6.3 平面向量的基本定理及坐标表示讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识点2 平面向量的坐标表示】 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 一．平面向量的基底（共10小题） 1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得， 因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立， 也即 不共线，则能作为基底； 对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得， 即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立， 也即，不共线，则能作为基底； 对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误； 对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得， 即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底． 故选：C． 2．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解答】解：A，令λ（2），∵、不共线，∴λ＝1且λ＝0，∴λ不存在，∴与2不共线，∴能作为基底， B，令2λ（3），∵、不共线，∴λ且λ＝﹣2，∴λ不存在，∴2与3不共线，∴能作为基底， C，∵﹣242（2），∴2与﹣24共线，不能作为基底， D，令3λ（4），∵、不共线，∴λ＝﹣3且λ，∴λ不存在，∴3与4不共线，能作为基底． 故选：C． 3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解答】解：对于A，零向量与任一向量都共线，所以零向量不可以作为向量的基底，故A错误； 对于B，因为﹣1×7﹣2×5≠0，所以，（5，7）不共线，可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故B正确； 对于C，因为3×10﹣5×6＝0，所以，（6，10）共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故C错误； 对于D，因为，所以，共线，不可以表示它们所在平面内所有向量的基底，故D错误． 故选：B． 4．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为不是表示平面内所有向量的一个基底，所以， 又， 所以，解得． 故选：B． 5．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　） A．{2，2} B．{2，} C．{32，64} D．{2，3} 【答案】D 【解答】解：对于A，因为2（2），所以两向量共线，不能作为基底； 对于B，因为22（），所以两向量共线，不能作为基底； 对于C，642（32），所以两向量共线，不能作为基底； 对于D，不存在λ∈R，使得2λ（3），所以两向量不共线，能作为基底． 故选：D． （多选）6．下列各组向量中，不可以作为基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解答】解：对于A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底； 对于B：因为﹣1×7≠2×5，故B中两个向量不共线，可以作为基底； 对于C：因为3，所以C中两个向量共线，故C中向量不可作基底； 对于D：因为4，所以D中两个向量共线，故D中向量不可作基底． 故选：ACD． （多选）7．在下列各组向量中，不能作为基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【解答】解：不共线的两个向量可以作为一组基底，判断各选项是否共线即可， 对于A，由于﹣1×（﹣1）≠0，故不共线，可以作为一组基底； 对于B，由知共线，不可以作为基底； 对于C，由于2×4≠﹣1×5，故不共线，可以作为基底； 对于D，由于，即， 故，因此，当时，此时共线，不可以作为基底． 故选：BD． （多选）8．以下各组向量中，可以作为平面向量的一组基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【解答】解：对于A选项，，，故A选项不可以作为平面向量的一组基底； 对于B选项，，不共线，故B选项可以作为平面向量的一组基底； 对于C选项，，不共线，故C选项可以作为平面向量的一组基底； 对于D选项，2cos70°cos20°﹣cos50°＝2sin20°cos20°﹣sin40°＝0，，故D选项不可以作为平面向量的一组基底． 故选：BC． （多选）9．下列说法中正确的为（　　） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为30° 【答案】BD 【解答】解：对于A：已知，，由于与的夹角为锐角， 故，且λ≠0，故实数λ的取值范围是，故A错误； 对于B：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故B正确； 对于C：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故C错误； 对于D：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为30°，故D正确． 故选：BD． 10．已知向量，，m∈R． （1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围； （2）若，且，求向量与的夹角大小． 【答案】（1）{m|m≠﹣2且m≠1}． （2）． 【解答】解：（1）若向量，能构成一组基底， 则向量，不共线， 则m（m+1）﹣2≠0，解得m≠﹣2且m≠1， 故实数m的范围为{m|m≠﹣2且m≠1}； （2）因为，所以， 即m+3﹣2﹣3（m+1）＝0，解得m＝﹣1， 所以，， 则， 又因为，所以， 即向量与的夹角为． 二．用平面向量的基底表示平面向量（共10小题） 11．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由已知得 （） ． 故选：A． 12．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）， 因为D在边BC上（不包含端点），不妨设，其中0＜λ＜1， 即， 所以，， 又因为，则x＝2﹣2λ，y＝4λ，其中x、y均为正数， 且有2x+y＝4， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是2． 故选：A． 13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，D是BC的中点， 所以， 根据，可得， 所以． 故选：D． 14．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足，点F为CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在平行四边形ABCD中， 因为，所以， 所以， 因为点F为CD的中点， 所以， 所以． 故选：B． 15．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且，那么为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，可得，即，整理得． 故选：A． 16．已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图， 则，其中，， 因为在平行四边形ABCD中，有， 所以． 故选：D． 17．在△ABC中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知，， 则， 而B，P，N三点共线，则，解得． 故选：C． 18．在△ABC中，AD为BC边上的中线，M是AD的中点，2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，M是AD的中点，2， 则 ． 故选：B． 19．在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且λμ，则λ+μ的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：在△ABC中，，，线段CD交BE于点G， 所以B，G，E三点共线，设，m＞0， 即， 即，， 又，所以， C，G，D三点共线，设，n＞0， 即， 即，， 又，所以， 所以，解得， 故， 故． 故答案为：． 20．如图，在△ABC中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段AP上一点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设． （1）以为基底表示． （2）若，求的值． （3）若点O为线段AP的中点，求λ+μ的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）， 【解答】解：（1）由P为线段BC上靠近点B的三等分点， 可得（）， 所以（）； （2）因为E，O，F三点共线，则存在t∈R， 使得， 又O是线段AP上一点，则存在m∈R， 使得， 由（1）已得， 故有，解得， 即； （3）因为，且E，O，F三点共线， 则存在t∈R，使得， 又因点O为线段AP的中点，则有， 与， 可得，整理可得λ+2μ＝6λμ， 即， 所以λ+μ＝（λ+μ）•（）（3）（3+2）， 当且仅当时，即当时， λ+μ取得最小值为， 三．平面向量的正交分解及坐标表示（共7小题） 21．已知（2，3），则点N位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 【答案】D 【解答】解：（2，3），M点不确定， 则点N的位置不确定， 故选：D． 22．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7） 【答案】B 【解答】解：∵A（1，2）、B（3，5）， ∴（2，3） 将向量向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到， 知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了， 于是（2，3） 故选：B． 23．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2） 【答案】B 【解答】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4）， ∴（﹣2，1）﹣（﹣1，3）＝（﹣1，﹣2），（3，4）﹣（﹣1，3）＝（4，1）． ∴（﹣1，﹣2）+（4，1）＝（3，﹣1）． 故选：B． 24．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为　6　 牛顿． 【答案】6 【解答】解：质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态， ∴， ∴（）， ∵|| ＝6， 故||＝||＝6． 即F3的大小为6牛顿． 故答案为：6． 25．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且λ1λ2，则λ1+λ2＝　　 ． 【答案】 【解答】解：设内切圆半径为r， 由题意得：r＝OE＝OF＝AE＝AF， ∴ ， ∴，． ∴λ1+λ2． 故答案为：． 26．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示． （1）求F3的大小； （2）求F2与F3的夹角． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意||＝||， ∵|F1|＝1，|F2|＝2，且与的夹角为π， ∴||＝||； （2）∵（）， ∴•••， ∴•2•cos，1•2•（）﹣4， ∴cos，， ∴，． 27．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设（x，y）﹣（2，3）＝（x﹣2，y﹣3） （x，y）﹣（2，3）＝（x﹣2，y﹣3）＝（3+5λ，1+7λ） ∵ ∴（x﹣2，y﹣3）＝（3+5λ，1+7λ） ∴∴ ∵P在第三象限内 ∴ ∴ ∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限． 四．平面向量加减法的坐标运算（共11小题） 28．已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为，所以， 因为，，所以， 即，即， 解得， 所以， 又因为，所以． 故选：D． 29．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【解答】解：因为A（﹣2，3），C（1，﹣1），所以，， 则． 故选：C． 30．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　） A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5） 【答案】A 【解答】解：因为向量（﹣2，1），（1，1）， 所以323（﹣2，1）﹣2（1，1）＝（﹣8，1）． 故选：A． 31．已知，则（　　） A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 所以（2，﹣4）． 故选：A． 32．已知，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：，，， 则（）． 故选：B． 33．已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若，D（﹣2，﹣3），则点E的坐标为（　　） A．（4，5） B．（1，1） C．（﹣5，﹣7） D．（﹣8，﹣11） 【答案】A 【解答】解：因为D，E分别为AB，AC的中点， 所以． 设E（x，y），又因为D（﹣2，﹣3）， 所以（x+2，y+3）＝（6，8）， 所以解得 即点E的坐标为（4，5）． 故选：A． 34．已知向量，则的值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为（3，1），所以||． 故答案为：． 35．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 　（﹣2，15）　 ． 【答案】（﹣2，15）． 【解答】解：设O（0，0），则，即， 解得323（2，3）﹣2（4，﹣3）＝（﹣2，15），则P的坐标为（﹣2，15）． 故答案为：（﹣2，15）． 36．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数λ的值； （2）若，，求； （3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）A（10，7）． 【解答】解：（1）（λ+1）， 当A，E，C三点共线时，存在实数μ，使得μ， 即（λ+1）μ（﹣2）＝﹣2μμ， 即，解得． （2）由（1）知， 所以， 所以． （3）（6，0），（﹣7，﹣2）， 所以（6，0）+（﹣7，﹣2）＝（﹣1，﹣2）， 设A（a，b），则C（a﹣1，b﹣2）， 所以（a﹣4，b﹣7）， 在平行四边形ABCD中，，即，解得， 所以A（10，7）． 37．已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求向量的模． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为向量， 所以， ； （2）因为向量， 所以， 所以． 38．已知向量． （1）求； （2）设的夹角为θ，求cosθ的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】（1）（﹣8，5）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）因为， 所以； （2）的夹角为θ， 则； （3）向量与互相垂直， 则， 又，， 则5﹣10k2＝0， 解得k＝±． 五．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共12小题） 39．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A． B．﹣11 C．11 D． 【答案】C 【解答】解：因为向量，， 所以， 因为A、C、D三点共线，则， ， 所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11． 故选：C． 40．如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系， ∵， ∴， 设， ∴， ∴，解得λ＝2，μ＝1， ∴． 故选：A． 41．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由点P在线段AB上，且知， 设P点坐标为（x，y），则（x+1，y﹣2）＝3（﹣x，3﹣y）， 即，解得x，y． 故选：B． 42．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点， 以BC中点为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 由，得， 而E为AD的中点，则， ∴． 故选：B． 43．已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且，则点P的横坐标与纵坐标之和为（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：设P（x，y），A（3，﹣2），B（2，﹣1）， 则，， 又， 则，解得， 则x+y＝1． 故选：B． 44．已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11） 【答案】C 【解答】解：设P（x，y），则，， ∴由得：（x+2，y﹣1）＝（3，﹣3）， ∴，解得， ∴P（1，﹣2）． 故选：C． 45．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为点A（﹣1，4），B（3，7），设C（x，y）， 可得，， 又，所以， 即，解得． 故选：B． 46．已知，，则（　　） A．（21，2） B．（﹣21，2） C．（2，21） D．（﹣2，21） 【答案】B 【解答】解：． 故选：B． 47．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣1），若点D满足，则点D的坐标为（　　） A．（5，﹣2） B．（6，﹣2） C．（4，﹣3） D．（5，﹣3） 【答案】D 【解答】解：设D（x．y），点A（﹣1，1），B（2，﹣1）， 则，， ∵； ∴，解得，即 D（5．﹣3）． 故选：D． 48．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若，，则（　　） A．（3，5） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（2，4） 【答案】A 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，， 可得（﹣1，﹣1）， 故（3，5）． 故选：A． 49．已知，则的坐标为 　（7，﹣3）．　 ． 【答案】（7，﹣3）． 【解答】解：由题意，（2，1）﹣（﹣5，4）＝（7，﹣3）． 故答案为：（7，﹣3）． 50．设向量，，满足（2，1），||＝2，（1，0）． （1）若向量，同向，求向量的坐标； （2）若t∈[0，1]，求|t|的取值范围． 【答案】（1）（4，2）；（2）[，]． 【解答】解：（1）若向量，同向，则可设λ（λ＞0）， 所以λ（2，1）＝（2λ，λ）， 因为||＝2，所以2，解得λ＝±2（舍负）， 所以（4，2）． （2）tt（2，1）﹣（1，0）＝（2t﹣1，t）， 所以|t|， 因为t∈[0，1]， 所以当t时，|t|取得最小值； 当t＝1时，|t|取得最大值， 故|t|的取值范围为[，]． 六．平面向量数量积的坐标运算（共10小题） 51．已知向量，，若，则（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【解答】解：由题可得：， 故，解得k＝3， 则，故． 故选：B． 52．已知，，若，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：，， 则（x﹣4，﹣5）， 若， 则x（x﹣4）﹣5＝0，解得x＝5或x＝﹣1， 当x＝5时，（3，﹣2），， 当x＝5时，（﹣3，﹣2），． 故选：C． 53．设x∈R，向量且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为，又，所以3﹣x＝0，解得x＝3， 所以， 所以， 所以． 故选：B． 54．已知，，则的值为（　　） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解：由题意，可得， 又，所以． 故选：B． 55．已知平面向量（λ，2），（1，λ+1），若⊥，则λ＝（　　） A．1 B．﹣2 C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，平面向量（λ，2），（1，λ+1）， 所以λ+2（λ+1）＝0，即． 故选：C． 56．已知平面向量，，满足，，，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：因为，，不妨设． 所以，解得a＝1，所以． 又因为，所以， 所以， 所以当b＝1时，取得最小值3． 故选：D． 57．已知向量，且，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：向量， 则，可得m＝3． 故选：A． 58．已知向量，向量在向量上的投影向量为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：， 则，在上的投影向量为， 所以， 解得． 故选：C． 59．已知（2，﹣1），，则等于（　　） A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵， ∴． 故选：B． 60．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（　　） A． B． C． D．﹣1 【答案】C 【解答】解：因为⊥，所以1×cosθ+（﹣2）×sinθ＝0， 解得tanθ， 则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 【知识点1 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识点2 平面向量的坐标表示】 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 5．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 一．平面向量的基底（共10小题） 1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　） A． B． C． D． 2．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（　　） A．和 B．与 C．与 D．与 3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则tanθ＝（　　） A． B． C． D． 5．若{，}是平面内的一组基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　） A．{2，2} B．{2，} C．{32，64} D．{2，3} （多选）6．下列各组向量中，不可以作为基底的是（　　） A． B． C． D． （多选）7．在下列各组向量中，不能作为基底的是（　　） A． B． C． D． （多选）8．以下各组向量中，可以作为平面向量的一组基底的是（　　） A．， B．， C．， D．， （多选）9．下列说法中正确的为（　　） A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．非零向量，，满足且与同向，则 D．非零向量和，满足，则与的夹角为30° 10．已知向量，，m∈R． （1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围； （2）若，且，求向量与的夹角大小． 二．用平面向量的基底表示平面向量（共10小题） 11．在△ABC中，D为BC边上一点，且BC＝3BD，设，，则（　　） A． B． C． D． 12．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且，，D在边BC上（不包含端点）．若，则的最小值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若，，则用，表示为（　　） A． B． C． D． 14．如图，在平行四边形ABCD中，点E满足，点F为CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 15．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且，那么为（　　） A． B． C． D． 16．已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则（　　） A． B． C． D． 17．在△ABC中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（　　） A． B． C． D． 18．在△ABC中，AD为BC边上的中线，M是AD的中点，2，则（　　） A． B． C． D． 19．在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且λμ，则λ+μ的值为 　 　 ． 20．如图，在△ABC中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，O是线段AP上一点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设． （1）以为基底表示． （2）若，求的值． （3）若点O为线段AP的中点，求λ+μ的最小值． 三．平面向量的正交分解及坐标表示（共7小题） 21．已知（2，3），则点N位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 22．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7） 23．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2） 24．一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为　 　 牛顿． 25．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，O点是内心，且λ1λ2，则λ1+λ2＝　 　 ． 26．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示． （1）求F3的大小； （2）求F2与F3的夹角． 27．已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？ 四．平面向量加减法的坐标运算（共11小题） 28．已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 29．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　） A． B． C．5 D． 30．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　） A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5） 31．已知，则（　　） A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C． D． 32．已知，，，，则（　　） A． B． C． D． 33．已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若，D（﹣2，﹣3），则点E的坐标为（　　） A．（4，5） B．（1，1） C．（﹣5，﹣7） D．（﹣8，﹣11） 34．已知向量，则的值为 　 　 ． 35．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 　 　 ． 36．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数λ的值； （2）若，，求； （3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 37．已知向量． （1）求向量的坐标； （2）求向量的模． 38．已知向量． （1）求； （2）设的夹角为θ，求cosθ的值； （3）若向量与互相垂直，求k的值． 五．平面向量数乘和线性运算的坐标运算（共12小题） 39．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A． B．﹣11 C．11 D． 40．如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 41．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 42．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 43．已知点A（3，﹣2），B（2，﹣1），且，则点P的横坐标与纵坐标之和为（　　） A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1 44．已知A（﹣2，1），B（4，﹣5），点P满足，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，3） B．（﹣8，7） C．（1，﹣2） D．（10，﹣11） 45．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 46．已知，，则（　　） A．（21，2） B．（﹣21，2） C．（2，21） D．（﹣2，21） 47．已知点A（﹣1，1），B（2，﹣1），若点D满足，则点D的坐标为（　　） A．（5，﹣2） B．（6，﹣2） C．（4，﹣3） D．（5，﹣3） 48．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若，，则（　　） A．（3，5） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣3，﹣5） D．（2，4） 49．已知，则的坐标为 　 　 ． 50．设向量，，满足（2，1），||＝2，（1，0）． （1）若向量，同向，求向量的坐标； （2）若t∈[0，1]，求|t|的取值范围． 六．平面向量数量积的坐标运算（共10小题） 51．已知向量，，若，则（　　） A．3 B．5 C． D． 52．已知，，若，则（　　） A．3 B． C． D． 53．设x∈R，向量且，则（　　） A． B． C． D． 54．已知，，则的值为（　　） A．3 B．5 C．4 D．6 55．已知平面向量（λ，2），（1，λ+1），若⊥，则λ＝（　　） A．1 B．﹣2 C． D． 56．已知平面向量，，满足，，，则的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．3 57．已知向量，且，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 58．已知向量，向量在向量上的投影向量为，则（　　） A． B． C． D． 59．已知（2，﹣1），，则等于（　　） A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3 60．已知向量，若，则sin2θ﹣sinθcosθ﹣2cos2θ＝（　　） A． B． C． D．﹣1 学科网（北京）股份有限公司 $