13-第三章 函数-第13讲 二次函数的图象与性质-（精讲册）【考出好成绩】2026年河北新中考数学单元分层练习课件PPT

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数核心考点，严格对接河北中考说明，系统梳理概念、图象性质、a,b,c符号等6大考点，分析10年考情（如性质10年10考、解析式确定10年9考），归纳顶点式最值、对称轴求解等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“考点精讲+河北真题+解题策略”模式，如通过2020中考真题分析抛物线与直线交点个数，培养推理能力，用“左加右减”口诀突破平移考点，助力学生掌握答题技巧。教师可依此设计专题复习，提升学生应试能力，高效冲刺中考。

河北新中考 数学 研究河北新考情 更懂中考新方向 精讲册 1 2 第一部分 系统复习 成绩基石 第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质 3 理考点·固基础 聚焦河北·精练命题点 4 考点一 二次函数的概念（10年10考） 一般地，如果①_________________，，是常数，，那么叫作 的 二次函数. 返回目录 5 考点二 二次函数的图象与性质（10年10考） 图象 ________________________ ________________________ 开口方向 向上 向下 顶点坐标 ， 对称轴 直线①_ ________ 返回目录 6 增减性 当_ ______时，随 的增大而减 小； 当_ ______时，随 的增大而增大 当时，随 的增大 而④______； 当时，随 的增大 而⑤______ 函数最值 当⑥_ ____时， 有最⑦____值，为 ⑧_ ______ 当_ ____时， 有最 ⑩____值，为⑪_ ______ 增大 减小 小 大 续表 返回目录 7 画法 （1）列表：表示几组对应值，一般找五个点（顶点，对称轴两侧各 两点）； （2）描点：以表中与 的对应值为坐标，描出各点； （3）连线：用平滑的曲线顺次连接这些点即可 画草图步骤：画对称轴 确定顶点 确定与轴的交点 确定与 轴的交点 连线 续表 返回目录 8 求抛物线的对称轴的方法 1.公式法：抛物线<m></m>的对称轴为直线<m></m>. 2.配方法：将抛物线的解析式配方成顶点式<m></m>，对称轴为直线<m></m>. 3.根据对称性求解：若抛物线上两点的纵坐标相等，则说明这两点是关于抛物线的 对称轴对称的，对称轴是这两点连线的垂直平分线，即若抛物线过点<m></m>， <m></m>，则对称轴为直线<m></m>. 返回目录 9 1.关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是( ) D A.有最大值3 B.有最小值3 C.有最大值5 D.有最小值5 2.已知二次函数的， 部分对应值如下表，则该二次函数图象的 对称轴为( ) 0 1 2 3 6 2 2 A A.直线 B.直线 C.直线 D. 轴 返回目录 10 3.若某二次函数图象经过点，，且 ，则该二次函数的解析 式可能是( ) D A. B. C. D. 4.抛物线经过，，三点，则，， 的大 小关系正确的是( ) D A. B. C. D. 返回目录 11 考点三 二次函数的图象与，， 符号 返回目录 12 符号 图象的特征 确定抛物线的开口 方向 开口向①____ 越大，开口越③ ____ 开口向②____ ， 共同确定抛物 线对称轴的位置 对称轴为④___轴 ， 同号 对称轴在 轴的⑤____侧 简称：同左异右 ， 异号 对称轴在 轴的⑥____侧 确定抛物线与 轴 交点的位置 抛物线经过⑦______ 抛物线与 轴交于⑧________ 抛物线与 轴交于⑨________ 上 小 下 左 右 原点 正半轴 负半轴 返回目录 13 特殊关系：对于二次函数 （1）当时，；当时， . （2）若，即当时，；若，即当 时， . 返回目录 14 5.已知，二次函数的图象如图所示，则点 所在的象限是 ( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.如图是二次函数 图象的一部分，且过点 ，二次函数图象的对称轴是直线 ，下列 结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回目录 15 考点四 二次函数解析式的确定（10年9考） 二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种，在确定二次函数的解析式 时，要根据题中不同的已知条件，设出相应的解析式，再利用待定系数法进行求解. 解析式 适用条件 一般式 已知图象上三点或三对， 的值，则可设二次函数的解析式为①______ ____________ 顶点式 已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程或最大（小）值，则可设二 次函数的解析式为②__________________ 交点式 已知二次函数图象与轴的交点坐标为， ，则可设二次函数 的解析式为③_____________________ 返回目录 16 确定二次函数解析式的一般步骤 1.对于二次函数解析式<m></m>，若系数<m></m>，<m></m>，<m></m>中有一个未知，则代入二 次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任意两点坐标. 返回目录 17 2.对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的表达式： ①顶点在原点，可设为 ； ②对称轴是轴（或顶点在轴上），可设为 ； ③顶点在轴上，可设为 ； ④抛物线过原点，可设为 ； ⑤已知顶点时，可设为顶点式 ； ⑥已知抛物线与轴的两交点坐标为，时，或已知对称轴及与 轴的一 个交点，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标 ，可设为交点式 ； ⑦已知二次函数图象上任意三点，可设为 . 3.联立一次方程（组），求得系数或常数项. 4.将所得系数或常数项代入解析式即可. 返回目录 18 7.抛物线的形状、开口方向与相同，顶点在 ，则关系式为 ( ) C A. B. C. D. 8.一个二次函数的顶点在 轴正半轴上，且其对 称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是__________________ __________. （答案不唯一） 返回目录 19 9.已知抛物线经过，两点，且其对称轴为直线 .求此抛物线的 解析式. 解：方法一（交点式） 抛物线的对称轴是直线，抛物线与 轴的一个 交点为，则抛物线与轴的另一个交点为 .设抛物线的解析式为 . 把代入，得，解得 ，故抛物线的解析式为 ， 即 . 返回目录 20 方法二（顶点式） 抛物线的对称轴是直线 ，则设抛物线的解析式为 . 将， 分别代入， 得解得 故抛物线的解析式为，即 . 返回目录 21 考点五 二次函数图象的平移（10年2考） 1.二次函数图象的平移实际上可以看成是对抛物线顶点的平移，然后根据顶点式写 出二次函数的解析式.平移的规律我们可以用八个字概括： “左加右减，上加下减”. 2.二次函数 的图象的平移规律 （1）向左平移个单位长度，所得图象的解析式为 ； （2）向右平移个单位长度，所得图象的解析式为 ； （3）向上平移个单位长度，所得图象的解析式为 ； （4）向下平移个单位长度，所得图象的解析式为 . 返回目录 22 3.二次函数的对称变换 （1）关于轴对称：抛物线关于轴对称后，得到抛物线 _______________；抛物线关于轴对称后，得到抛物线 _______________. （2）关于轴对称：抛物线关于轴对称后，得到抛物线 _____________；抛物线关于轴对称后，得到抛物线 ______________. （3）关于原点对称：抛物线关于原点对称后，得到抛物线 ______________；抛物线关于原点对称后，得到抛物线 _______________. 返回目录 23 1.在一般式或顶点式 中，左右平 移给 加减平移单位长度，上下平移给等号右边整体加减平移单位长度. 2.二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移（研究顶点坐标为主），平 移过程中 不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可. 返回目录 24 10.把抛物线 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到 新的抛物线为( ) D A. B. C. D. 11.在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于 轴对称，且它们的顶点与原点的 连线互相垂直，若其中一条抛物线的表达式为,则 的值为( ) C A.2或 B.或6 C.2或6 D.或 12.将抛物线 向下平移1个单位长度，再向右平移______个单位长度后， 得到的新抛物线经过原点. 2或4 返回目录 25 考点六 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）一元二次方程的解是其对应的二次函数图象与 轴交点的 ①________. （2）判别式决定抛物线与 轴的交点个数. 方程有两个不相等的实数根 抛物线与 轴有 ②_______交点; 方程有两个相等的实数根 抛物线与 轴有③______ 交点; 方程没有实数根 抛物线与 轴④______交点. 横坐标 两个 一个 没有 返回目录 26 2.二次函数与不等式的关系 不等式 函数图象 ________________________________________________________________ _____________________________________________________ 观察方法 函数的图象位于 轴 上方对应的点的横坐标的取值范围 函数 的图象 位于 轴下方对应的点的横坐 标的取值范围 解集 或 返回目录 27 13.如图，抛物线与直线交于， 两点，下列是关于 的不等式或方程，结论正确的是( ) D A.的解集是 B.的解集是 C.的解集是 D.的解是， 返回目录 28 命题点 二次函数的图象与性质（10年10考） 类型一 二次函数的图象与性质（10年6考） 第1题图 1.（2020河北15题2分）如图，现要在抛物线 上找点 ，针对的不同取值，所找点 的个数，三人的说法如下： 甲：若，则点 的个数为0； 乙：若，则点 的个数为1； 丙：若，则点 的个数为1. 下列判断正确的是( ) C A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对 返回目录 29 变式1.1图 如图，对于抛物线 与直线 （为常数），针对 的不同取值，三人的说法如下. 甲：无论为何值，与 轴总有两个交点； 乙：无论为何值，与 不会有交点； 丙：无论为何值，与 总有两个交点. 下列判断正确的是( ) B A.只有甲错 B.只有丙对 C.甲、乙、丙都对 D.甲、乙、丙都错 返回目录 30 2.（2023河北16题2分）已知二次函数和（ 是常数） 的图象与 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两 个函数图象对称轴之间的距离为( ) A A.2 B. C.4 D. 返回目录 31 类型二 二次函数与几何图形的综合（10年2考） 3.（2022河北23题10分）如图，点 在抛物线 上，且在 的对称轴右侧. （1）写出的对称轴和的最大值，并求 的值； 解： 抛物线 ， 抛物线的顶点为，对称轴为直线， 的最 大值为4. 当时， ， 解得或 . 点在对称轴的右侧，， . 返回目录 32 （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及 的一段，分别记为 ，.平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为.求点 移动 的最短路程. 解： 平移后的抛物线的解析式为， 平移后的顶 点 . 平移前抛物线的顶点 ， 点移动的最短路程为 . 返回目录 33 类型三 二次函数与其他函数结合（10年3考） 4.（2025河北24题12分）如图，在平面直角坐 标系中，抛物线y=-x²+bx+c 经过点 A(0,3),B(6,3), 顶点为P. 抛物线y=a(x-3)²+d(a<0) 经过点C（，2）.两条抛物线在第 一 象限内的部分分别记为L₁,L₂ . （1）求b,c 的值及点P 的坐标； 解：∵抛物线y=-x²+bx+c 经过点A(0,3),B(6,3), 顶点为P, ∴ ∴y=-x²+6x+3=-(x-3)²+12, ∴P(3,12). 返回目录 34 （2）点D 在 L₁ 上，到x 轴的距离为.判断L₂ 能否经过点D, 若能，求a 的值； 若不能，请说明理由； 解：不能. ∵点D 在 L₁ (第一象限)上，到x 轴的距离为,yD=. 当y=时，=-x2+6x+3.解得x=， ∴D（，）或（）. ∵抛物线 y=a(x-3)² +d(a<0) 经过点C（，2）， 对称轴为直线x=3, ∴L2经过点C（，2）和 （，2）， ∴L₂ 不能经过点D. 返回目录 35 （3）直线AE:y=kx+n(k>0) 交 L₁ 于点E, 点 M在线段AE 上，且点M的横坐标是点E 横坐 标的一半. ①若点E 与 点P 重合，点M 恰好落在L₂ 上， 求a 的值； . 解：∵A(0,3),P(3,12),当E,P 重合时，则E(3,12). ∵M 是AE的 中 点 ，∴M（）. 点 M（）恰 好 落 在 L₂ 上 ，L2 经 过点C（） ∴ 返回目录 36 ②若点M 为直线AE 与 L₂ 的唯一公共点，请 直接写出k 的值 . 解：直线 AE :y=kx +n(k>0)交 L₁ 于 点E,A(0,3),∴n=3, ∴直线AE的解析式为y=kx+3. ∵y=a(x-3)²+d(a<0) 经过点C(), ∴2=a+d，∴d=2- a； ∴y=a（x-3）2+2-a=ax2-6ax+a+2. 联立 消去y，得ax2-kx-6ax+a-1=0， 返回目录 37 ∴x1+x2= ,则E(,+3). ∵点M 的横坐标是点E横坐标的一半，∴M（）， 即（）. 将E的坐标代入y=-x2+6x+3， +6×+3.② ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点， △=（k+6a）2-4×a×（-1）=0.② 返回目录 38 联立①②，得 或 当k=6+时，唯一公共点不在第一象限，不符合题意， ∴k=6-. 返回目录 39 5.(2019河北26题12分)如图，若b 是正数，直 线 l:y=b 与y 轴交于点A; 直 线a:y=x-b 与 y 轴交于点B; 抛物线L:y=-x²+bx 的顶点 为 C, 且 L 与 x 轴右交点为D. 返回目录 40 （1）若，求的值，并求此时的对称轴与 的交点坐标； 解：当时，， . ，而 ， ， , ， 的对称轴为直线 . 当时， ， 的对称轴与的交点坐标为 . 返回目录 41 （2）当点在下方时，求点与 距离的最大值； 解： ， 的顶点， 点在 下方， 与的距离 ， 点与 距离的最大值为1. 返回目录 42 （3）设，点，，分别在，和上，且是， 的 平均数，求点与点 间的距离； 解：由题意，得，即 ， ， 解得或 . ， . 对于，当时，，即，解得， . ， 右交点 . 点与点间的距离为 . 返回目录 43 （4）在和 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”， 分别直接写出和 时“美点”的个数. 解：时“美点”的个数为4 040个， 时“美点”的个数为1 010个. 返回目录 44 6.（2025青岛中考）将二次函数y=x2-2x-3 的 图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴 翻折 到x 轴上方，得到如图所示的新函数图象，下 列对新函数的描述正确的是 ( ) C A. 图象与y 轴的交点坐标是(0,-3) B. 当x=1 时，函数取得最大值 C. 图象与x 轴两个交点之间的距离为4 D. 当 x>1 时 ，y的值随x 值的增大而增大 返回目录 45 7.（2025浙江中考）为了实时规划路径，卫星导 航系统需要计算运动点与观测点之 间距离的 平方.如图1,点P 是一个固定观测点，运动点 Q 从A 处出发，沿笔直公路AB 向目的地 B 处 运动.设AQ 为 x( 单 位：km)(0≤x≤n),PQ²为y(单位：km²). 如图2 ,y 关 于x 的函数图象 与y 轴 交 于 点 C, 最 低 点 D(m,81), 且 经 过 E(1,225) 和 F(n,225) 两点.下列选项正确的是( ) D A.m=12 B.n=24 C. 点 C 的纵坐标为240 D. 点(15,85)在该函数图象上 返回目录 46 请用“精练册”P27-29 返回目录 47 48 $