6.1 平面向量的概念讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的概念这一核心知识点，系统梳理向量的定义、表示法及模、零向量、单位向量等相关概念，进而延伸至相等向量与共线向量的判定及几何应用，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料通过“注”强化向量自由性、与数量区别等关键细节，培养学生抽象能力与几何直观（数学眼光），辨析题设计引导学生逻辑推理（数学思维），坐标表示等内容提升数学语言表达能力。课中助力概念深度理解，课后分题型练习便于学生查漏补缺，强化知识应用。

6.1 平面向量的概念 【知识点1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【知识点2 相等向量与共线向量】 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 一．平面向量的概念与几何表示（共7小题） 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．以下选项中，都是向量的是（　　） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 3．若向量分别表示两个力，则（　　） A． B．2 C． D． 4．下列说法正确的是（　　） ①有向线段三要素是始点、方向、长度 ②向量两要素是大小和方向 ③同向且等长的有向线段表示同一向量 ④在平行四边形ABCD中，． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 5．请写出与向量反向的单位向量：　 　 ．（用坐标表示） 6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足，记，则向量　 　 （用来表示）；若，且，则　 　 ． 7．给出下列命题： ①若，同向，则有； ②与表示的意义相同； ③若，不共线，则有； ④恒成立； ⑤对任意两个向量，，总有； ⑥若三向量，，满足，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是 　 　 （填序号） 二．平面向量的模（共13小题） 8．已知向量，，，则t＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 9．在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 11．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（　　） A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7] 12．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13．在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（　　） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 14．若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（　　） A．9 B． C．6 D． 15．已知向量和，下列说法正确的是（　　） A．若和反向，则 B．若和同向且||＞||，则 C．||≤||+|| D．|•|＝|||| 16．已知向量，．若，则（　　） A．4 B． C．5 D． 17．已知向量与的夹角为π，且，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（　　） A．（﹣7，10） B．（7，10） C．（5，﹣6） D．（﹣5，6） 18．已知向量，则的单位向量的坐标为 　 　 ． 19．已知向量，；；③向量在向量上的投影向量是；是向量的单位向量，则以上命题正确的有 　 　 个． 20．已知向量与的夹角为，且． （1）； （2）求向量与向量的夹角． 三．平面向量中的零向量与单位向量（共12小题） 21．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　） A． B． C． D． 22．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　） A．与同向 B． C．且 D． 23．下列命题正确的是（　　） A．平面内所有的单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．若满足，且同向，则 24．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　） A． B． C． D． 25．以下说法正确的是（　　） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．零向量没有方向 C．共线向量又叫平行向量 D．若向量和都是单位向量，则 26．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 27．已知（5，4），（3，2），则与23平行的单位向量为（　　） A．（，） B．（，）或（，） C．（，）或（，） D．（，） 28．下列命题中，正确命题的个数是（　　） ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量共线的单位向量是． A．0 B．1 C．2 D．3 （多选）29．下列结论错误的是（　　） A．单位向量都相等 B．，能作为平面向量的一组基底 C．在边长为1的等边△ABC中， D．两个非零向量，若，则与共线且反向 30．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　 　 ． 31．下列说法中，正确的序号是　 　 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形ABCD是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 32．已知点A（2，2），B（﹣1，﹣2），则与向量同方向的单位向量为 　 　 ． 四．平面向量的相等向量（共9小题） 33．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 34．设为两个非零向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）36．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使 C．若不相等，则一定不共线 D．若，则 （多选）37．下列结论中错误的为（　　） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 （多选）38．下列说法正确的是（　　） A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B．单位向量是相等向量 C．零向量与任意向量平行 D．向量的模可以比较大小 （多选）39．下列命题中正确的是（　　） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 40．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，三个顶点A（4，2），B（2，4），C（1，2）．则顶点D的坐标 　 　 ． 41．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 　 　 个． 五．平面向量的平行向量（共19小题） 42．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 43．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　） A．12 B．6 C． D． 44．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　） A． B． C． D． 45．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 46．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5 48．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 49．已知，，且，则x等于（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 50．已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 51．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2 52．下列说法正确的是（　　） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 53．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　） A． B． C． D．3 54．已知非零向量与共线，下列说法正确的是（　　） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 55．已知向量，不共线，且（2λ）∥（32），则实数λ＝（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 56．给出下列命题，正确的有（　　） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．已知λ，μ为实数，若，则与共线 C．的充要条件是且 D．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形 57．已知不共线，且，，那么A，B，C三点共线的充要条件为（　　） A．λ+μ＝2 B．λ﹣μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1 58．设非零向量满足||＝||，||＝||，则四边形ABCD形状（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 59．已知向量（1，m），（﹣1，1），（3，0），若∥（），则m等于（　　） A．4 B． C．﹣4 D．﹣2 60．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）． （1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标； （2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 平面向量的概念 【知识点1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 【知识点2 相等向量与共线向量】 1．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 一．平面向量的概念与几何表示（共7小题） 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：速度、力、加速度和位移都是向量，其它是标量，即向量共4个． 故选：A． 2．以下选项中，都是向量的是（　　） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量； 浮力和速度既有大小又有方向，是向量． 故选：D． 3．若向量分别表示两个力，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以． 故选：C． 4．下列说法正确的是（　　） ①有向线段三要素是始点、方向、长度 ②向量两要素是大小和方向 ③同向且等长的有向线段表示同一向量 ④在平行四边形ABCD中，． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：①始点、方向、长度可以确定一条有向线段； 即有向线段三要素是始点、方向、长度，∴该说法正确； ②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，∴该说法正确； ③根据向量的定义知同向且等长的有向线段表示同一向量，∴该说法正确； ④∵，且与方向相同，∴； ∴该说法正确． 故选：D． 5．请写出与向量反向的单位向量：　　 ．（用坐标表示） 【答案】． 【解答】解：根据题意，设所求向量为， 由题可知：﹣3y＝4x且，解得：或， 又与反向，所以所求向量坐标为． 故答案为：． 6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且满足，记，则向量　　 （用来表示）；若，且，则　　 ． 【答案】，． 【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，， ∴， ∵，∴， ∵，且， ∴3＝4+12×3cos∠BAD，∴cos∠BAD， ∵， ∴•9+1﹣3×27， ∴||． 故答案为：，． 7．给出下列命题： ①若，同向，则有； ②与表示的意义相同； ③若，不共线，则有； ④恒成立； ⑤对任意两个向量，，总有； ⑥若三向量，，满足，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是 　①⑤　 （填序号） 【答案】①⑤． 【解答】解：由向量加法的三角不等式对于任意向量都有（其中当，中有一个为或，同向时不等式取等）， 可以判断①⑤正确，③④错误，②中是向量，表示模，是数量，意义不同，故错误， ⑥中当时，三向量围不成一个三角形，故错误， 故答案为：①⑤． 二．平面向量的模（共13小题） 8．已知向量，，，则t＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：由题可得：， 因为3， 所以，即（2+t）2＝0， 解得t＝﹣2． 故选：A． 9．在四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是正方形“的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：因为在四边形ABCD中，，所以AB∥CD且AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形， 由向量加减运算的几何意义知，若，等价于对角线BD与AC相等，等价于平行四边形ABCD为矩形， 由矩形与正方形的关系知，“”是“四边形ABCD是正方形“的必要不充分条件． 故选：B． 10．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 所以， 化简得，所以AB⊥AC， 又因为， 所以，解得， 所以， 则，， 所以△ABC的面积为． 故选：A． 11．已知向量，满足||＝2，||＝5，则||的取值范围是（　　） A．[2，5] B．[2，7] C．[3，5] D．[3，7] 【答案】D 【解答】解：根据三角不等式，， 整理得，即||的取值范围是[3，7]． 故选：D． 12．已知，均为非零向量，其夹角为θ，则“sinθ＝0”是“||＝||﹣||”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：若sinθ＝0，结合夹角的取值范围是[0，π]，可得θ＝0或π， 当θ＝0时，则，同向共线，则，可知充分性不成立， 若非零向量满足，则、反向共线， 此时θ＝π，必有sinθ＝0，可知必要性成立． 综上所述，“sinθ＝0”是“”的必要不充分条件． 故选：C． 13．在四边形ABCD中，已知，∠ABD＝60°，则四边形ABCD一定是（　　） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【解答】解：因为，∠ABD＝60°， 所以△ABD是等边三角形， 因为，即，所以四边形ABCD是平行四边形． 则，所以四边形ABCD是菱形． 故选：D． 14．若△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（　　） A．9 B． C．6 D． 【答案】C 【解答】解：△ABC的三个内角均小于120°，点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点． 根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且， 设，，， 以AB所在的直线为x轴，以过C与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意设A（x，y），B（3，0），，， 则，，， 所以， ， 因为△BCD为等边三角形，由题意，等边△BCD的费马点为△BCD的中心， 此时|AB|+|AC|+|AD|取最小值， 所以． 故选：C． 15．已知向量和，下列说法正确的是（　　） A．若和反向，则 B．若和同向且||＞||，则 C．||≤||+|| D．|•|＝|||| 【答案】C 【解答】解：若和反向，所以，故A错误； 向量不能比较大小，故B错误； 因为， 所以，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 16．已知向量，．若，则（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【解答】解：因为向量，， 因为， 所以，解得x＝4， 即（4，2）， 所以（6，3）， 所以||3． 故选：D． 17．已知向量与的夹角为π，且，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（　　） A．（﹣7，10） B．（7，10） C．（5，﹣6） D．（﹣5，6） 【答案】A 【解答】解：由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为A（﹣1，2）， 设B（x，y），则， 所以，解得，即B（﹣7，10）． 故选：A． 18．已知向量，则的单位向量的坐标为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵向量， ∴的单位向量的坐标为． 故答案为：． 19．已知向量，；；③向量在向量上的投影向量是；是向量的单位向量，则以上命题正确的有 　2　 个． 【答案】2． 【解答】解：，所以，所以，故①正确； ，所以，故②错误； ，，，故③错误； ，所以是的单位向量，故④正确； 所以正确的个数为2个． 故答案为：2． 20．已知向量与的夹角为，且． （1）； （2）求向量与向量的夹角． 【答案】（1）1；（2）． 【解答】解：（1）由向量与的夹角为，且．，得； 所以， 即； （2）记向量与向量的夹角为θ， 结合（1）可得， 又θ∈[0，π]，因此可得． 即向量与向量的夹角为． 三．平面向量中的零向量与单位向量（共12小题） 21．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是， 则． 故答案为：A． 22．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　） A．与同向 B． C．且 D． 【答案】A 【解答】解：分别表示与同向的单位向量， 若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同， 故使其成立的充要条件是与同向． 故选：A． 23．下列命题正确的是（　　） A．平面内所有的单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．若满足，且同向，则 【答案】B 【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误； B．零向量和任何非零向量共线，B正确； C．平行向量一定是共线向量，C错误； D．向量不能比较大小，D错误． 故选：B． 24．已知点A（2，3），B（﹣1，7），则与向量方向相反的单位向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题可得：，且， 故所求向量为：． 故选：B． 25．以下说法正确的是（　　） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．零向量没有方向 C．共线向量又叫平行向量 D．若向量和都是单位向量，则 【答案】C 【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误； 零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误； 共线向量又叫平行向量，故C正确； 若向量和都是单位向量，则，故D错误． 故选：C． 26．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题； 综上，①③④为假命题，共有3个． 故选：B． 27．已知（5，4），（3，2），则与23平行的单位向量为（　　） A．（，） B．（，）或（，） C．（，）或（，） D．（，） 【答案】B 【解答】解：∵（5，4），（3，2）， ∴23（1，2）， ∴， 则与23平行的单位向量为（23）， 化简得，． 故选：B． 28．下列命题中，正确命题的个数是（　　） ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量共线的单位向量是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：向量既有大小也有方向， ∴单位向量的方向不相同或相反便不共线，∴命题①错误； 长度相等而方向不同的向量不相等，∴命题②错误； 共线的单位向量方向不相同的也不相等，∴命题③错误； 与非零向量共线的单位向量是：，∴命题④正确． 故选：B． （多选）29．下列结论错误的是（　　） A．单位向量都相等 B．，能作为平面向量的一组基底 C．在边长为1的等边△ABC中， D．两个非零向量，若，则与共线且反向 【答案】AC 【解答】解：单位向量的方向不同时不相等，A错误； 若与共线，则（4，8）＝λ（﹣1，2），则，无解，所以与不共线，可以作为一组基底，B正确； ，，所以，C错误； 都是非零向量，满足，则的方向相反，D正确． 故选：AC． 30．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　或　 ． 【答案】或． 【解答】解：设与垂直的单位向量的坐标为， 则，解得或， 故答案为：或． 31．下列说法中，正确的序号是　①③　 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形ABCD是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③． 【解答】解：对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：四边形ABCD是平行四边形，所以与的方向相同，且长度相等，所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④错误． 故答案为：①③． 32．已知点A（2，2），B（﹣1，﹣2），则与向量同方向的单位向量为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，， 则与向量同方向的单位向量为． 故答案为：． 四．平面向量的相等向量（共9小题） 33．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图所示， 为相反向量，则，故A正确； 在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以，故B正确； 如图所示，为相等向量，则，故C正确； 如图所示，则，故D错误． 故选：D． 34．设为两个非零向量，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为，所以同向共线，所以， 因为，所以同向共线，此时不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 35．已知四边形ABCD，则“四边形ABCD是平行四边形”是“的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由于“四边形ABCD是平行四边形”，所以AB＝DC且AB∥DC，即，反之也成立， 故“四边形ABCD是平行四边形”是“充要条件． 故选：A． （多选）36．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使 C．若不相等，则一定不共线 D．若，则 【答案】BD 【解答】解：A：当，可满足，但不一定得到，故A错误； B：根据平面向量基本定理知道B正确； C：当时，与不相等，但与共线，故C错误； D：由，两边同时平方得，解得，即，故D正确． 故选：BD． （多选）37．下列结论中错误的为（　　） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】ACD 【解答】解：对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故A错误； 对于B：由相反向量的定义，向量与向量的长度相等，故B正确； 对于C：当向量时，不满足，故C错误； 对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误． 故选：ACD． （多选）38．下列说法正确的是（　　） A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B．单位向量是相等向量 C．零向量与任意向量平行 D．向量的模可以比较大小 【答案】ACD 【解答】解：对于A，根据向量的定义知A正确； 对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误； 对于C，零向量与任意向量平行，C正确； 对于D，向量的模长是实数，故向量的模可以比较大小，D正确． 故选：ACD． （多选）39．下列命题中正确的是（　　） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【解答】解：根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确． 故选：AD． 40．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，三个顶点A（4，2），B（2，4），C（1，2）．则顶点D的坐标 　（2，1）　 ． 【答案】（2，1）． 【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝2DC，AB∥CD，A（4，2），B（2，4），C（1，2）． ∴．设点D的坐标为（x，y）． 则，． ∴（﹣2，2）＝2（1﹣x，2﹣y），即（﹣2，2）＝（2﹣2x，4﹣2y）， ∴解得故点D的坐标为（2，1）． 故答案为：（2，1）． 41．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 　3　 个． 【答案】3． 【解答】解：根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个． 故答案为：3． 五．平面向量的平行向量（共19小题） 42．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线， ∴存在实数k，使，即， 又向量不共线，∴， 由λ＞0，μ＞0，∴， 当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号． 故选：B． 43．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【解答】解：由向量，同向，，是两个不共线的向量， 得，且x＞0，y＞0，则xy＝3， 因此x+2y，当且仅当，时取等号， 所以x+2y的最小值为． 故选：C． 44．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：向量，且， 则， 故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1， 又0＜θ＜π，则必有． 故选：C． 45．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（　　） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【解答】解：因为，且ABCD为四边形， 则AB∥CD，且， 所以四边形ABCD是梯形． 故选：B． 46．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：平面向量与不共线，所以k与s2均不为零向量， 根据向量共线定理，“k与s2共线”⇔存在λ（λ≠0）， 使得kλ（s2）⇔⇔2λ＝kλs⇔ks＝2， 则“k与s2共线”是“sk＝2”的充要条件． 故选：C． 47．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：与是两个不共线的向量，，，， 则（3﹣k）（2+k）， 由A，B，D三点共线， 可得存在实数λ，使得λ， 即，解得k＝﹣12． 故选：B． 48．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为向量，，a＞0，b＞0， 由∥，得a﹣1+b＝0，即a+b＝1，a＞0，b＞0， 则由基本不等式，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：C． 49．已知，，且，则x等于（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：因为，，， 所以（﹣2）•（﹣2）﹣4x＝0，解得x＝1． 故选：C． 50．已知A，B，C，D是平面内不同的四点，设甲：∥；乙：四边形ABCD为平行四边形，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解答】解：当∥时，可能A，B，D，C四点共线，此时A，B，C，D不构成四边形，故充分性不成立； 当四边形ABCD为平行四边形时，则AB∥DC，所以，故必要性成立， 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件． 故选：B． 51．是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解答】解：是平面内不共线两向量，已知，，， 可得， 由A，B，D三点共线，得∥，又，不共线， 则，所以k＝3． 故选：A． 52．下列说法正确的是（　　） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】A 【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确， 对于两个有共同起点，且长度相等的向量， 它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误， 当时，与可能不共线，故C错误 若两个单位向量平行， 当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误． 故选：A． 53．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：， 由，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以． 故选：A． 54．已知非零向量与共线，下列说法正确的是（　　） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 【答案】D 【解答】解：当A，B，C，D四点在一条直线上时，与共线， 否则与可能不共线，故A，B错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，故C错误； 因为，由单位向量定义可知是一个单位向量，故D正确． 故选：D． 55．已知向量，不共线，且（2λ）∥（32），则实数λ＝（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，，解得λ． 故选：D． 56．给出下列命题，正确的有（　　） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．已知λ，μ为实数，若，则与共线 C．的充要条件是且 D．若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形 【答案】D 【解答】解：对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误； 对B，若λ＝μ＝0时，此时与可以不共线，故B错误； 对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误； 对D，若A，B，C，D是不共线的四点，且，则AB//DC，AB＝DC， 则四边形ABCD为平行四边形，故D正确． 故选：D． 57．已知不共线，且，，那么A，B，C三点共线的充要条件为（　　） A．λ+μ＝2 B．λ﹣μ＝2 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1 【答案】D 【解答】解：由A，B，C三点共线，可得与共线， 设，则有， 由不共线， 可得，解得λμ＝﹣1． 故选：D． 58．设非零向量满足||＝||，||＝||，则四边形ABCD形状（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】C 【解答】解：由， 可得，即， 从而得AB＝DC且AB∥DC， 故四边形ABCD为平行四边形， 又||＝||， 平方可得， 即，又||＝||， 故四边形ABCD为正方形． 故选：C． 59．已知向量（1，m），（﹣1，1），（3，0），若∥（），则m等于（　　） A．4 B． C．﹣4 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：由题可得：． 因为，且∥（），可知，（﹣1）×m﹣1×4＝0．解得m＝﹣4． 故选：C． 60．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）． （1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标； （2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标． 【答案】（1）D（4，3）； （2）． 【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）， ∴（1，2）， ∵四边形ABCD为平行四边形，∴， 设D（x，y），则（x﹣3，y﹣1）， ∴，解得，∴D（4，3）； （2）由A，C，D三点共线，且， 可设， 又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴， 又•4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $