1.6 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学中函数y＝A sin(ωx＋φ)的性质与图象，以“五点法”作图为基础支架，系统梳理其定义域、值域、周期性等性质，衔接由图象确定解析式的方法，形成从作图到性质再到综合应用的完整知识脉络。 资料特色在于结合简谐振动等物理情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过“五点法”步骤解析、整体代换求单调区间等环节发展数学思维，多种方法求解析式及跟踪训练助力数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱点。

第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 1.会用“五点(画图)法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．　2.掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质．　3.能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式． 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数(其中A，ω，φ为常数)，例如，在简谐振动中位移与时间的函数关系就是形如y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的函数，其中振子在一段时间内的图象如图所示． 思考　你能根据图象，求出A，ω，φ吗？ 提示：通常根据函数的振幅、周期和零点(特殊点)分别确定A，ω，φ的值．由题图可知，A＝0.5，T＝＝2，即ω＝π，则y＝0.5 sin (πx＋φ)，又图象经过点(2，0.5)，故0.5sin (2π＋φ)＝0.5，且0<φ<π，则φ＝. 一　“五点(画图)法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 用“五点(画图)法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象的步骤 第一步：列表： ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，得到图象． 　利用“五点(画图)法”作出函数y＝3sin 在一个周期内的图象． 【解】　依次令－＝0，，π，，2π，列出下表： － 0 π 2π x y 0 3 0 －3 0 描点，连线，如图所示． (1)用“五点(画图)法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点． (2)作给定区间上y＝A sin (ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象． [跟踪训练1] 已知f(x)＝1＋sin ，画出f(x)在上的图象． 解：因为x∈，所以2x－∈. 列表如下： x － － － 2x－ － －π － 0 f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2 描点，连线，如图所示． 二　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 性质 y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝________ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是________函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是________函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 [答案自填] 　奇　偶 　已知函数f(x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求该函数图象的对称轴方程； (2)求该函数图象的对称中心； (3)求该函数的单调递增区间． 【解】　由T＝＝π，解得ω＝2， 则f(x)＝sin ， (1)令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，即该函数图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. (2)令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z.所以该函数图象的对称中心为(－，0)(k∈Z). (3)令μ＝2x＋，由2kπ－≤μ≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (1)关于函数y＝sin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 将ωx＋φ看作一个整体，代入到y＝sin x图象的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称中心、对称轴或φ值． (2)求解函数y＝sin(ωx＋φ)的单调区间的步骤 ①将ω化为正值． ②将ωx＋φ看作一个整体，代入到y＝sin x的单调区间中解出x的范围即为函数的单调区间． ③如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值即可． [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝sin . (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin (2x＋)，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)因为x∈，所以2x＋∈，根据正弦函数y＝sin x的性质可知，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.综上，函数f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－. 三　由图象确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 　(1)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的图象如图所示，则φ的值是(　　) A.－ B．－ C．－ D．－ (2)如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式． 【解】　(1)选A.由题图可知＝π－＝，所以T＝＝，所以ω＝，则f(x)＝sin ，把代入得，sin ＝－1，所以＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又因为－π<φ<0，所以φ＝－.故选A. (2)方法一(逐一定参法) ： 由题图知振幅A＝3，又T＝－＝π，所以ω＝＝2. 由图象过点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以y＝3sin . 方法二(待定系数法)： 由题图知A＝3，又图象过点和，根据“五点(画图)法”原理(以上两点可判定为“五点(画图)法”中的第三点和第五点)，有 解得 所以y＝3sin . 方法三(图象变换法)： 由T＝－＝π，点，A＝3可知，题图是由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，所以y＝3sin 2，即y＝3sin . 已知图象求y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 (1)如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y＝A sin (ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点(画图)法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. (2)通过若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数． [跟踪训练3] 已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________． 解析：由题意得＝2π－，所以T＝，ω＝.又由x＝时，y＝－1，得－1＝sin ，又－<＋φ≤，所以＋φ＝，所以φ＝. 答案： 四　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 　已知函数f(x)＝2sin (0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为. (1)求f的值； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间． 【解】　(1)因为f(x)为偶函数， 所以φ－＝kπ＋(k∈Z)， 所以φ＝kπ＋(k∈Z). 又0＜φ＜π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin ＝2cos ωx. 又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，所以T＝＝2×，所以ω＝2， 所以f(x)＝2cos 2x， 所以f＝2cos ＝. (2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝2cos 2＝2cos (2x－)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2cos 的图象． 令2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z). 所以函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z). 解决函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合问题的方法及步骤：先根据已知条件，求出函数的解析式，再利用整体思想，借助函数y＝sin x的图象与性质来解决相关问题． [跟踪训练4] (1)将函数y＝sin (2x＋φ)(|φ|<)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到曲线C.若曲线C关于y轴对称，则φ的值为(　　) A.－ B．－ C.－ D． 解析：选B.由题意得曲线C对应的函数解析式为y＝sin (4x＋＋φ)，因为曲线C关于y轴对称，故＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|<，即当k＝0时，φ＝－.故选B. (2)已知曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤)上一个最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0). ①求函数的解析式； ②求函数在[－6，0]上的值域． 解：①由题意可知A＝，＝6－2＝4， 所以T＝16，即＝16，所以ω＝， 所以y＝sin . 又图象过最高点(2，)，所以sin (×2＋φ)＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ＝， 所以y＝sin . ②因为－6≤x≤0，所以－≤x＋≤， 所以－≤sin ≤1. 即函数在[－6，0]上的值域为[－，1]. 　　1．(多选)若函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x有f ＝f ，则f ＝(　　) A.－3 B．－1 C．0 D．3 解析：选AD.由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f 是函数f(x)的最大值或最小值，则f ＝3或f＝－3. 2．(多选)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是(　　) A.关于点对称 B.关于直线x＝－对称 C.关于点对称 D.关于直线x＝对称 解析：选ABC.将函数f(x)＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos 的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos .令x＝－，得f(x)＝cos ＝－，故A不正确；令x＝－，得f(x)＝cos ＝0，故B不正确；令x＝，得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C不正确，D正确． 3.如图为函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为________________． 解析：由题图，可得A＝， ·＝－，所以ω＝2. 因为函数图象过点， 所以sin ＝0， 所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z， 又因为－π<φ<0，所以φ＝－， 故函数的解析式为y＝sin . 答案：y＝sin 4．(教材P52T4改编)函数y＝sin 在区间[0，π]上的单调递减区间是________． 解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).结合x∈[0，π]，可得函数y＝sin 在区间[0，π]上的单调递减区间是． 答案： 1．已学习：“五点(画图)法”、由图象求三角函数的解析式、三角函数性质的综合问题． 2．须贯通：三角函数的图象与性质的综合应用． 3．应注意：求φ值时注意单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点的区别． 学科网（北京）股份有限公司 $