07-第二章 方程（组）与不等式（组）-第7讲 一元二次方程及其应用-（精讲册）【考出好成绩】2026年河北新中考数学单元分层练习课件PPT

该初中数学中考复习课件系统覆盖一元二次方程核心考点，对接河北新中考10年考情，分析概念及解法（10年2考）、根的判别式（10年3考）、根与系数关系（10年2考）、实际应用（10年2考）等权重，归纳概念辨析、解法应用、实际问题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“理考点+精练命题点”模式，结合2024河北真题、2025模拟题，通过根的判别式易错点（二次项系数不为0）、平均变化率问题建模，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识），帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升中考冲刺效率。

河北新中考 数学 研究河北新考情 更懂中考新方向 精讲册 1 2 第一部分 系统复习 成绩基石 第二章 方程（组）与不等式（组） 第7讲 一元二次方程及其应用 3 理考点·固基础 聚焦河北·精练命题点 4 考点一 一元二次方程的概念及其解法（10年2考） 1.一元二次方程的相关概念 定义 只含有①____个未知数，并且未知数的最高次数是②___的③______方 程，叫做一元二次方程 一般形式 ④_________________，，是常数且 ，任何一个一元二次方 程都能化成它的一般形式 一 2 整式 返回目录 5 2.一元二次方程的解法 适用类型 注意事项 直接 开平 方法 x²=p(p≥0) x=± (x+n)²=p(p≥0) x=± 返回目录 6 续表 适用类型 注意事项 因式分 解法 (x-a)(x-b)=0 x₁=a,x₂=b x(ax+b)=0 x1=0,x2=- 返回目录 7 适用类型 注意事项 公式法 所有一元二次方程： ax²+bx+c=0(a≠0,b²-4ac≥0) 求根公式， 在使用求根公式时： (1)要先将一元二次方程化为一 般形式； (2)确定a,b,c的值时要带符号 续表 返回目录 8 适用类型 注意事项 配方法 所有一元二次方程， 一般用于：二次项系 数化为1后一次项系数是偶数的方程，形 如x²+2mx - n=0 (m²+n≥0) x=± -m 续表 易错警示：①用公式法代a,b,c 的值时要注意它们的符号； ②对于方程两边含有相同因式(如2x(x-1)=3(x-1))的 一 元二 次方程，切勿直接约去公因式求解导致丢根，正确做法是将方程化 为两个因式之积为0的形式，利用因式分解法求解. 返回目录 9 1.下列方程中属于一元二次方程的是( ) C A. B. C. D. 2.（1）方程 的解是_________________； （2）方程 的解是_________________； （3）解方程 时，要先把方程化为_______________，再选择适当的方 法求解，得方程的两根为___， ____. ， ， 1 返回目录 10 3.解方程： （1）用配方法解 ； 解：移项，得 . 配方，得 . 两边开平方，得 . ， . 返回目录 11 （2）用公式法解 . 解：，， ， ， ， ， . 返回目录 12 考点二 一元二次方程根的判别式及应用（10年3考） 根的判别式 关于的一元二次方程 的根的判别式为 ①__________，注意隐含条件 判别式与方程根 的情况 方程有②____________的实数根 方程有③__________的实数根 方程④______实数根，无解 易错警示：若所给方程的二次项系数含有字母，求字母的取值范围时，应记住一元 二次方程二次项系数不为0这一条件.若未指明方程类型，需分情况（二次项系数为 0和二次项系数不为0）讨论. 两个不相等 两个相等 没有 返回目录 13 4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范 围是( ) A A.且 B. C. D. 5.下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) C A. B. C. D. 返回目录 14 考点三 一元二次方程根与系数的关系 （10年2考） 1.若，是一元二次方程的两个根，那么 ____， __. 易错警示：利用根与系数的关系解题时，其前提是一元二次方程的两根存在，即 . 2.一元二次方程的解与，， 的关系应用技巧： （1）当时，方程必有解为 ； （2）当时，方程必有解为 ； （3）当时，方程必有解为 . 返回目录 15 6.若，是方程 的两个根，则( ) A A. B. C. D. 返回目录 16 考点四 一元二次方程的实际应用（10年2考） 1.解答步骤：列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤完 全一样，共分审、设、列、解、验、答六步. 返回目录 17 2.常见类型 平均变化率 问题 基本关系：增长（下降）率 ； 示例：设为原来的量，为平均增长率，2为增长次数， 为增长后 的量，则①_______________；当为平均下降率，2为下降次数， 为下降后的量时，则②_______________ 利润问题 （1）利润售价-成本；（2）利润率 ； （3）总利润总售价-总成本 单件利润×总销量 每每问题：若单价每涨元，少卖件，则涨价 元，少卖的数量为③ _ __件 返回目录 18 面积问题 （1）如图1，设空白部分的宽为，则 _________________； （2）如图2，设空白部分的宽为，则 _________________； （3）如图3，设阴影部分的宽为，则 ______________； （4）如图4，设阴影部分的宽为，则 ______________ __________________________________________________________________________________________________ 续表 返回目录 19 握手、单循 环赛与送礼 物问题 （1）握手、单循环赛总次数为⑧_ ______为人数 ； （2）送礼物总份数为⑨_________为人数 续表 返回目录 20 7.数学文化 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是 说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？ 如果设门的宽为 尺，根据题意可列方程为( ) A A. B. C. D. 返回目录 21 8.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万 元，可变成本逐年增长. 已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为 . （1）用含 的代数式表示第3年的可变成本为____________万元； （2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百 分率 . 解：由题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：可变成本平均每年增长的百分率为 . 返回目录 22 命题点一 解一元二次方程（10年2考） 1.（2024河北9题2分）淇淇在计算正数的平方时，误算成 与2的积，求得的答案 比正确答案小1，则 ( ) C A.1 B. C. D.1或 返回目录 23 2.（2025沧州模拟）习题课上，老师给了一道方程 ：x²-5x=x-5. 嘉嘉的解法是： 原方程可化为x²-5x+x=-5, … 第 一 步 ∴x²-4x+4=-5+4, 即 (x+2)²=-1, … 第 二步 ∴方程没有实数根. …第三步 琪琪的解法是： 原方程可化为x(x-5)=x-5, … 第 一 步 两边都除以(x-5), 得 x=1. … 第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一 步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程. 返回目录 24 解：(1)嘉嘉从第一步开始错误；琪琪从第二步开始错误. (2)原方程可化为x(x-5)=x-5, ∴x(x-5)-(x-5)=0, 即(x-1)(x-5)=0, ∴x-1=0或 x-5=0, 解 得x₁=1,x₂=5. 返回目录 25 命题点二 一元二次方程根的判别式（10年4考） 3.（河北中考改编），，为常数，且，则关于 的方程 根的情况是( ) B A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 4.（2019河北15题2分）小刚在解关于的方程 时，只抄对 了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的 值 小2.则原方程的根的情况是( ) A A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是 D.有两个相等的实数根 返回目录 26 (2025河北模拟)关于x 的一元二次 方 程x²+(2-b)x-1=0 的根的情况， 下列说法正确的是 ( ) D A. 实数根的个数由b 的值确定 B. 没有实数根 C. 两根互为倒数 D. 若 b=2, 则两根互为相反数 关于的一元二次方程有实数根，则 的取值范围是 ( ) A A.且 B. C.且 D. 返回目录 27 命题点三 根与系数的关系（10年2考） 5.若，是一元二次方程的两个根，则 的值是( ) A A. B. C. D.7 若，是方程的两个根，则 的值是___. 已知,是方程的两个实数根，则 _______. （2025石家庄模拟）已知一元二次方 程 x²-3x-5=0 的两根为x₁,x₂, 则 x₁+x₂-x₁x₂ 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8 3 2 024 C 返回目录 28 命题点四 一元二次方程的实际应用（10年2考） 6.（河北中考改编）某厂按用户的月需求量 （件）完成一种产品的生产， 其中，每件的售价为18万元，每件的成本 （万元）是基础价与浮动价的和， 其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 （件）成反比.经市场调研发现，月需求 量与月份为整数，符合关系式 为常数 ，且得到了表中的数据. 月份 （月） 1 2 成本 （万元/件） 11 12 需求量 （件/月） 120 100 求 ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损. 返回目录 29 解：将，代入 ， 得，解得 ， . 将，代入 也成立， . 由题意，设基础价为万元/件，浮动价为万元/件，其中 ，则 . 由表中数据，得解得 返回目录 30 . 由题意，得，解得 ， 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意. ，即 . ， 方程无实数根， 不存在某个月既无盈利也不亏损. 返回目录 31 7.（2025北京中考）若 关 于x 的 一 元二次方程 ax²+2x+1=0 有两个相等的实数根， 则实数 a 的值为 ( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 易错题 若关于x 的方程ax²+2x+1 =0有一个实数根，则实数a 的值为 . C 0或1 返回目录 32 8.（2025广东中考）广东省统计局的相关数据显 示，近年来高技术制造业呈现 快速增长态势. 某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将 增至9100万元.设该公 司6,7两个月产值的月均增长率为 x,可 列 出的方程为 ( ) A.2500(1+x)²=9100 B.2500(1-x)²=9100 C.2500(1-2x)²=9100 D.2500(1+2x)²=9100 A 返回目录 33 9.（2025南充中考）设x₁,x₂ 是 关 于x 的 方 程(x -1)(x-2)=m² 的两根 . (1)当x₁=-1时，求x₂及 m 的值； 解：(1)把x₁=-1 代入方程(x-1)(x-2)=m², 得 m²=6,∴m=±, ∴(x-1)(x-2)=6, 即 x²-3x-4=0, ∴(x-4)(x+1)=0,x₁=-1,x₂=4, ∴x₂=4,m=±. 返回目录 34 (2)求证：(x₁-1)(x₂-1)≤0. (2)证明：方程(x-1) (x- 2)=m² 可 化 为 x²-3x+2-m²=0. ∵△=9-4(2-m²)=4m²+1>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵ 方 程(x-1)(x-2)=m² 即 x²-3x+2-m²=0的两根为x₁,x₂, ∴x₁+x₂=3,x₁·x₂=2-m² . ∴(x₁-1)(x₂-1)=x₁·x₂-(x₁+x₂)+1=2-m²-3+1=-m² . ∵m²≥0,∴-m²≤0, 即 (x₁-1)(x₂-1)≤0. 返回目录 35 10.综合与实践（2025汕头模拟）九年级课外小 组计划用两块长为100 cm, 宽为 40 cm 的 长方形硬纸板做收纳盒. 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒.把一块长方 形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方 形， 然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒. 如图1 . 返回目录 36 任务二：设计有盖长方形收纳盒.把另一块长 方形硬纸板的四角剪去四个相同的小 长方 形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF 和 HG 两边恰好重合且无重叠部 分.如图2. 【问题解决】 (1)若任务 一 中设计的收纳盒的底面积为 1600 cm²,剪去的小正方形的边长为多少 厘米? 解：(1)设剪去的小正方形的边长为x 厘米. 由题意，得(100-2x)(40-2x)=1600, 解得x₁=10,x₂=60 (不符合题意，舍去). 答：剪去的小正方形的边长为10 cm. 返回目录 37 (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 608 cm² . ①该收纳盒的高是多少厘米? ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具 机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明 理由. 解：①设收纳盒的高为a cm,则收纳盒底面的长 =(50-a)cm,宽为（40-2a）cm， 根据题意，得(50-a)(40-2a)=608, 解得a=12,a₂=58>50 (不符合题意，舍去), ∴收纳盒的高为12 cm. ②∵12<15, ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒. 返回目录 38 请用“精练册”P14-15 返回目录 39 40 $