cos (2φ＋)＝2cos (π＋)＝－2cos ＝－1.故选B. 【答案】　B 类型二 利用单调性求参数 对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程(不等式组)求解． 　已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜2π)在[－，]上单调递增，则φ的取值范围为________． 【解析】　由x∈[－，]，得2x＋φ∈[－＋φ，＋φ]， 又0≤φ＜2π，所以≤＋φ＜， 又函数f(x)在[－，]上单调递增， 所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为[，]. 【答案】　[，] 类型三 利用最值求参数 求形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)型三角函数中的参数a，b的值时，一般利用正弦(余弦)函数的有界性列方程组求解，注意参数a的正负． 　将函数f(x)＝2sin (3x＋)的图象先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上的最小值为－2，则ω的最小值为(　　) A． B． C．2 D．3 【解析】　将函数f(x)＝2sin (3x＋)的图象先向右平移个单位长度，得函数y＝ 2sin ＝2sin 3x 的图象，再将图象上各点的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变)，得函数g(x)＝2sin ωx的图象，因为x∈，则ωx∈. 由题意得，－≤－或≥，解得ω≥，则ω的最小值为.故选B. 【答案】　B 类型四 利用零点求参数 　已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)，若函数 f(x) 在区间(0，π)上有且只有两个零点，则ω的取值范围为(　　) A．(，) B． C．(，) D． 【解析】　因为x∈(0，π)，ω>0，所以ωx－∈(－，ωπ－)，又因为当x＝kπ，k∈Z时，y＝sin x＝0，且函数f(x)在区间(0，π)上有且只有两个零点，当x>－时，y＝sin x的零点只能是0，π，所以π<ωπ－≤2π，解得<ω≤，所以ω的取值范围为.故选B. 【答案】　B 【尝试训练】 1．已知函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)，若f(x)在区间(0，)上单调，则ω的取值范围是(　　) A．(0，3] B． C．(2，3] D．(0，2] 解析：选B.因为0<x<，所以－<ωx－<－，因为f(x)在区间(0，)上单调，又由余弦函数的单调性可得－<－≤0，所以0<ω≤.故选B. 2．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，且在[－，]上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A．(0，) B．[，1) C．(0，] D．[，1) 解析：选C.因为f(x)为奇函数，0＜φ＜π，所以φ＝，所以f(x)＝cos (ωx＋)＝－sin ωx. 令t＝ωx，x∈[－，]，ω＞0， 则t∈[－，]， 因为f(x)在[－，]上单调递减，所以解得0＜ω≤.故选C. 3．已知函数f(x)＝cos (2x＋)在[0，m]上的最大值为，则实数m的最大值为______． 解析：由x∈[0，m]，得2x＋∈[，2m＋]，因为f(x)＝cos (2x＋)在[0，m]上的最大值为，所以<2m＋≤， 解得0<m≤，所以实数m的最大值为. 答案： 4．若函数f(x)＝|sin ωx|－1在[0，5π]上恰好有3个零点，则正实数ω的取值范围是________． 解析：令|sin ωx|－1＝0得sin ωx＝±1，因为函数f(x)＝|sin ωx|－1在[0，5π]上恰好有3个零点，所以函数y＝sin ωx在[0，5π]上恰有3条对称轴，当0≤x≤5π时，0≤ωx≤5ωπ，设t＝ωx，则函数y＝sin t在[0，5ωπ]上恰有3条对称轴，如图： 则≤5ωπ＜，解得≤ω＜. 答案：[，) 学科网（北京）股份有限公司 $