（讲义）第1章 §7 正切函数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

§7　正切函数 1．理解任意角的正切函数的定义． 2．能画出y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z的图象．(重点) 3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(－，)内的单调性．(重点) 4．正切函数诱导公式的推导及应用．(难点) 1．通过正切函数概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过正切函数的图象与性质的应用，培养数学运算与逻辑推理素养． 学习了y＝sin x，y＝cos x的图象与性质后，明确了y＝sin x，y＝cos x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值． 问题　类比y＝sin x，y＝cos x的图象与性质． (1)y＝tan x是周期函数吗？有最大(小)值吗？ (2)正切函数的图象是连续的吗？ 知识点1　正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠ ＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)(a≠0)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠_＋kπ(k∈Z)． 1．设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ [提示]　当a≠0时，有意义．tan α＝，α∈R，α≠ ＋kπ(k∈Z). 1．若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________ . －　[由tan θ＝＝＝，∴m＝－.] 知识点2　正切函数的诱导公式 tan (kπ＋α)＝tan α(k∈Z) tan (－α)＝－tan α tan (π＋α)＝tan α tan (π－α)＝－tan α tan ＝－ tan ＝ 2．(1)tan (－)＝________． (2)已知P(2，3)是角α终边上一点，则tan (π＋α)＝________． (1)　(2)　[(1)tan (－)＝－tan ＝－tan (－＋3π)＝－tan (－)＝tan ＝. (2)由题知tan α＝＝. ∴tan (π＋α)＝tan α＝.] 知识点3　正切函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为π 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增的 对称性 该图象的对称中心为，k∈Z 2．正切函数在整个定义域内是增函数吗？ [提示]　不是．正切函数y＝tan x在每段区间，k∈Z上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数． 3．(1)思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) ①存在区间，使正切函数y＝tan x单调递减． (　　) ②若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数． (　　) ③正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. (　　) [答案]　①×　②×　③× (2)函数y＝tan x的对称中心坐标为(　　) A．，k∈Z　　　　　 B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z C　[y＝tan x的图象及其渐近线与x轴的交点都是对称中心．] 类型1　正切函数的定义及诱导公式 【例1】　已知点P(，a)是角α与单位圆的交点，且sin α＞0. (1)求tan α； (2)求的值． [解]　(1)∵P(，a)是单位圆上一点， ∴()2＋a2＝1，∴a＝±， ∵sin α＝a＞0，∴a＝，∴tan α＝. (2)原式＝＝＝＝. 1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝. 2．已知角α终边上的一点M，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解． [跟进训练] 1．(1)已知点Q(1，a)是角α终边上一点，且α＝60°，则a＝(　　) A．－ B． C． D．－ (2)tan ＋tan (－)＝________． (3)已知tan (π－α)＝－，则tan (－α)＝________． (1)B　(2)0　(3)2　[(1)由题意知， tan 60°＝a＝. (2)∵tan ＝tan (6π＋)＝tan ＝， tan (－)＝tan (－6π＋)＝tan ＝－tan ＝－， ∴tan ＋tan (－)＝＋(－)＝0. (3)∵tan (π－α)＝－tan α＝－， ∴tan α＝， ∴tan (－α)＝＝2.] 类型2　正切函数的图象 【例2】　作出函数y＝tan |x|的图象，判断函数的奇偶性及周期性. 去掉绝对值号，先作出x≥0时的图象，再利用图象变换作出x<0时的图象． [解]　∵y＝tan |x| ＝ ∴当x≥0时，函数y＝tan |x|在y轴右侧的图象即为y＝tan x在y轴右侧的图象． 当x<0时，y＝tan |x|在y轴左侧的图象为y＝tan x在y轴右侧的图象关于y轴