2.1 从位移、速度、力到向量 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面向量的基本概念与应用，从基础达标题（如零向量性质）入手，逐步过渡到单位向量、共线向量及几何图形（半圆、菱形等）中的向量问题，构建从概念到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过几何图形分析（如正六边形、方格纸）和实际情境（汽车行驶路径），培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维进行逻辑推理的能力。如第3题区分向量与数量，第9题用向量解决位移问题，既强化概念理解，又提升应用意识，助力教师开展分层教学，提升学生数学核心素养。

§1　课后达标 检测 1．下列说法错误的是(　　) A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有长度的 C．零向量与任意向量平行 D．零向量的方向是任意的 解析：零向量的长度为0，方向是任意的，它与任意向量都平行，所以A，C，D正确，B错误．故选B. 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 2．设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是(　　) A．a0＝b0　　　　　　　 B．a0＝－b0 C．a0∥b0 D．|a0|＋|b0|＝2 解析：单位向量的模为1，故|a0|＋|b0|＝2，D正确， 因为a0，b0分别与a，b同向，而a，b方向不确定，故A，B，C错误，故选D. 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 3．已知汽车以大小为120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以大小为45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列说法正确的是(　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：速度和位移都是向量，向量不能比较大小，易知C正确，故选C. 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 5．(多选)若非零向量a和b互为相反向量，则下列说法中正确的是(　　) A．a∥b B．a≠b C．|a|≠|b| D．b＝－a 解析：由平行向量的定义可知a∥b，故A正确； 因为a和b的方向相反，所以a≠b，故B正确； 由相反向量的定义可知b＝－a，|a|＝|b|，故C错误，D正确．故选ABD. 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 120° 课后达标 检测 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 0 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 50°　 200 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 菱形 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 4.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2，则|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝(　　) A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2 解析：如图，连接AC，由|eq \o(OC,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|，得∠ABC＝∠OCB＝30°.因为C为半圆上一点，AB为直径，所以∠ACB＝90°，所以|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝1.故选A. 6.(多选)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(　　) A.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线 B.eq \o(DE,\s\up16(→))与eq \o(CB,\s\up16(→))共线 C.eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AE,\s\up16(→))共线 D.eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(BD,\s\up16(→))共线 解析：对于A，因为AB与AC不平行，且不在同一条直线上，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))不共线，A错误； 对于C，因为AB与AE不平行，且不在同一条直线上，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AE,\s\up16(→))不共线，C错误； 对于D，因为D是AB的中点，所以AD＝BD，且eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(BD,\s\up16(→))方向相反，所以eq \o(AD,\s\up16(→))与eq \o(BD,\s\up16(→))共线，D正确．故选BD. 对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则DE∥BC，故eq \o(DE,\s\up16(→))与eq \o(CB,\s\up16(→))共线，B正确； 7.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，那么eq \o(OD,\s\up16(→))与eq \o(FA,\s\up16(→))的夹角为________． 解析：eq \o(OD,\s\up16(→))与eq \o(FA,\s\up16(→))的夹角等于eq \o(FE,\s\up16(→))与eq \o(FA,\s\up16(→))的夹角，显然为120°. 8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量eq \o(AB,\s\up16(→))是平行向量，与eq \o(BC,\s\up16(→))是共线向量，则m＝__________ 解析：因为向量m与向量eq \o(AB,\s\up16(→))是平行向量，所以向量m与向量eq \o(AB,\s\up16(→))方向相同或相反．因为向量m与eq \o(BC,\s\up16(→))是共线向量，所以向量m与向量eq \o(BC,\s\up16(→))方向相同或相反．又由A，B，C是不共线的三点，可知向量eq \o(AB,\s\up16(→))与向量eq \o(BC,\s\up16(→))不共线，则m＝0. 9．一辆汽车从A出发向正西方向行驶100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°方向行驶200 km到达C点，又改变方向，向正东方向行驶100 km到达D点．D在A的西偏北______方向上，|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝________km. 解析：作出向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))，如图所示．由题意，易知eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))方向相反，故eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))共线．又|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(CD,\s\up16(→))|，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝|eq \o(BC,\s\up16(→))|＝200 km.由图知向量eq \o(AD,\s\up16(→))的方向为西偏北50°. 10.如图所示，在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，点N，M分别是AD，BC上的点，且eq \o(CN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))，求证：eq \o(DN,\s\up16(→))＝eq \o(MB,\s\up16(→)). 证明：因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，所以AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(DA,\s\up16(→))， 又eq \o(CN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))，所以CN＝MA，CN∥MA， 所以四边形CNAM是平行四边形， 所以eq \o(CM,\s\up16(→))＝eq \o(NA,\s\up16(→))，所以CM＝NA，CM∥NA. 因为CB＝DA，CM＝NA， 所以MB＝DN. 又DN∥MB，所以eq \o(DN,\s\up16(→))与eq \o(MB,\s\up16(→))的模相等且方向相同，所以eq \o(DN,\s\up16(→))＝eq \o(MB,\s\up16(→)). 11.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　) A．与eq \o(AB,\s\up16(→))相等的向量只有1个(不含eq \o(AB,\s\up16(→))) B．与eq \o(AB,\s\up16(→))的模相等的向量有9个(不含eq \o(AB,\s\up16(→))) C.eq \o(BD,\s\up16(→))的模恰为eq \o(DA,\s\up16(→))的模的eq \r(3)倍 D.eq \o(DA,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))的夹角为120° 解析：由于eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，因此与eq \o(AB,\s\up16(→))相等的向量只有eq \o(DC,\s\up16(→))，而与eq \o(AB,\s\up16(→))的模相等的向量有eq \o(DA,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))共9个，故A，B正确； 在Rt△AOD中，因为∠ADO＝30°，所以|eq \o(DO,\s\up16(→))|＝eq \f(\r(3),2)|eq \o(DA,\s\up16(→))|，故|eq \o(DB,\s\up16(→))|＝eq \r(3)|eq \o(DA,\s\up16(→))|，故C正确； 由于eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))，所以eq \o(DA,\s\up16(→))与eq \o(AB,\s\up16(→))的夹角为∠CDA＝60°，故D不正确．故选ABC. 12.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在图中标出了4个向量，则下列说法正确的是(　　) A．向量eq \o(CH,\s\up16(→))，eq \o(DG,\s\up16(→))的模相等 B．|eq \o(AE,\s\up16(→))|＝eq \r(10) C．向量eq \o(DG,\s\up16(→))，eq \o(HF,\s\up16(→))共线 D．|eq \o(DG,\s\up16(→))|＋|eq \o(HF,\s\up16(→))|＝10 解析：对于A，因为|eq \o(CH,\s\up16(→))|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)，|eq \o(DG,\s\up16(→))|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)， 所以|eq \o(CH,\s\up16(→))|≠|eq \o(DG,\s\up16(→))|，所以A错误； 对于B，因为|eq \o(AE,\s\up16(→))|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)，所以B正确； 对于C，因为∠CDG＝∠CFH＝45°， 所以DG∥HF，所以向量eq \o(DG,\s\up16(→))，eq \o(HF,\s\up16(→))共线，所以C正确； 对于D，因为|eq \o(DG,\s\up16(→))|＋|eq \o(HF,\s\up16(→))|＝eq \r(22＋22)＋eq \r(32＋32)＝5eq \r(2)≠10， 所以D错误．故选BC. 13.已知在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，且|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|，tan D＝eq \r(3)，则四边形ABCD的形状是________． 解析：因为在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．因为tan D＝eq \r(3)，∠D∈(0，π)，所以∠B＝∠D＝eq \f(π,3).又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up16(→))))，即AB＝AC，所以△ABC是等边三角形， 所以AB＝BC，故四边形ABCD是菱形． 14.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(5). (1)画出所有的向量eq \o(AC,\s\up16(→))； 解：所有的向量eq \o(AC,\s\up16(→))，如图所示． (2)求|eq \o(BC,\s\up16(→))|的最大值与最小值． 解：由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C2时，|eq \o(BC,\s\up16(→))|取得最小值eq \r(12＋22)＝eq \r(5)； ②当点C位于点C5或C6时，|eq \o(BC,\s\up16(→))|取得最大值eq \r(42＋52)＝eq \r(41).所以|eq \o(BC,\s\up16(→))|的最大值为eq \r(41)，最小值为eq \r(5). 15.如图所示，在▱ABCD中，O是两条对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{eq \o(MN,\s\up16(→))|M，N∈S，且M，N不重合}，则集合T中元素的个数为________． 解析：由题可知，集合S中任意两点连成的有向线段共有20个，即eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AO,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(BO,\s\up16(→))，eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(CO,\s\up16(→))，eq \o(DA,\s\up16(→))，eq \o(DB,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(DO,\s\up16(→))，eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OD,\s\up16(→)).由平行四边形的性质可知，共有8对相等向量，即eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，eq \o(BA,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))，eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))，eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(CO,\s\up16(→))，eq \o(DO,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \o(BO,\s\up16(→)). 因为集合中元素具有互异性，所以集合T中的元素共有12个． 16.如图，已知以O为圆心，1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点或终点作向量．求： (1)向量eq \o(OD,\s\up16(→))与eq \o(OE,\s\up16(→))的夹角； 解：由题意得eq \o(DE,\s\up18(︵))所对圆心角是45°，即∠DOE＝45°，所以向量eq \o(OD,\s\up16(→))与eq \o(OE,\s\up16(→))的夹角为45°. (2)与向量eq \o(OD,\s\up16(→))垂直的向量； 解：由题意得BF是圆O的直径，OD⊥BF，CE∥BF∥AG，如图， 所以与向量eq \o(OD,\s\up16(→))垂直的向量有： eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(BO,\s\up16(→))，eq \o(OF,\s\up16(→))，eq \o(FO,\s\up16(→))，eq \o(BF,\s\up16(→))，eq \o(FB,\s\up16(→))，eq \o(CE,\s\up16(→))，eq \o(EC,\s\up16(→))，eq \o(AG,\s\up16(→))，eq \o(GA,\s\up16(→)). (3)模等于eq \r(2)的向量的个数． 解：以A，B，C，D，E，F，G，H中四点为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形ACEG，另一个是正方形BDFH.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一条边对应两个向量)的长度为eq \r(2)，故模为eq \r(2)的向量共有4×2×2＝16(个)． $