2.4.1 平面向量基本定理(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理及坐标表示，通过向量共线定理的推广导入，搭建从共线向量到共面向量的学习支架，帮助学生理解基的含义及向量线性表示。 其亮点在于结合即时练辨析基的不共线本质，通过例1用方程组表示平行四边形向量，培养推理能力与模型意识。课堂巩固自测强化应用，小结梳理易错点，学生能深化理解，教师可高效开展教学。

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来． 思考　向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 提示：可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来． 新知学习 探究 返回导航 不共线 λ1e1＋λ2e2 不共线 新知学习 探究 返回导航 正交基 正交基 互相垂直 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由平面向量基本定理可知，A，D是正确的． 对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基确定，那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的． 对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 新知学习 探究 返回导航 2．(多选)已知{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基，则下列四个选项中，能作为一组基的是(　　) A．e1＋e2，e1－e2 B．3e1－2e2，4e2－6e1 C．e1＋2e2，e2＋2e1 D．e2，e1＋e2 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：e1，e2不共线，根据向量的加法和减法运算法则，可得e1＋e2，e1－e2不共线，e2，e1＋e2不共线，e1＋e2，e1－e2和e2，e1＋e2均可作为一组基，选项A，D正确； 对于B，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，3e1－2e2，4e2－6e1共线，所以3e1－2e2，4e2－6e1不能作为一组基，选项B错误； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为____________________________． 解析：若{a，b}能作为平面内的一组基，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)． (－∞，4)∪(4，＋∞) 新知学习 探究 返回导航 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基； (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 用基表示向量的方法 (1)平面内任何一个向量都可以用一组基进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则，同时结合实数的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基的方向进行组合或分解． 新知学习 探究 返回导航 (2)具体表示方法有两种： ①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基表示为止； ②基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (条件变式)若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即可． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．下列关于基的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基； ②基中的向量可以是零向量； ③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 解析：零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基中的向量，故②错误，①③正确．故选C. √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．(教材P101T1改编)如图，用向量e1，e2表示向量a－b为(　　)   A．－2e1－4e2 B．－4e1－2e2 C．e2－3e1 D．－e2＋3e1 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：平面向量基本定理、用基表示向量、平面向量基本定理的应用． 2．须贯通：灵活应用基表示向量以及平面向量基本定理的应用． 3．应注意：(1)忽视基中的向量必须是不共线的两个向量； (2)无论是在三角形还是四边形中解决问题，通常以两邻边为基． 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.通过实例理解平面向量基本定理的内容，了解基的含义．　2.会用一组基来表示其他向量．　3.能应用平面向量基本定理解决一些与平面几何有关的问题． eq \a\vs4\al(一　对向量基的理解) 1．平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内两个eq \o(□,\s\up1(1))____________的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝eq \o(□,\s\up1(2))____________． 2．基：我们把eq \o(□,\s\up1(3))____________的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记为{e1，e2}． 3．平面向量正交分解的定义 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为eq \o(□,\s\up1(4))__________．在eq \o(□,\s\up1(5))__________下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是eq \o(□,\s\up1(6))________的单位向量，则称这组基为标准正交基． 对于C，若e1＋2e2，e2＋2e1共线，则存在实数λ，使得e1＋2e2＝λ(e2＋2e1)，即(1－2λ)e1＋(2－λ)e2＝0，又e1，e2不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2λ＝0，,2－λ＝0，))此方程组无解，即λ不存在，所以e1＋2e2，e2＋2e1不共线，e1＋2e2，e2＋2e1可作为一组基，选项C正确．故选ACD. 3．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，其中可表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一组基的是(　　) A．{eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))} B．{eq \o(DA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))} C．{eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))} D．{eq \o(OD,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))} 解析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基，如图，对于A，eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))不共线，可以作为一组基； 对于B，eq \o(DA,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))为共线向量，不可以作为一组基； 对于C，eq \o(CA,\s\up16(→))与eq \o(DC,\s\up16(→))不共线，可以作为一组基； 对于D，eq \o(OD,\s\up16(→))与eq \o(OB,\s\up16(→))是共线向量，不可以作为一组基． eq \a\vs4\al(二　用基表示向量) 　(对接教材例1)如图，在▱ABCD中，设eq \o(AC,\s\up16(→))＝a，eq \o(BD,\s\up16(→))＝b，试用基{a，b}表示向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→)). 【解】　方法一：设AC，BD相交于点O(图略)， 则有eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a， eq \o(BO,\s\up16(→))＝eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)b. 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(AO,\s\up16(→))－eq \o(BO,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b， eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b. 方法二：设eq \o(AB,\s\up16(→))＝x，eq \o(BC,\s\up16(→))＝y， 则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＝y， 又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\o(BC,\s\up16(→))＝\o(AC,\s\up16(→))，,\o(AD,\s\up16(→))－\o(AB,\s\up16(→))＝\o(BD,\s\up16(→))，)) 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,y－x＝b，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)a－\f(1,2)b，,y＝\f(1,2)a＋\f(1,2)b，)) 即eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b. [跟踪训练1] (1)设D为△ABC所在平面内一点，eq \o(BC,\s\up16(→))＝3eq \o(CD,\s\up16(→))，则(　　) A.eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) B.eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) C.eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) D.eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) 解析：由题意得，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up16(→)).故选A. (2)在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知eq \o(AM,\s\up16(→))＝c，eq \o(AN,\s\up16(→))＝d，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝______________，eq \o(AD,\s\up16(→))＝______________．(用c，d表示) 解析：如图，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b. 因为M，N分别是DC，BC的中点， 所以eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)b，eq \o(DM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a. eq \f(4,3)d－eq \f(2,3)c　 eq \f(4,3)c－eq \f(2,3)d 因为在△ADM和△ABN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\o(DM,\s\up16(→))＝\o(AM,\s\up16(→))，,\o(AB,\s\up16(→))＋\o(BN,\s\up16(→))＝\o(AN,\s\up16(→))，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＝c，,a＋\f(1,2)b＝d.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(2,3)（2c－d），,a＝\f(2,3)（2d－c）.)) 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)d－eq \f(2,3)c，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)c－eq \f(2,3)d. eq \a\vs4\al(三　平面向量基本定理的应用) 　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 【解】　设eq \o(BM,\s\up16(→))＝e1，eq \o(CN,\s\up16(→))＝e2，则eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CM,\s\up16(→))＝－e1－3e2，eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CN,\s\up16(→))＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得eq \o(AP,\s\up16(→))＝λeq \o(AM,\s\up16(→))＝－λe1－3λe2，eq \o(BP,\s\up16(→))＝μeq \o(BN,\s\up16(→))＝2μe1＋μe2. 故eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(BP,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \o(BP,\s\up16(→))－eq \o(AP,\s\up16(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).)) 所以eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(4,5) eq \o(AM,\s\up16(→))，eq \o(BP,\s\up16(→))＝eq \f(3,5) eq \o(BN,\s\up16(→))， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 解：如图，设eq \o(BM,\s\up16(→))＝e1，eq \o(CN,\s\up16(→))＝e2，则eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CM,\s\up16(→))＝－2e2－e1，eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CN,\s\up16(→))＝2e1＋e2，因为A，P，M和B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得eq \o(AP,\s\up16(→))＝λeq \o(AM,\s\up16(→))＝－λe1－2λe2，eq \o(BP,\s\up16(→))＝μeq \o(BN,\s\up16(→))＝2μe1＋μe2.故eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(BP,\s\up16(→))＋eq \o(PA,\s\up16(→))＝eq \o(BP,\s\up16(→))－eq \o(AP,\s\up16(→))＝(λ＋2μ)e1＋(2λ＋μ)e2.而eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,2λ＋μ＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3).))所以eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AM,\s\up16(→))，eq \o(BP,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BN,\s\up16(→))，所以AP∶PM＝2∶1，BP∶PN＝2∶1. [跟踪训练2] (1)在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD边上的点，MC＝2BM，NC＝3DN，设eq \o(AM,\s\up16(→))＝a，eq \o(AN,\s\up16(→))＝b，eq \o(AC,\s\up16(→))＝λa＋μb，则λ＋μ＝________． 解析：如图，选eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))，\o(AD,\s\up16(→))))作为基，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AM,\s\up16(→))＝a＝\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up16(→))，,\o(AN,\s\up16(→))＝b＝\f(1,4)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AD,\s\up16(→))，)) 可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＝\f(12,11)a－\f(4,11)b，,\o(AD,\s\up16(→))＝\f(12,11)b－\f(3,11)a，)) eq \f(17,11) 又eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(12,11)a－eq \f(4,11)b＋eq \f(12,11)b－eq \f(3,11)a＝eq \f(9,11)a＋eq \f(8,11)b， 又eq \o(AC,\s\up16(→))＝λa＋μb，所以λ＝eq \f(9,11)，μ＝eq \f(8,11)，所以λ＋μ＝eq \f(17,11). (2)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设eq \o(BA,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝c. ①用a，c表示向量eq \o(AE,\s\up16(→))； 解：因为eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))－eq \o(BA,\s\up16(→))＝c－a， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(c－a)， 所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)(c－a)＝eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a. ②若点F在AC上，且eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(4,5)c，求AF∶CF. 解：设eq \o(AF,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→))(λ∈R)， 所以eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋λeq \o(AC,\s\up16(→))＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(4,5)c，所以λ＝eq \f(4,5)，所以eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(4,5) eq \o(AC,\s\up16(→))， 所以AF∶CF＝4∶1. 解析：如图所示，a－b＝eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝e2－3e1.故选C. 3.(教材P101T2改编)如图，在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，M是DC的中点，在基{a，b}下向量eq \o(AM,\s\up16(→))的分解式是____________． 解析：由题意可得eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋b. eq \f(1,2)a＋b 4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC，若eq \o(DE,\s\up16(→))＝λ1eq \o(AB,\s\up16(→))＋λ2eq \o(AC,\s\up16(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________． 解析：如图，eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝ －eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，又因为eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))不共线，所以由平面向量基本定理得λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，所以λ1＋λ2＝－eq \f(1,6)＋eq \f(2,3)＝eq \f(1,2). eq \f(1,2) $