1.6 第1课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义核心聚焦函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换，从基础正弦函数y＝sin x出发，系统梳理ω（横向伸缩与周期）、φ（平移）、A（纵向伸缩与振幅）对图象的影响，构建从简单到复杂的变换知识支架。 资料特色在于结合物理简谐运动实例，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过思考探究、例题变式及跟踪训练，培养数学思维与表达能力。课中助力教师系统授课，课后帮助学生巩固变换规律，查漏补缺。

§6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 1.理解函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响．　2.掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系． 思考　在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数．如图1所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象． 将测得的图象放大到如图2所示，可以看出它和正弦曲线相似，那么此类曲线能否由正弦曲线y＝sin x经过不同的变换得到呢？ 提示：曲线y＝A sin (ωx＋φ)可以由正弦曲线y＝sin x经过伸缩变换、平移变换、振幅变换得到． 1．一般地，对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω.根据周期函数的定义，T＝____________是函数y＝sin ωx 的最小正周期． 2．函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的__________(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的____________倍(纵坐标不变)得到的． 3．频率：通常称周期的倒数＝____________为频率． [答案自填] 　　　 　(对接教材例1)(1)将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为(　　) A．y＝3sin x B．y＝sin x C．y＝sin 3x D．y＝sin x (2)将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为________________． 【解析】　(1)由y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 3x，故选C. (2)将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)而得到的图象的解析式为y＝sin . 【答案】　(1)C　(2)y＝sin 对于函数y＝sin x，若将图象上所有点的横坐标变为原来的ω倍，纵坐标不变，则得到函数y＝sin 的图象，即横向伸缩是反比例伸缩变换． [跟踪训练1] (1)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：选B.所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，所以ω＝.故选B. (2)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的图象的解析式是________． 答案：y＝sin 2x 1．函数y＝sin (x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点____________． 2．函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x 图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度得到的． 3．函数y＝sin (ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点________．函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移__________个单位长度得到的． 4．在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称________为初相，________为相位． [答案自填] (－φ，0)　|φ|　 　φ　ωx＋φ 　函数y＝sin 的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 【解】　函数y＝sin 的图象，可以看作是将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的． 【变式探究】 1．(条件变式)若将本例中y＝sin 改为y＝cos ，其他不变，又该怎样变换？ 解：y＝cos ＝sin ＝sin (x＋)，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的． 2．(综合变式)将本例改为：函数y＝sin 的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？ 解：y＝sin ＝sin 2，可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到． 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数．再观察x前的系数，当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位长度和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度． [跟踪训练2] (1)将函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 解析：选D.函数y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到y＝sin 2，即y＝sin 的图象，故选D. (2)要得到y＝sin 的图象，只要将y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选D.因为y＝sin ＝sin .所以要得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin x 的图象向右平移个单位长度．故选D. 三　A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 1．y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的__________伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的________倍(横坐标不变)得到的． 2．A决定了函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域以及函数的____________和____________，通常称A为振幅． [答案自填] 纵坐标　A　最大值　最小值 　(对接教材例2)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin ，求f(x)的解析式． 【解】　y＝2sin (x＋)y＝3sin (x＋)y＝ 3sin (x＋) y＝3sin (x＋＋)＝3sin ＝3cos x． 所以f(x)＝3cos x． (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法． (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可． [跟踪训练3] 将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝2sin ＋1的图象？ 解：方法一：①把y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin x的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝2sin 2x的图象； ③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝2sin 2＝2sin (2x＋)的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度， 得到y＝2sin ＋1的图象． 方法二：①将y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到y＝sin 的图象； ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝sin 的图象； ③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象； ④将所得图象沿y轴向上平移1个单位长度， 得到y＝2sin ＋1的图象． 1. 简谐运动y＝4sin 的初相是(　　) A．4 B． C．－ D．5x－ 解析：选C.相位是5x－，当x＝0时的相位为初相，即－.故选C. 2．已知函数f(x)＝sin ，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin 4x C．g(x)＝sin x D．g(x)＝sin 解析：选D.将函数f(x)＝sin 的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin ＝sin 的图象； 再把y＝sin 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)＝sin 的图象． 3．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的函数解析式是____________． 解析：由题知y＝sin x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin (x＋)的图象，再将图象向上平移2个单位长度可得y＝sin (x＋)＋2的图象． 答案：y＝sin (x＋)＋2 4．将函数y＝sin 的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度后，得到函数y＝cos 的图象，则φ＝______． 解析：将函数y＝sin (2x＋)的图象向左平移φ(0≤φ≤)个单位长度得到y＝sin [2(x＋φ)＋]＝sin (2x＋2φ＋)的图象，y＝cos (2x＋) ＝sin (2x＋＋)，又0≤φ≤，所以2φ＝，所以φ＝. 答案： 1．已学习：三角函数图象的伸缩变换、平移变换、振幅变换． 2．须贯通：用三种变换方法得到函数图象． 3．应注意：先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样． 学科网（北京）股份有限公司 $