寒假作业2一元二次函数、方程和不等式-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

作业02 一元二次函数、方程和不等式 要点回顾 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 2.基本事实 依据 a>b⇔a-b>0； a=b⇔a-b=0； a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 2.作差法比较两个实数大小的基本步骤 知识点2 等式性质与不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 8 糖水不等式 (b-m>0). 知识点3 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 3.含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 4.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点5 恒成立与能成立问题 1.一元二次不等式在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 2.在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 3.解决简单的能成立问题 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 4.解不等式应用题的步骤 题型巩固练 一、题型一 等式性质与不等式性质 1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 2．已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，且得出，根据不等式性质得出. 【详解】由题可知， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，可化为， 因为，所以， 又因为，所以 所以C正确； 对于D，设，则，故D错误. 故选：C. 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出不等式的等价条件及特殊值法，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当时，可得且，则“”是“”的必要条件； 当且“”，则 “”， 所以“”是“”的不充分条件． 故选：B. 4．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 二、题型二不等式的求解 5．下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 【答案】ABD 【分析】分别解出各个选项所对应的不等式，逐一对比选项即可. 【详解】对于A，由得，则，解集是，故A正确； 对于B，由得，解得，解集是，故B正确； 对于C，由得，则，解得， 即不等式的解集为，故C错误； 对于D，由得，即， 则，即， 解得，故不等式的解集是，故D正确， 故选：ABD. 6．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 7．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解集得到一元二次方程的解，由韦达定理得到的关系式，且，从而判断A正确，解不等式得到BD正确，由得到C错误. 【详解】由题意得：的解为和，且， 所以，解得：， 故A正确， ，即，解得：，故B正确； ，故C错误； 变形为，不等式除以得：， 解得：，故D正确. 故选：ABD 三、题型三不等式恒（能）成立问题 8．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，两种情况得出，即可得出答案. 【详解】当时，得恒成立， 所以对任意的恒成立； 当时，要使不等式对任意的恒成立， 则，解得. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 9．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 10．已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【详解】由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 11．已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合存在性的性质进行求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． 故答案为： 12．已知命题，都有，命题，使得． (1)若p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q均为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立求出的范围. （2）分离参数，借助二次函数最小值求出的范围，再利用两个命题均为真命题求得答案. 【详解】（1）由命题，都有，得当时，恒成立，因此符合题意； 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由命题，使得，得，成立， 而当时，，当且仅当取等号，因此； 由（1）知，则p，q均为真命题时，， 所以实数a的取值范围是. 四、题型四 不等式的应用 13．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 14．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 15．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为 元． 【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 16．完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 能力提升练 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义分析即可. 【详解】若，则由可得，充分性不成立； 若，则，所以可得，必要性成立，所以B正确. 故选：B 2．不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可得解. 【详解】将原不等式化为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 3．已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】对于甲：，或， 对于乙：，或， 甲不一定推出乙，故甲不是乙的充分条件，乙一定推出甲，故甲是乙的必要条件， 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4．已知命题．为真命题，则m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】命题，为真命题，所以不等式的解集为R．分类讨论，结合二次函数知识计算即可. 【详解】因为命题，为真命题， 所以不等式的解集为R． 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得，解得， 故m的取值范围为． 故选：D． 二、多选题 5．下列命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由作差法可判断A，C，D，取特值可判断B. 【详解】对于A，若，则， 而，得到，故A正确； 对于B，取，满足，则，故B错误； 对于C，， 因为，，所以， 所以，故C正确； 对于D，若，则， 得到，则，故D正确. 故选：ACD. 6．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质就可以得到答案. 【详解】对于A：两个不等式相加得,所以A正确; 对于B：因为，所以,因为，所以,所以B正确; 对于C：两个不等式相乘得,所以C正确; 对于D：因为，所以,因为，所以,所以D错误. 故选：ABC 7．已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】由一元二次不等式的解集，结合韦达定理用表示，再逐项求解判断即可. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得且方程的两个根为，即，解得， 对于A，，A正确； 对于B，不等式，即，解得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，不等式，即，整理得，解得，D错误. 故选：ABC 8．下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于A：令，则即可求得的范围；对于B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；对于C：令，则即可求得的范围；对于D，求出集合中只有一个元素时参数的值，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：在上恒成立，令， 则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是，， 则关于的不等式等价于，即，即，解得或， 所以关于的不等式的解集是，故B正确； 对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为，故C错误； 对于D：若集合中只有一个元素， 当时，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得或， 所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立； 所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】因为，所以，又因为，由不等式的可加性得：，所以， 故的取值范围是：. 故答案为： 10．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米. 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为：. 11．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用主元思想将转化为关于的函数. 【详解】令. 是关于的增函数. 要使对成立，只需保证最大值. , 解得. 故答案为： . 四、解答题 12．（1）已知集合，．求，； （2）已知，，求与的范围． 【答案】（1），； （2），. 【分析】（1）根据集合的交集、并集和补集的概念及运算，分别进行计算即可； （2）由已知条件，结合不等式性质，即可分别求得代数式的取值范围. 【详解】（1）由集合，，所以或， 则得，； （2）根据题意，，， 所以，，可得， 因，，可得． 13．设函数，其中. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系来确定系数； （2）先将不等式化简，再因式分解，对参数的取值进行分类讨论求解集即可． 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 则和是方程的两个根， 得解得， 所以； （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，解集为； ④当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为 ． 14．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位：万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大值为万元. 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）根据题目中的不等关系列出不等式，结合一元二次不等式的解法、分式的性质进行求解即可； （3）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由题意可知， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以， 所以的取值范围为； （3）， 当时， ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 即，， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大值为万元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业02 一元二次函数、方程和不等式 要点回顾 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 2.基本事实 依据 a>b⇔a-b>0； a=b⇔a-b=0； a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 2.作差法比较两个实数大小的基本步骤 知识点2 等式性质与不等式的性质 1.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 8 糖水不等式 (b-m>0). 知识点3 一元二次不等式 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 3.含参的一元二次不等式的解法 在解含参数的不等式时常从以下三个方面进行考虑 (1)不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a=0. (2)不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ=0)，无根(Δ<0). (3)不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1=x2，x1<x2. 4.分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点5 恒成立与能成立问题 1.一元二次不等式在R上的恒成立问题 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 2.在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 3.解决简单的能成立问题 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题. (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围. 4.解不等式应用题的步骤 题型巩固练 一、题型一 等式性质与不等式性质 1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 2．已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 二、题型二 不等式的求解 5．下列不等式的解集正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解集是 6．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 7．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 三、题型三 不等式恒（能）成立问题 8．不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 10．已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为 . 11．已知二次函数，设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值集合为 ． 12．已知命题，都有，命题，使得． (1)若p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q均为真命题，求实数a的取值范围． 四、题型四 不等式的应用 13．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 15．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为 元． 16．完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 能力提升练 一、单选题 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 3．已知，设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题．为真命题，则m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．下列命题中，正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 6．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 8．下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 三、填空题 9．已知，，则的取值范围是 ． 10．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米. 11．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 12．（1）已知集合，．求，； （2）已知，，求与的范围． 13．设函数，其中. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，求不等式的解集． 14．某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位：万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $