寒假作业1集合与常用逻辑用语-2025-2026学年高一数学人教A版必修第一册

作业01 集合与常用逻辑用语 要点回顾 知识点1 集合的相关概念 1.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素,就说a属于集合A，记作：a∈A，读法：a属于A； （2）不属于：如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A，记作：a∉A或aA，读法：a不属于A 3.集合元素的基本属性 (1)确定性，(2)互异性，(3)无序性 知识点2 集合间的基本关系 1.子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集。记作：A⊆B或B⊇A 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集。记作：AB或BA 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A； (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A,B,C,若AB且BC,则AC； (2)若A≠∅,则∅A 知识点3 集合的基本运算 1.交集并集补集 项目 交集 并集 补集 定 义 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩B⊆A,A∩B⊆B. (1)A∪B=B∪A. (2)A⊆A∪B,B⊆A∪B. (1)A⊆S,∁SA⊆S(2)∁S(∁SA)=A； 2.德摩根公式 知识点4 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 “若p,则q；且若q,则p”为真命题 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 p是q的充分且必要条件， p是q的充要条件, 也称q的充要条件是p. 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 知识点5 全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词理与存在量词 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有、任意、每一个 存在、有的、有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 一般形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 2.含量词命题的真假判断 (1)要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素,使命题为真即可；否则命题为假. (2)要判定一个全称量词命题为真,必须对给定集合中的每一个元素,命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为假. 知识点6 命题的否定 1.命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M,p(x) ∃x∈M,¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 总结：改变量词,否定结论 2.求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax). 题型巩固练 一、题型一 集合概念 1．下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 2．下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 3．由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先写出集合，再得出元素个数即可. 【详解】因为集合，所以集合A中的元素有4个. 故选：A. 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式得到，得到答案. 【详解】， 故，其中. 故选：C 5．用列举法表示集合： . 【答案】 【分析】直接列出小于6的正整数即可. 【详解】小于6的正整数有. 故答案为： 二、题型二 集合间的基本关系 6．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 7．已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 8．下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义和性质，结合元素特性逐一分析各选项中集合是否为同一集合． 【详解】选项A：，解得，集合， ，解得，集合， ，即集合表示同一个集合，故A正确； 选项B：集合中的元素是有序数对，顺序不同表示元素不同， 集合表示不同集合，故B错误； 选项C：集合中元素完全相同，集合表示同一个集合，故C正确； 选项D：表示奇数集，也表示奇数集， 集合表示同一个集合，故D正确． 故选：ACD． 9．集合的非空真子集个数为 ． 【答案】14 【分析】解不等式并应用列举法确定集合中元素的个数，进而求非空真子集个数. 【详解】由，得， 由得，其元素个数为4， 故非空真子集个数为. 故答案为：14 10．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据A是B的真子集，即可解出； （2）根据B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 三、题型三 集合的基本运算 11．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，，则. 故选：B. 12．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式求出集合，然后利用集合并集运算即可得. 【详解】因为集合， 所以. 故选：C 13．已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解集合中的不等式,将集合A表示成,再通过补集运算求出集合的补集,最后通过交集运算得到最终解. 【详解】由题知,解得,所以集合, 又,则,所以. 故选:B 14．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集和交集的运算求解. 【详解】，，， ，，，故选项A正确. 故选：A. 15．已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据并集的定义即可求出； （2）根据补集的定义和交集的定义即可求出； （3）根据补集的定义和并集的定义即可求出. 【详解】（1）集合，， 根据并集的定义，得. （2）根据补集的定义可得或， 根据交集的定义，得. （3）根据补集的定义可得或， 根据并集的定义，得或. 16．已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 四、题型四 充分条件与必要条件 17．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义，直接法判断即可得解． 【详解】取显然成立，但由不一定得到， 例如，但仍满足， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 18．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，满足，但不满足，充分性不成立， 若，则成立，但，所以不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 19．王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可. 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 故选：BC. 20．已知集合. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）“”是“”的必要不充分条件，得到集合是的真子集，求得实数的取值范围即可； （2）求出集合，由，得，再讨论、得到实数的取值范围即可． 【详解】（1），即， 等价于，解得， 则， 又“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 则，解得 综上所述，实数的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得 综上所述，实数的取值范围为． 21．已知集合，或，. (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件转化为集合间关系，构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以，解得. 即实数的取值范围为. 五、题型五 全称量词与存在量词 22．下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 【答案】B 【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可. 【详解】对于A，当，显然不成立，故A错误； 对于B，若取，则，满足，故B正确； 对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，由必能得到，而由不一定得到，如， 故是的充分不必要条件，即D错误. 故选：B. 23．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全称量词命题为存在量词命题即可进行判断. 【详解】命题“”为全称量词命题， 其否定为存在量词命题“”． 故选：B． 24．设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 25．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 26．（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 能力提升练 一、单选题 1．以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 故选：C 2．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 3．已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合所描述的性质，分别计算出两个集合的元素取值范围，再利用集合运算性质求出交集即可，要注意集合A是关于的集合，集合B是关于的集合. 【详解】由题知集合A是关于的集合，则根据， 可得，即集合； 又集合B是关于的集合，则根据， 可得，即集合， 则. 故选：A 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 5．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 【答案】A 【分析】先求出集合，根据分、讨论求得，进而判断各选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误； 故选：A 二、多选题 6．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 【答案】AD 【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，D. 【详解】命题“”的否定是“”，A选项正确； “至少有一个，使成立”是特称量词命题，B选项错误； 当时，，，C选项错误； 当时，，所以“”是假命题，命题的否定是真命题，D选项正确； 故选：AD. 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】先化简集合B，结合选项验证即可. 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，由得，于是，故B正确； 对于C，由得，故C错误； 对于D，或，故或，故D错误. 故选：AB. 8．下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 10．若，则 . 【答案】2 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 11．已知全集，，，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据，分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由，，， 当时，，解得； 当时，由或，解得. 综上所述，m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 12．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合，再根据得出再列出关于实数m的不等式组，解出即可； （2）分和两种情况讨论，根据列出关于实数m的不等式组，解出即可. 【详解】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 13．已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)或. 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，或. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由题意，则或，即或， 故的取值范围为或. 14．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 作业01 集合与常用逻辑用语 要点回顾 知识点1 集合的相关概念 1.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素,就说a属于集合A，记作：a∈A，读法：a属于A； （2）不属于：如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A，记作：a∉A或aA，读法：a不属于A 3.集合元素的基本属性 (1)确定性，(2)互异性，(3)无序性 知识点2 集合间的基本关系 1.子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集。记作：A⊆B或B⊇A 如果A⊆B,并且A≠B,那么集合A称为集合B的真子集。记作：AB或BA 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A； (2)对于集合A,B,C,若A⊆B且B⊆C,则A⊆C； (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B； (4)规定∅⊆A (1)对于集合A,B,C,若AB且BC,则AC； (2)若A≠∅,则∅A 知识点3 集合的基本运算 1.交集并集补集 项目 交集 并集 补集 定 义 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 设A⊆S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} A∪B={x|x∈A,或x∈B} ∁SA={x|x∈S,且x∉A} 图形语言 性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩B⊆A,A∩B⊆B. (1)A∪B=B∪A. (2)A⊆A∪B,B⊆A∪B. (1)A⊆S,∁SA⊆S(2)∁S(∁SA)=A； 2.德摩根公式 知识点4 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 “若p,则q；且若q,则p”为真命题 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 p是q的充分且必要条件， p是q的充要条件, 也称q的充要条件是p. 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 知识点5 全称量词命题与存在量词命题 1.全称量词理与存在量词 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有、任意、每一个 存在、有的、有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 一般形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 2.含量词命题的真假判断 (1)要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素,使命题为真即可；否则命题为假. (2)要判定一个全称量词命题为真,必须对给定集合中的每一个元素,命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为假. 知识点6 命题的否定 1.命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x∈M,p(x) ∃x∈M,¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M,p(x) ∀x∈M,¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 总结：改变量词,否定结论 2.求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax). 题型巩固练 一、题型一 集合概念 1．下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 2．下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 3．由单词“”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．4 B．8 C．15 D．16 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．用列举法表示集合： . 二、题型二 集合间的基本关系 6．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 9．集合的非空真子集个数为 ． 10．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 三、题型三 集合的基本运算 11．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 13．已知集合,,则（   ） A． B． C． D． 14．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 15．已知全集，集合，． (1)求； (2)求； (3)求． 16．已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 四、题型四 充分条件与必要条件 17．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 20．已知集合. (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 21．已知集合，或，. (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 五、题型五 全称量词与存在量词 22．下列命题是真命题的是（   ） A．，； B．，； C．是的充分不必要条件； D．是的必要不充分条件． 23．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 24．设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 25．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（多选题）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 能力提升练 一、单选题 1．以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 2．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合,,则（     ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 二、多选题 6．下列命题正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“至少有一个，使成立”是全称量词命题 C．“”是真命题 D．“”的否定是真命题 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 三、填空题 9．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 10．若，则 . 11．已知全集，，，且，则m的取值范围为 ． 四、解答题 12．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 13．已知集合，集合或. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 14．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $