2.2.2 向量的减法-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　平面向量及其应用 §2　从位移的合成到 向量的加减法 2.2　向量的减法 (教师独具内容) 课程标准：借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算，理解其几何意义． 教学重点：1.向量减法的运算法则.2.向量减法的几何意义． 教学难点：运用向量的减法解决实际问题． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　向量减法的定义 (1)向量a减向量b等于向量a加上向量b的__________，即a－b＝a＋______． (2)求两个向量差的运算，叫作向量的减法，其结果仍是一个向量． 知识点二　向量减法的几何意义 如果把两个向量的起点放在一起，这两个向量的差是以减向量的终点为起点，以__________的终点为终点的向量． 相反向量 (－b) 被减向量 核心概念掌握 5 非零向量a，b的差向量的三角不等式 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．(　　) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　) (3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．(　　) (4)相反向量是共线向量．(　　) √ √ √ √ 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 核心素养形成 题型一　已知向量作差向量 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 核心素养形成 11 核心素养形成 12 【感悟提升】　求两个向量的差，关键是把两向量平移到共起点的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算． 平移作两个向量的差的步骤： 此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”． 核心素养形成 13 【跟踪训练】 1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 核心素养形成 14 题型二　向量的减法运算 ①②③④ 核心素养形成 15 核心素养形成 16 0 核心素养形成 17 核心素养形成 18 题型三　用已知向量表示未知向量 核心素养形成 19 【感悟提升】　用几个向量表示某个向量的基本步骤 (1)观察各向量位置； (2)寻找(或作)相应的平行四边形或者三角形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果． 核心素养形成 20 核心素养形成 21 题型四　向量的模及其性质 解析　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，∴2≤|a－b|≤4，∴|a－b|的取值范围是[2，4]． (1)若|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|的取值范围是________． [2，4] 核心素养形成 22 (2)若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为______． 30° 核心素养形成 23 【感悟提升】　解决向量模的问题的两种方法 (1)依据图形特点，适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化，要注意相关知识间的联系． (2)利用向量形式的三角不等式，即||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．用此法求解时，一定要注意等号成立的条件． 核心素养形成 24 核心素养形成 25 题型五　向量减法的应用 核心素养形成 26 核心素养形成 27 【感悟提升】　解决这类问题时，需根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用向量加法的三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法． 核心素养形成 28 核心素养形成 29 随堂水平达标 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 课后课时精练 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 5．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中是真命题的是(　　) A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同 B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反 C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模 D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同 解析：如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.当a，b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|，||a|－|b||＝|a－b|.当a，b反向时有|a＋b|＝||a|－|b||，|a|＋|b|＝|a－b|，故选ABD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 解析：根据向量加减法的几何意义，知▱ABCD的对角线长度相等，∴四边形ABCD为矩形，∴边AB与边AD的夹角为90°. 90° 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 平行四边形 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 0 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 　　　　　　　　　　　　　 R (1)当a，b不共线时， 如图①，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b， 则a－b＝eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→)). (2)当a，b共线且同向时， 若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)， 于是|a－b|＝|a|－|b|； 若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)， 于是|a－b|＝|b|－|a|. (3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向． 于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)． 可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 说明：若a，b至少有一个零向量时，向量不等式的等号成立． 2．做一做 (1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　) A．m＝n B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 (2)化简eq \o(OP,\s\up12(→))－eq \o(QP,\s\up12(→))＋eq \o(PS,\s\up12(→))＋eq \o(SP,\s\up12(→))的结果等于(　　) A.eq \o(QP,\s\up12(→)) B.eq \o(OQ,\s\up12(→)) C.eq \o(SP,\s\up12(→)) D.eq \o(SQ,\s\up12(→)) (3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))|＝________． eq \r(2) 解　作法一：如图①，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c，连接BC，则eq \o(CB,\s\up12(→))＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则eq \o(AD,\s\up12(→))＝b－c，所以eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝a＋b－c. 作法二：如图②，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，连接OB，则eq \o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，再作eq \o(OC,\s\up12(→))＝c，连接CB，则eq \o(CB,\s\up12(→))＝a＋b－c. 作法三：如图③，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，连接OB，则eq \o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，再作eq \o(CB,\s\up12(→))＝c，连接OC，则eq \o(OC,\s\up12(→))＝a＋b－c. 解：在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，则向量a－b＝eq \o(BA,\s\up12(→))，再作向量eq \o(BC,\s\up12(→))＝c，则向量eq \o(CA,\s\up12(→))＝a－b－c. 化简下列各式：①eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))；②eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))；③eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))；④eq \o(NQ,\s\up12(→))＋eq \o(QP,\s\up12(→))＋eq \o(MN,\s\up12(→))－eq \o(MP,\s\up12(→)).结果为零向量的序号是____________． 解析　①eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＝0；②eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(CD,\s\up12(→))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→)))－(eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→)))＝eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝0；③eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OD,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝0；④eq \o(NQ,\s\up12(→))＋eq \o(QP,\s\up12(→))＋eq \o(MN,\s\up12(→))－eq \o(MP,\s\up12(→))＝(eq \o(NQ,\s\up12(→))＋eq \o(QP,\s\up12(→)))＋(eq \o(MN,\s\up12(→))－eq \o(MP,\s\up12(→)))＝eq \o(NP,\s\up12(→))＋eq \o(PN,\s\up12(→))＝0.综上可得，结果为零向量的是①②③④. 【感悟提升】　向量减法的运算转换 (1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． (2)对于向量的加减运算，做加法时要首尾相接，如eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→)).做减法时要保证起点相同，如eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→)).同时，注意交换一个向量的起点和终点，所得向量与原向量是相反向量． 【跟踪训练】 2．(1)若P是平行四边形ABCD外一点，则eq \o(PA,\s\up12(→))－eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→))－eq \o(PD,\s\up12(→))＝______． 解析：eq \o(PA,\s\up12(→))－eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→))－eq \o(PD,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))，在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))， ∴原式＝0. (2)化简下列各式： ①(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DB,\s\up12(→)))＋(eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(DC,\s\up12(→)))；②eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→)). 解：①(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(DB,\s\up12(→)))＋(eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(DC,\s\up12(→)))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→)))＋(eq \o(DB,\s\up12(→))－eq \o(DC,\s\up12(→)))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→)). ②解法一：eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝(eq \o(CA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→)))＋(eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→)))＝eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝0. 解法二：eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝(eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→)))＋(eq \o(DC,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→)))＝eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝0. 已知O为平行四边形ABCD内一点，且有eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c，用a，b，c表示eq \o(DO,\s\up12(→)). 解　在△AOD中，eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))，在△BOC中，eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→)). 又四边形ABCD是平行四边形． ∴eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→)). ∴eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝a＋c－b. ∴eq \o(DO,\s\up12(→))＝b－a－c. 【跟踪训练】 3.如图在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AC,\s\up12(→))＝b，eq \o(AE,\s\up12(→))＝c，试用a，b，c表示eq \o(BD,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))，eq \o(BE,\s\up12(→))，eq \o(CD,\s\up12(→))，eq \o(CE,\s\up12(→)). 解：如图，连接AD.因为四边形ACDE是平行四边形，且eq \o(AC,\s\up12(→))＝b，eq \o(AE,\s\up12(→))＝c，所以eq \o(AD,\s\up12(→))＝b＋c， 故由三角形法则得，eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝b＋c－a，eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝b－a，eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \o(AE,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝c－a，eq \o(CD,\s\up12(→))＝eq \o(AE,\s\up12(→))＝c，eq \o(CE,\s\up12(→))＝eq \o(AE,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))＝c－b. 解析　如图所示，设eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，作平行四边形ABCD，则eq \o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up12(→))＝a－b.由|a＋b|＝|a－b|，得平行四边形ABCD是矩形．又|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，∴BD＝2AB，∴∠BDA＝30°， ∠DAC＝30°，∴向量b与a＋b的夹角为30°. 【跟踪训练】 4．已知向量m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝eq \r(17)，则|m＋n|＝(　　) A．3 B.eq \r(7) C.eq \r(17) D．9 解析：如图所示，设eq \o(AB,\s\up12(→))＝m，eq \o(AD,\s\up12(→))＝n，则m＋n＝eq \o(AC,\s\up12(→))，m－n＝eq \o(DB,\s\up12(→)).由平行四边形的性质，得AC2＋DB2＝2(AB2＋AD2)，所以|m＋n|2＋|m－n|2＝2|m|2＋2|n|2，所以|m＋n|2＋17＝8＋18，所以|m＋n|2＝9，|m＋n|＝3. 如图所示，在▱ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，AC，BD是它的两条对角线． (1)用a，b表示eq \o(AC,\s\up12(→))，eq \o(DB,\s\up12(→))； (2)当a，b满足什么条件时，表示a＋b与a－b的有向线段所在的直线互相垂直？ (3)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？ 解　(1)eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝a－b. (2)由(1)知a＋b＝eq \o(AC,\s\up12(→))，a－b＝eq \o(DB,\s\up12(→)).∵表示a＋b与a－b的有向线段所在的直线互相垂直，即AC⊥DB，且四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|. (3)不可能．∵▱ABCD的两对角线不可能平行， ∴a＋b与a－b不可能为共线向量， ∴a＋b与a－b不可能为相等向量． 【跟踪训练】 5．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(DA,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c，证明：b＋c－a＝eq \o(OA,\s\up12(→)). 证明：证法一：因为b＋c＝eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(OA,\s\up12(→))＋a＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))， 所以b＋c＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋a，即b＋c－a＝eq \o(OA,\s\up12(→)). 证法二：eq \o(OA,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))＋eq \o(CA,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(CD,\s\up12(→))＝c＋eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(BA,\s\up12(→))＝b＋c－eq \o(AB,\s\up12(→))＝b＋c－a. 证法三：因为c－a＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(DA,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))－b， 所以b＋c－a＝eq \o(OA,\s\up12(→)). 1．在平行四边形ABCD中，eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))等于(　　) A.eq \o(AB,\s\up12(→)) B.eq \o(BA,\s\up12(→)) C.eq \o(CD,\s\up12(→)) D.eq \o(DB,\s\up12(→)) 解析：eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，在平行四边形ABCD中，eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))，故选A. 2．若|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝8，|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝5，则|eq \o(BC,\s\up12(→))|的取值范围是(　　) A．[3，8] B．(3，8) C．[3，13] D．(3，13) 解析：因为eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))，所以当eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))同向共线时，|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝8－5＝3.当eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))反向共线时，|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝8＋5＝13.当eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(AC,\s\up12(→))不共线时，3<|eq \o(BC,\s\up12(→))|<13.所以3≤|eq \o(BC,\s\up12(→))|≤13. 3．(多选)若A，B，C，D是平面内任意四点，则下列四式中正确的是(　　) A.eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→)) B.eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→)) C.eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→)) D.eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→)) 解析：对于A，原式变形为eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(BD,\s\up12(→))，左边＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))，右边＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))，故A正确；对于B，原式变形为eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))，左边＝eq \o(BC,\s\up12(→))，右边＝eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))，故B正确；对于C，左边＝eq \o(CB,\s\up12(→))－eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \o(CB,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(CD,\s\up12(→))，与右边不相等，故C不正确；对于D，左边＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，故D正确．故选ABD. eq \o(CA,\s\up12(→)) 4.如图，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，则eq \o(DE,\s\up12(→))－eq \o(FE,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→)) 等于________(用图中标注的向量表示)． 解析：eq \o(DE,\s\up12(→))－eq \o(FE,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \o(EF,\s\up12(→))－eq \o(ED,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \o(DF,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \o(CE,\s\up12(→))＋eq \o(EA,\s\up12(→))＝eq \o(CA,\s\up12(→)). 5.如图所示，在正五边形ABCDE中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝m，eq \o(BC,\s\up12(→))＝n，eq \o(CD,\s\up12(→))＝p， eq \o(DE,\s\up12(→))＝q，eq \o(EA,\s\up12(→))＝r，求作向量m－p＋n－q－r. 解：m－p＋n－q－r＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(CA,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→)). 如图，连接AC，并延长AC到F， 使AC＝CF， 则向量eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(CF,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))， 即向量eq \o(AF,\s\up12(→))就是所求作向量． 一、选择题 1.如图，设eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(AD,\s\up12(→))＝b，eq \o(BC,\s\up12(→))＝c，则eq \o(DC,\s\up12(→))等于(　　) A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 解析：由于a－b＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(DB,\s\up12(→))，eq \o(DB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→))，所以eq \o(DC,\s\up12(→))＝a－b＋c. 2．边长为1的正三角形ABC中，|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|的值为(　　) A．1 B．2 C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3) 解析：如图，在▱ABCD中，△ABC为等边三角形，∵eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))，∴|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(DB,\s\up12(→))|＝eq \r(3). 3．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　) A.eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(BE,\s\up12(→))＋eq \o(CF,\s\up12(→))＝0 B.eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(CF,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→))＝0 C.eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(CE,\s\up12(→))－eq \o(CF,\s\up12(→))＝0 D.eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(BE,\s\up12(→))－eq \o(FC,\s\up12(→))＝0 解析：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，∴eq \o(BE,\s\up12(→))＝eq \o(DF,\s\up12(→))，eq \o(CF,\s\up12(→))＝eq \o(FA,\s\up12(→))，∴eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(BE,\s\up12(→))＋eq \o(CF,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))＋eq \o(DF,\s\up12(→))＋eq \o(FA,\s\up12(→))＝0. 4．已知△ABC及所在平面内一点P，满足eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))，则点P与△ABC的关系为(　　) A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在直线AB上 D．P是AC边上的一个三等分点 解析：由eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(PB,\s\up12(→))－eq \o(PA,\s\up12(→))，得eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PA,\s\up12(→))＝－eq \o(PC,\s\up12(→))，即eq \o(CP,\s\up12(→))＝eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PA,\s\up12(→))，故P为AC边上靠近A的三等分点． 二、填空题 6．在▱ABCD中，若|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AD,\s\up12(→))|，则边AB与边AD的夹角为_____． 7．设平面内有四边形ABCD和点O，eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(OB,\s\up12(→))＝b，eq \o(OC,\s\up12(→))＝c，eq \o(OD,\s\up12(→))＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是_______________． 解析：∵a＋c＝b＋d，∴a－b＝d－c，即eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))，∴eq \o(BA,\s\up12(→))＝eq \o(CD,\s\up12(→))，∴BA綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形． 8．在边长为1的正方形ABCD中，设eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(BC,\s\up12(→))＝b，eq \o(AC,\s\up12(→))＝c，则|a＋b＋c|＝________，|c－a－b|＝________． 解析：如图所示，|a＋b＋c|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BC,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AC,\s\up12(→))|＋|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝2|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝2eq \r(2).|c－a－b|＝|eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|＝|eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))|＝0. 2eq \r(2) 三、解答题 9．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))|，试判断△ABC的形状． 解：|eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))|，|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))|＝|eq \o(CB,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))|. ∵|eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))|，∴|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))|， ∴以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线的长度相等， ∴此平行四边形为矩形，∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形． 10.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点．若eq \o(AB,\s\up12(→))＝a，eq \o(BC,\s\up12(→))＝b，eq \o(OB,\s\up12(→))＝c，证明：a－(b＋c)＝－eq \o(OD,\s\up12(→)). 证明：a－(b＋c)＝a－b－c＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝－eq \o(BA,\s\up12(→))－eq \o(BC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝－eq \o(BD,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝ －(eq \o(BD,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→)))＝－eq \o(OD,\s\up12(→)). 11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|eq \o(BC,\s\up12(→))|2＝16，|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))|，求|eq \o(AM,\s\up12(→))|. 解：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加减法的几何意义可知eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))，eq \o(CB,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→)). 因为|eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))|＝|eq \o(AB,\s\up12(→))－eq \o(AC,\s\up12(→))|，所以|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(CB,\s\up12(→))|. 又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故AC⊥AB. 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，|eq \o(AM,\s\up12(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(BC,\s\up12(→))|＝2. 12．设△ABC的外心为O，垂心为H，连接BO并延长交外接圆于D.求证： (1)eq \o(DC,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))； (2)eq \o(OH,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→)). 证明：如图所示，在⊙O中， (1)eq \o(OB,\s\up12(→))＝－eq \o(OD,\s\up12(→))，eq \o(DC,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＝－eq \o(OD,\s\up12(→))， ∴eq \o(DC,\s\up12(→))－eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→)). (2)∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵△ABC的垂心为H，∴AH⊥BC，CH⊥AB， ∴AH∥CD，AD∥CH. ∴四边形AHCD为平行四边形． ∴eq \o(AH,\s\up12(→))＝eq \o(DC,\s\up12(→)).∴eq \o(OH,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AH,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(DC,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(DO,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))，即eq \o(OH,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→)). $$