精品解析：北京市第二中学2025-2026学年高一上学期第三学段考试数学试题

北京二中2025—2026学年度第三学段高一年级学段考试试卷 数学必修第一册 命题人：周长春 审核人：李泽潼 得分：________ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P（点P位于第三象限），且，点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q，若经过的圆弧PQ的长为，则点Q的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，z为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器3.5km处的光功率衰减为起始光功率的一半.当光功率衰减为起始光功率的20%时，接收信号处与发射器间的距离约为（参考数据：）（ ） A. 6km B. 7km C. 8km D. 9km 9. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 11. 在直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有( ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 12. 已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 13. 若角的终边经过点，则的值为________，的值为________． 14. 函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为________． 15. 已知函数，则函数的最大值为________，最小值为________． 16. 已知函数（）的最小正周期为，则________，使得函数的图象有对称轴落在区间上的一个值为________． 17. 若，且，，则______. 18. 关于定义域为的函数，给出下列五个结论： ①存在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在上单调递减的函数使得恒成立； ③存在最小正周期为的函数使得恒成立； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ⑤使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题（共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 19. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 20. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给出证明； （3）令，则函数是否存在小于0的零点？请说明理由． 21. 已知函数． （1）求函数的最大值以及取得最大值时相应的x的集合； （2）求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上存在最小值，求实数t的取值范围． 22. 已知函数是偶函数． （1）求实数a的值； （2）当时，函数存在零点，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围． 23. 如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令 a11 a12 … a1n a21 a22 a2n … … … … an1 an2 … ann （Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0； （Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中2025—2026学年度第三学段高一年级学段考试试卷 数学必修第一册 命题人：周长春 审核人：李泽潼 得分：________ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，再利用交集的定义求解即可． 【详解】因为，， 所以． 故选：A． 2. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦的和角公式即得. 【详解】. 故选；D． 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 4. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 5. “”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件． 考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值． 点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断．此题为基础题型． 6. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P（点P位于第三象限），且，点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q，若经过的圆弧PQ的长为，则点Q的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角关系式求出的值，由点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q，经过的圆弧PQ的长为，得到，利用诱导公式求出，利用任意角的三角函数的定义求出值，即为所求. 【详解】设角是以为始边，终边为， 点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q，经过的圆弧的长为， ， ，，， ，， 点P位于第三象限，， ， ， 设的横坐标为， 则，故. 故选：B. 7. 若，且不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 8. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，z为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器3.5km处的光功率衰减为起始光功率的一半.当光功率衰减为起始光功率的20%时，接收信号处与发射器间的距离约为（参考数据：）（ ） A. 6km B. 7km C. 8km D. 9km 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，据此可得，再根据光功率衰减为起始光功率的20%建立关于z的方程，即可求得z的近似值. 【详解】因距离发射器处3.5km的光功率衰减为初始光功率的一半， 则，所以，所以. 设，则，所以， 即，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以接收信号处与发射器间的距离约为8km. 故选：C. 9. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以 . 故选：B. 10. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先从伸缩变换排除AB选项，再从左右平移排除C选项，D选项满足题意. 【详解】，将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到,不符合要求； D选项：将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到， 再向左平行移动个单位长度，得到，满足要求，故D选项正确. 故选：D 11. 在直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有( ) A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】C 【解析】 【分析】函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是与图象交点个数，利用数形结合可得结果. 【详解】 因为关于原点对称的函数解析式为, 所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数， 就是与为图象交点个数， 同一坐标系内，画出与图象，如图， 由图象可知，两个图象的交点个数有5个， 的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、转化与划归思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 12. 已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数是上的减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的根的个数数形结合，从而可得出答案. 【详解】因为函数是上的减函数， 则，解得， 函数恰好有两个零点，即方程恰好有两个根， 如图，在上方程恰好有一解， 所以在上，方程有且仅有一解， 当即时，由， 即，，则， 解得或1（舍去）， 当时，经检验符合题意； 当即时，由图象知符合题意. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为函数图象得交点，数形结合解决. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 13. 若角的终边经过点，则的值为________，的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由角终边经过点，可求出的值，代入所求式子计算即可，或者将进行齐次化求值． 【详解】因为角的终边经过点，所以． 由， 代入，得， ． 故答案为：；． 14. 函数（，，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数图象及性质，确定相关参数，即可求解. 【详解】 由图可得： 则由，，解得， 再由图形可得：函数的一条对称轴为，且该函数值为， 即， 因为，所以， 即函数的解析式为， 故答案为： 15. 已知函数，则函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式、平方关系，将函数化为关于的二次函数，结合的范围及二次函数的性质求最值. 【详解】，， 当时取最大值6；当时取最小值. 故答案为：； 16. 已知函数（）的最小正周期为，则________，使得函数的图象有对称轴落在区间上的一个值为________． 【答案】 ①. 1 ②. （答案不唯一，符合或均可） 【解析】 【分析】利用余弦函数的周期公式列式求出，利用余弦函数的对称性求出对称轴方程，进而求出的取值范围即可. 【详解】由函数（）的最小正周期为，得，因此； 函数，则， 由，得函数的图象的对称轴为， 依题意，，得， 而，因此或，所以值可以为. 故答案为：1； 17. 若，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出的范围，，的值，而，由两角差的余弦公式代入即可得出答案. 【详解】因为，所以， ，所以，所以， 所以，， 所以， 因为，，则， ，，所以 所以 ， 所以. 故答案为：. 18. 关于定义域为的函数，给出下列五个结论： ①存在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在上单调递减的函数使得恒成立； ③存在最小正周期为的函数使得恒成立； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ⑤使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】利用存在量词命题为假的判定方法，结合函数单调性、奇偶性推理判断①④；举例说明判断命题②③⑤. 【详解】对于①，假定存在上单调递增的函数使得恒成立， 当时，，得，当时，， 由在上单调递增，得，则， 即，整理得，解得，与矛盾，①错误； 对于②，取函数，由幂函数性质知，函数在上单调递减， 且，函数符合要求，②正确； 对于③，取函数，函数的最小正周期为， 且，函数符合要求，③正确； 对于④，假设恒成立，则， 而，因此对，成立， 而当时，，即不存在函数使得恒成立，④错误； 对于⑤，取函数，则 恒成立，由， 可得函数有无穷多个，函数符合要求，⑤正确， 所以正确结论的序号是②③⑤. 故答案为：②③⑤ 三、解答题（共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 19. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角可求得，进而可求得. （2）由面积公式可求，由余弦定理可求，即可求得的周长. 【小问1详解】 因为，得， 因为，，所以， 所以，所以，所以； 【小问2详解】 由，解得． 由余弦定理可得，， 所以，所以的周长为． 20. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给出证明； （3）令，则函数是否存在小于0的零点？请说明理由． 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析. （3）不存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式求出定义域. （2）利用奇函数的定义来判断并证明. （3）利用指数函数、对数函数的性质判断时，即可. 【小问1详解】 由对数函数的真数必须大于0，得， 即，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 函数是奇函数， 定义域关于原点对称，， ， 因此，故是奇函数. 【小问3详解】 函数的定义域与的定义域相同，为， 当时，由，得，则， 当时，，，且，则， 于是，即， 因此当时，， 所以不存在小于0的零点. 21. 已知函数． （1）求函数的最大值以及取得最大值时相应的x的集合； （2）求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上存在最小值，求实数t的取值范围． 【答案】（1）函数取到最大值，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，化为正弦型函数，问题即可求解； （2）利用正弦函数的单调性来求解即可； （3）利用正弦函数的性质来判断即可. 【小问1详解】 由， 可得：当时，函数取到最大值，此时：； 【小问2详解】 因为正弦函数的单调递减区间是 所以由，解得， 即函数的单调递减区间是； 【小问3详解】 因为函数， 当时，， 而正弦函数在上是单调递增，在上是单调递减， 由于， 所以要使得函数在区间上取到最小值，则， 即实数t的取值范围是. 22. 已知函数是偶函数． （1）求实数a的值； （2）当时，函数存在零点，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或或. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质列方程，从而求得的值. （2）问题化为在上有解，利用对数复合函数的性质求右侧的值域，即可得. （3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意知的定义域为R， ， 整理得， 而， ∴恒成立，则； 【小问2详解】 由题设在上有解， 所以在上有解， 由，故， 所以，即； 【小问3详解】 由， 函数在区间上单调递增， 当时，，则在上单调递增，故函数在上单调递增， 由函数为偶函数，知函数的减区间为，增区间为， 令，有， 方程①， 可化为，整理为②， ， 当时，有或， 时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为； 时，方程②的解为，可得方程①有两个解； 当时，有或， 令，由上可知有一正一负两个零点， 只需，则或. 综上，或或. 23. 如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri (A)为A的第i行各数之积，cj (A)为A的第j列各数之积．令 a11 a12 … a1n a21 a22 a2n … … … … an1 an2 … ann （Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0； （Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合． 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）不存在，理由见解析；（Ⅲ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）可取第一行都为-1，其余的都取1，即满足题意； （Ⅱ）用反证法证明：假设存在，得出矛盾，从而证明结论； （Ⅲ）通过分析正确得出l(A)的表达式，以及从A0如何得到A1，A2……，以此类推可得到Ak． 【详解】（Ⅰ）答案不唯一，如图所示数表符合要求. （Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，证明如下: 假如存在，使得. 因为，， 所以，，...，，，，...，这18个数中有9个1，9个-1. 令. 一方面，由于这18个数中有9个1，9个-1，从而①， 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）； 也表示m，从而②， ①，②相矛盾，从而不存在，使得. （Ⅲ）记这个实数之积为p. 一方面，从“行”的角度看，有； 另一方面，从“列”的角度看，有； 从而有③， 注意到，， 下面考虑，，...，，，，...，中-1的个数， 由③知，上述2n个实数中，-1的个数一定为偶数，该偶数记为，则1的个数为2n-2k， 所以， 对数表，显然. 将数表中的由1变为-1，得到数表，显然， 将数表中的由1变为-1，得到数表，显然， 依此类推，将数表中的由1变为-1，得到数表， 即数表满足：，其余， 所以，， 所以， 由k的任意性知，l（A）的取值集合为. 【点睛】本题为数列的创新应用题，考查数学分析与思考能力及推理求解能力，解题关键是读懂题意，根据引入的概念与性质进行推理求解，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $