7.2 排列（题型专练，7基础&3提升题型+培优）高二数学苏教版选择性必修第二册

7.2 排列 题型一 排列数的计算 1．（25-26高二上·辽宁大连·月考）可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东广州·期末）计算： ． 4．（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 题型二 排列公式的证明 1．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 2．（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 3．【多选题】（23-24高二下·重庆·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．【多选题】（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 题型三 排列数方程与解不等式 1．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则n的值为 . 2．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 3．【多选题】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 4．【多选题】（24-25高二下·江苏扬州·期中）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四 特殊元素/特殊位置优先 1．（2025高二上·全国·专题练习）某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有 种． 2．（25-26高二上·江西赣州·月考）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（    ）． A．72种 B．66种 C．42种 D．36种 题型五 相邻问题捆绑法 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为 . 2．（25-26高二·全国·假期作业）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（    ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 题型六 不相邻问题插空法 1．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）现组织高二（1）班师生一起看话剧，总共有4位教师和8位学生坐在一排，一排有12个座位，要求4位教师必须坐在8位学生中间，并且4位教师不可以坐在一起，总共有 种不同的坐法（用排列数作答）． 3．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有 种不同的站法（用式子作答）. 4．（25-26高二上·吉林长春·期末）2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 题型七 相邻与不相邻问题综合 1．（25-26高二上·山东日照·月考）7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有 种不同安排方式. 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有 种不同安排方式． 3．（25-26高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作答） 4．（2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 题型一 定序问题除序法 1．（25-26高三上·江西吉安·月考）育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有 种插入方法（用数字作答）. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 3．（24-25高二下·山东济南·月考）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻． (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾． (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变． 4．（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 题型二 排列与古典概型概率综合 1．（2025·湖南永州·模拟预测）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为 . 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是 ． 3．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为 . 4．（24-25高二下·河南商丘·期中）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7，8的卡片各1张，两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率是 . 题型三 排列中的新文化题 1．（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ） A．10 B．20 C．36 D．38 2．（23-24高三上·云南·月考）回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”.纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（    ） A．56个 B．64个 C．81个 D．90个 3．（2018·四川·一模）中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种. 例如：163可表示为“”，27可表示为“”，问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为(   ) A．48 B．60 C．96 D．120 4．（2025高三·全国·专题练习） 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ） A．960 B．1020 C．2150 D．3125 1．（2026·河北·一模）如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 2．（25-26高二上·上海·月考）是的全排列，如果对任意的与中至少有一项大于的概率为 ． 3．（25-26高三上·浙江温州·月考）设为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数，其中，例，则的值大于400的概率为 ． 4．【多选题】（25-26高三上·四川成都·开学考试）13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A～E，将这十三张牌随机排成一行，则下列说法正确的是（   ） A．不同排列方式的种数不超过60亿种 B．五张字母牌互不相邻的概率为 C．在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为 D．对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，发生的概率为 4．（24-25高二下·河北沧州·期末）某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． (1)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． (2)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 6．（2025·广东深圳·二模）将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 ． 7．（24-25高二下·重庆·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为 . 8．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 排列 题型一 排列数的计算 1．（25-26高二上·辽宁大连·月考）可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数公式计算求解. 【详解】. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数的计算公式进行判断. 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 3．（24-25高二下·广东广州·期末）计算： ． 【答案】48 【分析】根据题意结合组合数公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：48. 4．（24-25高二下·广东清远·期末）（    ） A．8 B．13 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 题型二 排列公式的证明 1．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 2．（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【详解】（1）. （2），. 3．【多选题】（23-24高二下·重庆·月考）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：因为， ， 所以，故C正确； 对于D：因为， 所以，故D错误. 故选：BC 4．【多选题】（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 题型三 排列数方程与解不等式 1．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则n的值为 . 【答案】4 【分析】利用排列数公式列式计算即得. 【详解】由，解得. 故答案为：4. 2．（24-25高二下·广东揭阳·月考）满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式可得出关于的不等式，结合的取值范围可得出的值. 【详解】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 3．【多选题】（24-25高二下·湖北宜昌·期中）已知，，则满足不等式的的值为（   ） A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】BD 【分析】根据排列数的计算得出不等式，解不等式再根据的范围即可求得结果. 【详解】因为， 所以，即，解得； 又，，所以 或4， 故选：BD. 4．【多选题】（24-25高二下·江苏扬州·期中）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【分析】根据排列不等式，求出未知数范围，运用阶乘公式计算求解后取整数即可. 【详解】由可得：，即， 由化简得：， 即，解得或， 综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7. 故选：ABC. 题型四 特殊元素/特殊位置优先 1．（2025高二上·全国·专题练习）某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有 种． 【答案】474 【分析】先从节课中任意安排，再排除上午和下午连上3节的情况即可. 【详解】从节课中任意安排节共有：种， 其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种， 老师一天课表的所有排法共有：种. 故答案为：474 2．（25-26高二上·江西赣州·月考）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有 . 【答案】18种 【分析】先定受限元素的选择数，再算剩余元素的排列数，最后用乘法原理求总数即可. 【详解】因为甲不去重庆动物园，所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有. 故答案为：18. 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 【答案】D 【分析】先排数学，再排体育，最后排剩下的4科，即可得答案. 【详解】由题意可得数学一共有种排法， 体育一共有种排法， 剩下的4科共有种排法， 所以一共有种排法. 故选：D. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（    ）． A．72种 B．66种 C．42种 D．36种 【答案】A 【分析】分选甲和不选甲两种情况讨论，结合排列知识，或分步乘法计数原理即可求解 【详解】若没有选甲，不同的安排方法有种；若选甲，则有种安排方法，故一共有种安排方法. 故选：A 题型五 相邻问题捆绑法 1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为 . 【答案】 【分析】利用捆绑法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】将3名女生看成一个整体有种排法，再和其他5名男生排成一排有种排法，所以一共有种方法. 故答案为： 2．（25-26高二·全国·假期作业）若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为（    ） A．4680 B．4320 C．3640 D．3860 【答案】B 【分析】把3名女生看作一个整体，再与5名男生共6个元素进行全排列，最后根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】将3名女生看成一个整体，再和5名男生进行全排列，有种排法， 因为3名女生内部顺序可以调整，所以共有种不同的排法． 故选：B. 3．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将5个女生捆绑当作一个元素，与10个男生进行全排列，即可得出结论. 【详解】先把5名女生捆绑在一起，看成一个整体，内部有种排法， 再把这个整体与另外10名男生进行排列，有种排法， 所以不同的排法数为． 故选：B 4．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】D 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：D. 题型六 不相邻问题插空法 1．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先将女生排好，再利用插空法，排列男生，并根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 2．（2026高三·全国·专题练习）现组织高二（1）班师生一起看话剧，总共有4位教师和8位学生坐在一排，一排有12个座位，要求4位教师必须坐在8位学生中间，并且4位教师不可以坐在一起，总共有 种不同的坐法（用排列数作答）． 【答案】 【分析】由插空法结合分步乘法计数原理求解. 【详解】8位学生的座位排列方法有种， 4位教师必须坐在8位学生中间，所以不能将教师安排在学生首尾两端的空隙中，只能安排在8位学生之间的7个空隙中， 如图．将4位教师的座位插入8位学生间隔的7个空位中，全排列有种坐法，    由分步乘法计数原理可得，座位的排列方法总共有种． 故答案为： 3．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有 种不同的站法（用式子作答）. 【答案】 【分析】先把8名学生排成一排，产生9个空，再把2位教师插入即可. 【详解】8名学生排成一排有种方法，此时产生9个空， 再把2位教师插入有种方法， 所以有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有种不同的站法， 故答案为： 4．（25-26高二上·吉林长春·期末）2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 【答案】C 【分析】分为甲乙相邻、乙丙相邻或甲丙相邻，结合捆绑法、插空法求解. 【详解】设3名女生为甲乙丙， 当甲乙相邻时， 第一步：当女生甲乙相邻时，看作一个整体，2人之间的排序有， 第二步：再将2名男生排成一排有， 第三步：2名男生，三个空，安排甲乙整体和丙，有， 故当甲乙相邻时，共有， 同理：乙丙相邻和甲丙相邻时也有24种， 故恰有2名女生相邻的不同站法共有， 故选：C 题型七 相邻与不相邻问题综合 1．（25-26高二上·山东日照·月考）7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有 种不同安排方式. 【答案】1200 【分析】先应用排列数求出甲乙两人相邻的情况数，再求出其中甲丙相邻的情况数，应用间接法求甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻的情况数. 【详解】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列， 所以共有种情况， 其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列， 所以共有种情况， 所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共有种. 故答案为： 2．（25-26高三上·贵州遵义·月考）7个人站成两排照相，前排3人，后排4人；其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻（若两人分站两排视为不相邻），则共有 种不同安排方式． 【答案】1056 【分析】按甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端分类，再利用排列计数问题列式求解. 【详解】依题意，分为两类情况： 当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，丙随便排都与甲不相邻，其他人随便排，有种排列方式； 当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选， 丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种排列方式； 所以由分类加法计数原理，总共有种排列方式. 故答案为：1056 3．（25-26高一上·北京·期中）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有 种.（用数字作答） 【答案】144 【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，先排甲班和丙班的同学，将甲班的2人捆绑视为一个整体，这个整体与丙班的2人（共3个元素）进行全排列，有种方法；甲班两人内部有种排法，故共有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空位，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故答案为：144 4．（2025·贵州·模拟预测）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有 种． 【答案】144 【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“数”进行全排列，再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中，最后将“射”和“御”交换位置， 根据分步计数原理即可求解. 【详解】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 题型一 定序问题除序法 1．（25-26高三上·江西吉安·月考）育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有 种插入方法（用数字作答）. 【答案】 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对全部的9个节目全排列，有种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有（种）. 故答案为：. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲在乙的左边； (2)甲在乙的左边，乙在丙的左边． 【答案】(1)360 (2)120 【分析】（1）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. （2）［方法一］结合排列数，利用倍缩法求解即可； ［方法二］结合排列数，利用空位法求解即可. 【详解】（1）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙顺序，有种排法，甲、乙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边的排法共有（种）． ［方法二］空位法：从6个位置中选择4个位置把除甲、乙外的其余4人放入，共有种排法， 再将甲、乙按序排入余下的2个位置，因此共有（种）排法． （2）［方法一］倍缩法：不考虑甲、乙、丙顺序，有种排法，甲、乙、丙全排有（种）排法， 所以甲在乙的左边，乙在丙的左边共有（种）排法． ［方法二］空位法：从6个位置中选择3个位置把除甲、乙、丙外的其余3人放入，共有种排法， 再将甲、乙、丙按序排入余下的3个位置，因此共有（种）排法． 3．（24-25高二下·山东济南·月考）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻． (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾． (3)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变． 【答案】(1)1440种 (2)3720种 (3)840种 【分析】（1） 先安排男生，再插空法求解，得到答案； （2）正难则反的方法，先全排列，再求出男生甲在排头，女生乙在排尾及两者同时发生的情况数，列式计算； （3）用定序倍缩法进行求解. 【详解】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能，故3名女生不相邻的站法有种； （2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况， 其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况，男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况， 所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种； （3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解，即站法有种． 4．（24-25高二下·重庆九龙坡·月考）重庆外国语学校第34届外语节于2025年5月22日举行，高二某班6名同学参加节目表演，表演完后老师为这6名同学合影留念.合影时4人先到2人后到，为节约时间，先到的4人排好队，后来的2人加入并保持排好队同学的相对顺序不变，这两名同学共有多少种加入方法（   ） A．10 B．20 C．60 D．30 【答案】D 【分析】用倍缩法直接计算求解该定序问题即可. 【详解】6人全排有中排序方法， 所以先到的4人相对顺序不变下两名同学共有种加入方法. 故选：D 题型二 排列与古典概型概率综合 1．（2025·湖南永州·模拟预测）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为 . 【答案】 【分析】先计算事件总数，因为，得到，然后看不同的大小组合，最后排序计算符合条件的总数，然后计算概率即可. 【详解】所有投掷结果共有种， 由，不妨设， 则， 事实上，对于其他排序可得类似结果，则 所以 我们不妨设，则，还有一个数为 显然， 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 所以一共有种； 故事件“”发生的概率为 故答案为： 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）15个人围坐在圆桌旁，从其中任取4人，两两不相邻的概率是 ． 【答案】 【分析】先让11个人入坐，再把其余4人插空求任取4人两两不相邻的入坐方法数，再应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】15个人围坐在圆桌旁从中任取4人，两两互不相邻， 先让11个人入坐，再把其余4人插空，共有种不同的围坐方法， 所求概率是． 故答案为： 3．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为 . 【答案】 【分析】将问题转化为抽取5张，且甲抽取的张数字之和为，乙抽取的两张卡片数字之和不为10，再分类讨论每种情况的种类数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束相当于从6张卡片中抽取了5张，且甲抽取的三张卡片数字之和为10，乙抽取的两张卡片数字之和不为10， 则总的情况相当于从6张卡片中抽取了5张并进行排列，即共种排法， 其中三张卡片数字之和为10的组合有1，3，6；1，4，5；2，3，5共3种情况， 两张卡片数字之和为10的组合有，一种情况， 当甲抽取的数字为1，3，6；1，4，5时，乙在剩余的3个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为2，3，5时，若乙抽取的两张卡片数字可能为4，6，此时不合题意， 此时共有种， 所以符合题意的排列总数为种，可得所求概率为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·河南商丘·期中）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6，7，8的卡片各1张，两人轮流从中不放回地随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率是 . 【答案】 【分析】依题意可知可分为2大类：①两人一共抽取了4张卡片，此时乙抽到6，7或5，8，当乙抽到6，7时，甲排除5，8；当乙抽到5，8时，甲排除6，7，②两人一共抽取了5张卡片，当甲抽取的数字为1，5，7；2，5，6时，乙在剩余的5个数字中随意抽取2张卡片；分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可分为2大类： ①两人一共抽取了4张卡片，此时乙抽到6，7或5，8， 当乙抽到6，7时，甲排除5，8； 当乙抽到5，8时，甲排除6，7，此时概率； ②两人一共抽取了5张卡片，当甲抽取的数字为1，5，7；2，5，6时， 乙在剩余的5个数字中随意抽取2张卡片； 当甲抽取的数字为1，4，8；2，3，8；2，4，7；3，4，6时， 要排除乙抽到6，7或5，8，所以， 所以游戏结束时，乙手中恰好有2张卡片的概率. 故答案为：. 题型三 排列中的新文化题 1．（24-25高二下·广东江门·期中）中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子.如图，是利用算筹表示数 1~9 的一种方法.若规定137可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的不含数字的三位数的个数为（   ） A．10 B．20 C．36 D．38 【答案】D 【分析】依题意根算筹可以分为，，三种情况，再分别确定相应的三位数的个数，即可得解. 【详解】依题意，一根算筹只能表示；两根算筹可以表示、， 三根算筹可以表示、，四根算筹可以表示、； 依题意根算筹可以分为，，三种情况： 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 若为，则有个三位数； 综上可得一共有个三位数. 故选：D 2．（23-24高三上·云南·月考）回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”.纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（    ） A．56个 B．64个 C．81个 D．90个 【答案】C 【分析】根据回文数的性质，结合排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①4位“回文数”中数字全部相同，有9种情况，即此时有9个4位“回文数”； ②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况， 即此时有72个4位“回文数”，则一共有个4位“回文数”， 故选：C 3．（2018·四川·一模）中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种. 例如：163可表示为“”，27可表示为“”，问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为(   ) A．48 B．60 C．96 D．120 【答案】C 【分析】首先假设8根算筹的组合为，然后5个里选3个组成满足题意的数，不考虑顺序，有四种，然后对每种详细分析即可. 【详解】设8根算筹的组合为， 不考虑先后顺序，则可能的组合为：， 对于，组合出的可能的算筹为：共4种， 可以组成的三位数的个数为：种， 同理可以组成的三位数的个数为：种， 对于，组合出的可能的算筹为： 共6种， 可以组成的三位数的个数为：种， 同理可以组成的三位数的个数为：种， 利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 4．（2025高三·全国·专题练习） 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ） A．960 B．1020 C．2150 D．3125 【答案】B 【分析】问题化为五个区域，有5种不同的颜色供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题． 【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件． 五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，如下图示， 分为以下两类情况： 第一类：三个区域涂三种不同的颜色， 第一步涂区域，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有种涂色方法， 第二步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法； 第二类：三个区域涂两种不同的颜色，由不能涂同一种颜色，则涂同一种颜色，或涂同一种颜色， 若涂一种颜色， 第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色， 即从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有种涂色方法， 第二步涂区域，由于颜色相同，则有4种涂色方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法． 若涂一种颜色，与涂一种颜色的方法数相同， 所以，第二类共有种涂色方法． 由分类加法计数原理知，不同的涂色方法共有种． 故选：B 1．（2026·河北·一模）如图是由九个半径相同的圆构成的图形(该图形不能旋转和翻转)，若将1，2，…，9九个数字分别填入这九个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有 种. 【答案】 【分析】将有阴影的圆中填入的数字用 表示，则为 ； 这几种情况讨论，求出相应填法种数，即可求得结果. 【详解】将三个有阴影的圆中填入的数字用 表示， 当 为9，8，7时，有 种填法； 当 为9，8，6时，则7不能与6相邻， 故7有种填法，剩余的五个数字可以任意填在空白圆中，有 种情况，有2160 种填法； 当 为9，8，5时，则与5相邻的只能是4，3，2，1中的三个数字， 有 种填法； 当 为9，8，4时，则与4相邻的只能是3，2，1，有 种填法； 当 为9，7，6时，则8与9相邻且8只有1种位置，有 种填法； 当 为9，7，5时，则8与9相邻且8只有1种位置， 6不与5相邻有2种位置选择，有 种填法； 当 为9，7，4时，则8与9相邻且8只有1种位置， 与4相邻的只能是3，2，1，故有 种填法. 所以填法共有： (种). 故答案为： 2．（25-26高二上·上海·月考）是的全排列，如果对任意的与中至少有一项大于的概率为 ． 【答案】 【分析】由题意可知的全排列有种，进而判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数，再求概率即可． 【详解】由题意可知的全排列有种， 因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 所以对应概率为． 故答案为：． 3．（25-26高三上·浙江温州·月考）设为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数，其中，例，则的值大于400的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列排列的性质及题意分析求解即可. 【详解】数字1，2，3，4，5，6的排列数为， 要使的值大于400，则的取值组合为， 其中与的情况数一样，下面只分析其中一类： 当时，从中进行选取，满足即可， 则时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为； 当时，从中进行选取，此时任意选取均满足题意， 则满足条件的情况数为； 当时，从中进行选取，满足即可， 则时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为， 时，满足条件的情况数为. 综上所述，满足条件的情况数为， 所以的值大于400的概率为. 故答案为：. 4．【多选题】（25-26高三上·四川成都·开学考试）13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A～E，将这十三张牌随机排成一行，则下列说法正确的是（   ） A．不同排列方式的种数不超过60亿种 B．五张字母牌互不相邻的概率为 C．在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为 D．对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，发生的概率为 【答案】BCD 【分析】对于选项A，利用排列数公式计算13张牌的全排列数，再与60亿比较大小；对于选项B，利用插空法计算五张字母牌互补相邻的排列数，再根据古典概型概率公式计算概率；对于选项C，利用定序问题的排列方法计算标有8的卡牌左侧没有数字牌的排列数，再根据古典概型概率公式计算概率；对于选项D，分析“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”这一事件的含义，进而判断其概率. 【详解】对于选项A，13张大小质地完全相同的卡牌进行全排列，根据排列数公式可得，不同排列方式的种数为亿，所以选项A错误； 对于选项B，先排8张数字牌，有种排法，8张数字牌排好后形成9个空，从这9个空中选5个空排5张字母牌，有种排法.根据分步乘法计数原理，五张字母牌互补相邻的排法共有种. 而13张牌的全排列数为种，所以五张字母牌互不相邻的概率为，所以选项B正确； 对于选项C，先排8张数字牌，由于在标有8的卡牌左侧没有数字牌，所以标有8的数字牌只能在所有数字牌的最左侧，其余标有1-7的数字牌有种排列方式，再将剩余的五张字母牌依次插入，有种排列方式. 根据分步乘法计数原理，在标有8的卡牌左侧没有数字牌的方法共有种. 而13张牌的全排列数为种，在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率为，所以选项C正确； 对于选项D，对于给定的整数，事件 为“在标有的数字牌左侧，没有标号比小的数字牌”，不妨将标有1到这个数字的牌进行全排列，这个数字牌的全排列方式有种，而满足事件的情况，等价于在这个数字牌的排列中，这个数字牌排在最左侧，此时其余个数字牌可以任意排列，其排列方式有种. 根据古典概型概率公式，事件的概率为，所以选项D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高二下·河北沧州·期末）某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球． (1)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率． (2)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利． （ⅰ）求A取了3次小球并获得胜利的概率； （ⅱ）求A获得胜利的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）求出B取得的小球编号为6，7时的概率，和为5，8时的概率可得答案； （2）（ⅰ）求出A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时的概率、小球编号为1，4，8；2，3，8时的概率、小球编号为2，4，7；3，4，6时的概率可得答案；（ⅱ）求出A抽取2次小球获胜的概率、抽取3次小球获胜的概率、抽取4次小球获胜的概率可得答案． 【详解】（1）分析可得B前两次取得的小球编号之和为13时， 取得的小球编号分别为6，7或5，8，只需要分析前4次抽取的情况， 一共有种取法， 当B取得的小球编号为6，7时，概率为， 当B取得的小球编号为5，8时，概率为， 所以B前两次取得的小球编号之和为13的概率为； （2）（ⅰ）A取了3次小球并获得胜利，说明A取了3次小球编号之和为13， B取了2次小球编号之和不为13，A，B取球的总情况一共有种取法， 其中3次小球编号之和为13的组合有1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7； 2，5，6；3，4，6共6种情况． 当A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时，共有种； 当A抽取的小球编号为1，4，8；2，3，8时，要排除B抽取6，7， 此时共有种； 当A抽取的小球编号为2，4，7；3，4，6时，要排除B抽取5，8， 此时共有种； 所以A取了3次小球并获得胜利的取法为种， 可得所求概率为． （ⅱ）A可以抽取2次小球获胜，概率为， A可以抽取3次小球获胜，概率为， A可以抽取4次小球获胜，A可取小球编号为1，2，3，7；1，2，4，6；1，3，4，5． 当A抽取4次小球时，获胜的概率为， 所以可得A获得胜利的概率为． 6．（2025·广东深圳·二模）将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 ． 【答案】 【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第二步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第三步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第四步，从号或号卡片抽取一张，有种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种； （2）第一步，抽号卡片， 第二步，从、、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第三步，从、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第四步，从、号卡片抽取一张，有种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种. 而从张卡片随意抽取，不同的抽法种数为， 因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·重庆·期中）在如图所示的九宫格中填入数字和字母，已知三个字母都填到九宫格中且不能在同一行同一列，其他每格只能从数字中选择一个填入，有公共边的两个格数字不相同，则不同的填法种数为 . 【答案】 【分析】先安排的位置，分在对角线和不在对角线两种情况，再考虑其他位置，应用分类加法计数原理及分步乘法计数原理计算求解. 【详解】考虑的位置：先排有种，再排有种，有种，共种． 分两种情况： 在对角线； 不在对角线． 对于： A ① B ② C 此时的位置有种，考虑①和②这两个位置， 其中①有种，即中选1个放入，与①相邻的两个位置各有个数字放入， 故有种放入的方法， 同理②和与②相邻的位置也有种放入的方法， 所以共有种． 对于： ① A B ② C 此时有种放入方法， 位置①有种放入方法，位置②有种，另外个位置各种， 故共有种． 所以不同的填法种数为种． 故答案为：5184. 8．（2025·江西南昌·二模）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种. 【答案】 【分析】对小球进行编号，然后对前三个球的取法进行分类讨论，进而对后续小球的摸球顺序进行讨论，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】将这个小球编号如下图所示： 分以下两种情况讨论： 第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球， 最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种； 第二种，将、、视为三个整体， 前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种， 以、、为例，可依次为、、，共种， 剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况， 比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况， 最后剩余两球摸取的先后顺序任意， 此时，不同的取法种数为. 综上所述，不同的取法种数为种. 故答案为：. 1 / 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