专题09图形的轴对称寒假预习讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题09图形的轴对称寒假预习讲义（2） 1.解锁轴对称图形的“隐藏密码”，精准识别常见图形的对称属性，快速定位对称轴，告别直观判断的模糊感。 2.掌握线段、角、等腰（等边）三角形的轴对称核心性质，能灵活运用性质破解几何计算、证明难题，搭建几何解题思维框架。 3.学会用圆规直尺玩转轴对称作图，亲手画出对称轴、对称点，提升几何直观力，感受图形对称的美学与逻辑之美。 预习必备 知识点梳理 1.等腰三角形 2.线段垂直平分线 3.角平分线 4.轴对称的实际应用 常考题型 精讲精炼 1.等边对等角 2.三线合一 3.垂直平分线性质 4.尺规作线段中垂线 5.角平分线性质定理 6.尺规作角平分线 7.最短路径问题 8.轴对称综合:线段问题 9.轴对称综合:角度问题 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.等腰三角形】 1. 等边对等角 内容：在等腰三角形中，相等的两边（腰）所对的两个角（底角）相等。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 应用：用于角度计算和角相等的证明。 2. 三线合一 内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC， 若AD平分∠BAC，则AD⊥BC且BD=DC； 若AD是BC中线，则AD⊥BC且AD平分∠BAC； 若AD⊥BC，则AD平分∠BAC且BD=DC。 应用：由一个条件可直接推出另外两个结论，简化证明和计算。 【知识点02.线段垂直平分线】 1. 性质 内容：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 几何语言：若直线l是AB的垂直平分线，点P在l上，则PA=PB。 应用：证明线段相等、构建等腰三角形。 2. 判定 内容：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 应用：确定垂直平分线的位置。 3. 尺规作图 (1)分别以A、B为圆心，大于AB的长度为半径作弧，两弧交于M、N两点。 (2)作直线MN，即为线段AB的垂直平分线。 【知识点03.角平分线】 1. 性质定理 内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。 几何语言：若OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 应用：证明线段相等、计算点到直线的距离。 2. 尺规作图 (1)以角的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交角的两边于M、N两点。 (2)分别以M、N为圆心，大于21​MN的长度为半径作弧，两弧交于点P。 (3)作射线OP，即为∠AOB的角平分线。 【知识点04.轴对称的实际应用】 最短路径问题（将军饮马模型） 核心思路：利用轴对称将折线转化为直线，依据 “两点之间，线段最短” 求解。 解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时PA+PB最短。 【题型1.等边对等角】 【典例】如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图（1）， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图（2）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，它的顶角度数为：或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是(        ) A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 本题可分两种情况： ①当角为底角时， 顶角为； ②角为等腰三角形的顶角； 因此这个等腰三角形的顶角为或． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数， 做题时要注意分情况进行讨论， 这是十分重要的， 也是解答问题的关键 ． 【题型2.三线合一】 【典例】如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 【跟踪专练1】如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一的性质求解即可． 【详解】解∶∵，平分， ∴， 又， ∴， ∴， 故选∶C． 【跟踪专练2.】如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 【题型3.垂直平分线性质】 【典例】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】由线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即可求得答案. 【详解】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5 ∴PA=PB， 即PB=5. 故选B. 【跟踪专练1】如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 同理可得：， 的周长为9， ， ， ， ， 故答案为：7． 【跟踪专练2】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 【详解】解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型4.尺规作线段中垂线】 【典例】如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 【详解】∵小学到三个村庄的距离相等， ∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 【答案】19cm/19厘米 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，结合△ABD的周长从而得到结论． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD= AB+BD+CD =13cm， ∵AC=6cm， ∴△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=13+6=19cm， 故答案为：19cm． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 【题型5.角平分线性质定理】 【典例】在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（    ）    A．3 B． C．2 D．6 【答案】A 【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长． 【详解】∵DE⊥AC， ∴∠AED=∠B=90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠EAD， 又∵AD=AD， ∴△ABD≌△AED， ∴DE=BE=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式得到，即可求解． 【详解】解：∵为的平分线，，， ∴， ∵，的面积为，， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 【题型6.尺规作角平分线】 【典例】如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确； ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故C选项错误， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．则 ． 【答案】/23度 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 利用基本作图得到平分，所以，然后利用互余计算出，从而得到的度数． 【详解】解：由作法得平分， ， ，， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知，以为圆心，任意长为半径作弧，与角的两边分别交、两点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧交于点，作射线，连结、、，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是线段的垂直平分线 D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图的知识，线段垂直平分线的判定，能够得到平分是解答本题的关键．利用题目中的尺规作图得到是的平分线，利用角的平分线的性质判断结论即可． 【详解】解：由题目中的尺规作图得：，，平分， 是线段的垂直平分线， 由条件不能得出，故的结论不正确，符合题意． 故选：D． 【题型7.最短路径问题】 【典例】如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点B关于直线L的对称点C，连接AC交直线L于M． 根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，所需管道最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 【跟踪专练1】如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，   ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 【跟踪专练2】如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 【题型8.轴对称综合:线段问题】 【典例】，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 【跟踪专练1】如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是 ．    【答案】12 【分析】根据周长等于，为定值，得到当的值最小时，三角形的周长最小，根据折叠得到点，点关于对称，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，得到周长的最小值等于，进行求解即可． 【详解】解：∵将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点， ∴点，点关于对称，，    ∴，， ∵周长等于，为定值， ∴当的值最小时，三角形的周长最小， ∵， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∴周长的最小值等于； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质．熟练掌握利用轴对称解决线段和最小问题，是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 【题型9.轴对称综合:角度问题】 【典例】已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 1．尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：线段m，n． 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=m，高AD=n． 【答案】见解析 【分析】先画，进而作出的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画弧，交于点A，连接，即可． 【详解】解：画，作出的垂直平分线，交于，以为圆心，为半径画弧，交于点A，连接，． 如图 △ABC就是所求作的等腰三角形． 【点睛】考查已知等腰三角形底边和高画等腰三角形的方法，解题的关键是主要利用了等腰三角形三线合一的性质． 2．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—作角平分线，作图—作垂直平分线，根据货站P到两条公路、的距离相等可得出点在的平分线上，再由到两工厂C、D的距离相等可得出点在的垂直平分线上，由此作图即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，的平分线，它们的交点即为所求， 3．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了等边对等角、角平分线的性质定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等边对等角、角平分线的性质定理是关键． （1）根据等边对等角即可得到答案； （2）利用平行线的性质得到，利用等量代换即可得到结论； （3）过点D作，垂足分别为，利用角平分线的性质定理得到，再根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）过点D作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∴． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)24 【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【详解】（1）如图，直线和 即为所求； ， （2）如图，连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； ， （3）四边形的面积为： ． 5．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据.两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09图形的轴对称寒假预习讲义（2） 1.解锁轴对称图形的“隐藏密码”，精准识别常见图形的对称属性，快速定位对称轴，告别直观判断的模糊感。 2.掌握线段、角、等腰（等边）三角形的轴对称核心性质，能灵活运用性质破解几何计算、证明难题，搭建几何解题思维框架。 3.学会用圆规直尺玩转轴对称作图，亲手画出对称轴、对称点，提升几何直观力，感受图形对称的美学与逻辑之美。 预习必备 知识点梳理 1.等腰三角形 2.线段垂直平分线 3.角平分线 4.轴对称的实际应用 常考题型 精讲精炼 1.等边对等角 2.三线合一 3.垂直平分线性质 4.尺规作线段中垂线 5.角平分线性质定理 6.尺规作角平分线 7.最短路径问题 8.轴对称综合:线段问题 9.轴对称综合:角度问题 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.等腰三角形】 1. 等边对等角 内容：在等腰三角形中，相等的两边（腰）所对的两个角（底角）相等。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 应用：用于角度计算和角相等的证明。 2. 三线合一 内容：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC， 若AD平分∠BAC，则AD⊥BC且BD=DC； 若AD是BC中线，则AD⊥BC且AD平分∠BAC； 若AD⊥BC，则AD平分∠BAC且BD=DC。 应用：由一个条件可直接推出另外两个结论，简化证明和计算。 【知识点02.线段垂直平分线】 1. 性质 内容：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 几何语言：若直线l是AB的垂直平分线，点P在l上，则PA=PB。 应用：证明线段相等、构建等腰三角形。 2. 判定 内容：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 应用：确定垂直平分线的位置。 3. 尺规作图 (1)分别以A、B为圆心，大于AB的长度为半径作弧，两弧交于M、N两点。 (2)作直线MN，即为线段AB的垂直平分线。 【知识点03.角平分线】 1. 性质定理 内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。 几何语言：若OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 应用：证明线段相等、计算点到直线的距离。 2. 尺规作图 (1)以角的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交角的两边于M、N两点。 (2)分别以M、N为圆心，大于21​MN的长度为半径作弧，两弧交于点P。 (3)作射线OP，即为∠AOB的角平分线。 【知识点04.轴对称的实际应用】 最短路径问题（将军饮马模型） 核心思路：利用轴对称将折线转化为直线，依据 “两点之间，线段最短” 求解。 解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时PA+PB最短。 【题型1.等边对等角】 【典例】如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于 ． 【跟踪专练2】等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是(        ) A． B．或 C．或 D． 【题型2.三线合一】 【典例】如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【跟踪专练1】如图，在中，，平分，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【跟踪专练2.】如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ． 【题型3.垂直平分线性质】 【典例】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【跟踪专练1】如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【题型4.尺规作线段中垂线】 【典例】如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【跟踪专练1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 【跟踪专练2】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【题型5.角平分线性质定理】 【典例】在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（    ）    A．3 B． C．2 D．6 【跟踪专练1】如图，在中，为的平分线，于点E，于点F，若的面积为，，则的长为 ． 【跟踪专练2】如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型6.尺规作角平分线】 【典例】如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．则 ． 【跟踪专练2】如图，已知，以为圆心，任意长为半径作弧，与角的两边分别交、两点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧交于点，作射线，连结、、，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是线段的垂直平分线 D． 【题型7.最短路径问题】 【典例】如图，直线L是一条输水主管道，现有A、B两户新住户要接水入户，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．    【跟踪专练2】如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 【题型8.轴对称综合:线段问题】 【典例】，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，，，，，将沿折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，P为折痕上一动点，则周长的最小值是 ．    【跟踪专练2】如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【题型9.轴对称综合:角度问题】 【典例】已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练2】如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 1．尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：线段m，n． 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=m，高AD=n． 2．用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 3．如图，在中，分别是边上的点，，且． (1)填空：_____；（填“”、“”、“”） (2)试说明平分； (3)若，，求． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 5．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $