1.8 三角函数的简单应用 课后达标 检测(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数模型的应用，通过简谐运动、单摆、车流量等实际问题导入，衔接三角函数定义与性质，以具体问题为支架，帮助学生构建数学与现实世界的联系。 其亮点是以生活实例（如桥拱、水轮、血压）为载体，通过“观察现象—抽象模型—推理求解”过程，培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维分析问题、用数学语言表达规律的核心素养。例如用余弦函数描述桥拱形状，既提升学生应用能力，也为教师提供丰富教学素材。

§8　课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 课后达标 检测 7．点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系式为________________． 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 课后达标 检测 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 8 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 课后达标 检测 10．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足p(t)＝115＋25sin (160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min).求： (1)此人每分钟心跳的次数； 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 (2)此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较． 解：由题意得，p(t)max＝115＋25＝140，p(t)min＝115－25＝90，所以此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高． 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 √ √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 课后达标 检测 13．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．   (1)点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数为 __________________________； 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 (2)点P第一次到达最高点需要的时间为________s. 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 4 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 (2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 (2)某艘货船满载时吃水深度为4.5 m，空载时为2.5 m，按安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底之间的距离)，问： ①该船满载时一天之内何时能进出港口？ 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 ②该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港，为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离港，问最迟在几点之前离港才能确保安全？ 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 1．简谐运动f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋φ)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2))) 的图象经过点P(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝ eq \f(π,6) B．T＝6，φ＝ eq \f(π,3) C．T＝6π，φ＝ eq \f(π,6) D．T＝6π，φ＝ eq \f(π,3) 解析：由周期公式知T＝ eq \f(2π,\f(π,3)) ＝6，当x＝0时，由f(x)＝2sin φ＝1及|φ|＜ eq \f(π,2) 知φ＝ eq \f(π,6) .故选A. 解析：由题意得单摆来回摆动的振幅为3 cm，摆动一次所需的时间为T＝ eq \f(2π,\f(π,2)) ＝4 s．故选A. 2. 已知单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式为S(t)＝3sin ( eq \f(π,2) t＋ eq \f(π,3) )，则单摆来回摆动的振幅和摆动一次所需的时间分别为(　　) A．3 cm，4 s B．－3 cm，4 s C．3 cm，2 s D．－3 cm，2 s 3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin (2t＋ eq \f(π,6) )，s2＝5cos (2t－ eq \f(π,3) ).则在时间t＝ eq \f(2π,3) 时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1＞s2 B．s1＜s2 C．s1＝s2 D．s1≥s2 解析：当t＝ eq \f(2π,3) 时，s1＝5sin (2× eq \f(2π,3) ＋ eq \f(π,6) )＝－5，s2＝5cos (2× eq \f(2π,3) － eq \f(π,3) )＝－5，所以s1＝s2. 4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin eq \f(t,2) (0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列时间段内车流量逐渐增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 解析：由函数y＝sin x的单调递增区间为－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤x≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，可得－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤ eq \f(t,2) ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，解得－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，当k＝1时，3π≤t≤5π，因为[10，15]⊆[3π，5π].故选C. 5．重庆被誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合．已知桥拱部分长552 m，两端引桥各有190 m，主桁最高处距离桥面 89.5 m，则将下列函数等比例放大后，与主桁形状最相似的是(　　) A．y＝0.45cos eq \f(2,3) x B．y＝4.5cos eq \f(2,3) x C．y＝0.9cos eq \f(3,2) x D．y＝9cos eq \f(3,2) x 解析：设主桁(图中粗线)部分对应的余弦函数为f(x)＝A cos ωx，可得函数的周期为T＝552＋190×2＝932，即ω＝ eq \f(2π,932) ＝ eq \f(π,466) ，又由2A＝89.5，解得A＝ eq \f(89.5,2) ，所以函数的解析式为f(x)＝ eq \f(89.5,2) cos eq \f(π,466) x，按1∶100的比例等比变换，可得f(x)＝ eq \f(89.5,200) cos eq \f(100π,466) x，对比选项，可得与函数y＝0.45cos eq \f(2,3) x相似．故选A. 6．(多选)阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝2sin (ωt＋φ)，其中ω＞0，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1 cm的相邻时刻差为 eq \f( π,3) ，则ω的可能取值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：令2sin (ωt＋φ)＝1，则ωt＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z或ωt＋φ＝2kπ＋ eq \f(5π,6) ，k∈Z，得t＝ eq \f(2kπ＋\f(π,6)－φ,ω) ，k∈Z或t＝ eq \f(2kπ＋\f(5π,6)－φ,ω) ，k∈Z， 所以两相邻时刻差为 eq \f( 2π,3ω) 或 eq \f( 4π,3ω) ， 当 eq \f( 2π,3ω) ＝ eq \f(π,3) 时，得ω＝2；当 eq \f( 4π,3ω) ＝ eq \f(π,3) 时，得ω＝4.故选AC. x＝3cos eq \f(2π,3) t 解析：设位移x关于时间t的函数为x＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)(ω>0)， 根据题中条件，可得A＝3，周期T＝ eq \f(2π,ω) ＝3，故ω＝ eq \f(2π,3) ， 由题意可知当t＝0时，f(t)取得最大值3，故3sin φ＝3，则φ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z)) ， 所以x＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t＋\f(π,2)＋2kπ)) ＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t＋\f(π,2))) ＝3cos eq \f(2π,3) t. eq \f(1,120) 解析：由A＋60＝80得A＝20，且150πω＋ eq \f(π,4) ＝－ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，解得ω＝－ eq \f(1,200) ＋ eq \f(k,75) ，k∈Z，又因为ω>0， 所以k＝1时，ω取最小值为 eq \f(1,120) . 8．国际油价P(单位：美元)在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝ A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωπt＋\f(π,4))) ＋60，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价为80美元，当t＝150时，油价最低，则ω的最小值为________． 9．函数f(n)＝200cos ( eq \f(π,6) n＋ eq \f(2π,3) )＋300(n∈{1，2，3，…，12}为月份)近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则当n＝________时，游客流量最大． 解析：因为n∈{1，2，3，…，12}，所以 eq \f(π,6) n＋ eq \f(2π,3) ∈{ eq \f(5π,6) ，π， eq \f(7π,6) ， eq \f(4π,3) ， eq \f(3π,2) ， eq \f(5π,3) ， eq \f(11π,6) ，2π， eq \f(13π,6) ， eq \f(7π,3) ， eq \f(5π,2) ， eq \f(8π,3) }，所以当 eq \f(π,6) n＋ eq \f(2π,3) ＝2π，即n＝8时，cos ( eq \f(π,6) n＋ eq \f(2π,3) )取得最大值1，所以当n＝8时，f(n)取得最大值， 又游客流量越大所需服务工作的人数越多， 所以当n＝8时，游客流量最大． 解：函数p(t)＝115＋25sin (160πt)的最小正周期T＝ eq \f(2π,160π) ＝ eq \f(1,80) ，根据题意可知，在一个周期内，心脏跳动一次，所以此人每分钟心跳的次数为 eq \f(1,\f(1,80)) ＝80. 11．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的 eq \o(AP,\s\up24(︵)) 的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　) 解析：设 eq \o(AP,\s\up24(︵)) 所对的圆心角为α，则α＝l，弦AP的长d＝2·|OA|·sin eq \f(α,2) ， 即有d＝f(l)＝2sin eq \f(l,2) .故选C. 12．(多选)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝ A sin ωt＋B(A>0，B>0，0<ω< eq \f(1,2) )，其中0≤t≤24.已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　) A．ω＝ eq \f(π,12) B．当天下午3：00温度最高 C．温度为28 ℃是当天晚上7：00 D．从当天晚上11：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃ f(t)＝6sin eq \f(π,12) t＋25，令 eq \f(π,12) t＝ eq \f(π,2) 即t＝6时f(t)取得最大值，t＝6对应当天下午3：00，B正确． 解析：当 t＝0时，θ＝25 ℃，所以B＝25，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，此时t＝18， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－A＋25＝19，,18ω＝\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z，,0<ω<\f(1,2)，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝6，,ω＝\f(π,12)，)) A正确． f(t)＝28，解得t＝2或t＝10，即为当天上午11：00或当天晚上7：00，C错误． 令f(t)≤22，即6sin eq \f(π,12) t＋25≤22， 解得－ eq \f(5π,6) ＋2kπ≤ eq \f(π,12) t≤－ eq \f(π,6) ＋2kπ，k∈Z， 即－10＋24k≤t≤－2＋24k，k∈Z. 当k＝1时，14≤t≤22，即从当天晚上11：00到第二天清晨7：00温度都不高于22 ℃，D正确．故选ABD. z＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6))) ＋2(t≥0) 解析：如图，建立平面直角坐标系，设角φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<φ<0)) 是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为 eq \f(5×2π,60) ＝ eq \f(π,6) ，又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m， 所以z＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ)) ＋2. 当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－ eq \f(1,2) ， 即φ＝－ eq \f(π,6) .故所求的函数表达式为 z＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6))) ＋2(t≥0). 解析：令z＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6))) ＋2＝6， 得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6))) ＝1. 令 eq \f(π,6) t－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ，得t＝4. 故点P第一次到达最高点需要4 s. 14.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0 ℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间t(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，若该曲线近似满足函数关系：f(t)＝A sin (ωt－ eq \f(2π,3) )＋b(A>0，ω>0). (1)求y＝f(t)的表达式； 解：因为f(t)＝A sin (ωt－ eq \f(2π,3) )＋b(A>0，ω>0)图象上最低点的坐标为(2， －4)，与之相邻的最高点坐标为(14，12)，所以A＝ eq \f(12－（－4）,2) ＝8， eq \f(T,2 ) ＝14－2＝12，b＝－4＋A＝－4＋8＝4， 所以T＝ eq \f(2π,ω) ＝24，解得ω＝ eq \f(π,12) . 所以f(t)＝8sin ( eq \f(π,12) t－ eq \f(2π,3) )＋4，0≤t≤24. 解：由(1)得，8sin ( eq \f(π,12) t－ eq \f(2π,3) )＋4<0， 所以sin ( eq \f(π,12) t－ eq \f(2π,3) )<－ eq \f(1,2) ， 所以 eq \f(7π,6) ＋2kπ< eq \f(π,12) t－ eq \f(2π,3) < eq \f(11π,6) ＋2kπ，k∈Z， 解得22＋24k<t<30＋24k，k∈Z， 因为0≤t≤24，所以0≤t<6，22<t≤24. 所以该商场的中央空调在一天内开启的时长为8 h． 15.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2)) ，其对应的方程为|y|＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x,π))))) |sin ωx|(x≥0，其中[x]为不超过x的最大整数，0<ω<5).若该葫芦曲线上一点M到y轴的距离为 eq \f(4,3) π，则点M到x轴的距离为(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(\r(3),4) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) 解析：将P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2)) 代入|y|＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x,π))))) ·|sin ωx|中得， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2×\f(π,4),π))))) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(ωπ,4))) ＝2， 即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(ωπ,4))) ＝1，因为0<ω<5，所以0< eq \f(ωπ,4) < eq \f(5π,4) ，所以 eq \f(ωπ,4) ＝ eq \f(π,2) ，解得ω＝2，故|y|＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x,π))))) ·|sin 2x|，当x＝ eq \f(4,3) π时，|y|＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,3))))) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(8,3)π)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(2,3)π)) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选D. 16.某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24 h)之内呈周期性变化，且符合函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋k(A>0，ω>0，－ eq \f(π,2) <φ< eq \f(π,2) )，其中f(t)为水深(单位：m)，t为时间(单位：h)，t∈[0，24).研究小组绘制了水深图． (1)求f(t)的解析式； 解：由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋k＝7，,－A＋k＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝2，,k＝5.)) T＝2×(8－2)＝12＝ eq \f(2π,ω) ， 所以ω＝ eq \f(π,6) . 当t＝2时，f(t)最大，所以2× eq \f(π,6) ＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z.又φ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) ， 所以φ＝ eq \f(π,6) ，所以f(t)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,6))) ＋5，t∈[0，24). 解：由题意得2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,6))) ＋5≥4.5＋1.5，得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,6))) ≥ eq \f(1,2) ， 所以2kπ＋ eq \f(π,6) ≤ eq \f(π,6) t＋ eq \f(π,6) ≤2kπ＋ eq \f(5π,6) ，k∈Z， 解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z. 因为t∈[0，24)，所以k＝0或k＝1，所以0≤t≤4或12≤t≤16， 所以该船满载时，在一天之内从0点到4点或从12点到16点能安全进出港口． 解：空载时由2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,6))) ＋5≥2.5＋1.5，得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,6))) ≥－ eq \f(1,2) ， 所以2kπ－ eq \f(π,6) ≤ eq \f(π,6) t＋ eq \f(π,6) ≤2kπ＋ eq \f(7π,6) ，k∈Z， 所以12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z. 又t∈[0，24)， 所以0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t<24， 因为6－0.5＝5.5， 所以最迟在五点半之前离港可确保安全． $