6.2.3&6.24向量的数乘运算 向量的数量积【十二大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

本讲义聚焦高中数学向量的数乘运算与数量积核心知识点，系统梳理向量数乘的定义、运算律及共线定理，进而延伸至数量积的定义、投影向量、性质与运算律，构建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握向量运算的逻辑脉络。 资料以丰富题型为特色，涵盖向量的线性运算、几何应用、数量积运算及综合问题等十二类题型，通过具体实例培养学生的抽象能力与推理意识，如结合平行四边形、正方形等几何图形强化向量表示与运算，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，提升应用意识。

6.2.3&6.24　向量的数乘运算 向量的数量积 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、平面向量数量积的运算律 1、 a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：B 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算得到，再由向量共线的判定逐个判断即可； 【详解】因为向量，， 所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系， 故选：B． 4．（23-24高一下·上海·月考）若非零向量，且设，则实数 ． 【答案】 【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 题型二：平面向量的混合运算 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3） . 6．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 7．（23-24高一下·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 8．（2024高一·江苏·专题练习）（1）计算： ①； ②； ③． （2）设向量，求． 【答案】（1）①；②；③；（2）． 【分析】（1）按照向量的加法、减法法则和数乘运算律计算可求第①②③题； （2）先将化简，再代入关于的表达式整理即得. 【详解】（1）①； ②； ③． （2）. 题型三：向量的线性运算的几何应用 9．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，   则.故选：C. 10．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 11．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】在正方形中，，即， 则. 故选：A.    12．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可. 【详解】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 题型四：向量的数量积的定义和几何意义 13．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，得出，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形. 故选：C. 14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 15．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为点，分别为，的中点， 则，且在方向上的投影数量为2， 所以. 故选：B. 16．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值. 【详解】， , ， ， ， . 故选：D 题型五：数量积的运算 17．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知向量与的夹角，且，. (1)求，； (2)求与的夹角 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量数量积定义求出，利用向量运算律计算出； （2）利用向量夹角余弦公式求出，求出夹角. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，可知， ， ； （2）易知， ，又 所以与的夹角为. 18．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，. (1)若，求的值； (2)若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量线性运算的几何意义，用、表示出向量，即可求出、的值，代入即可. （2）将也用、表示，结合已知条件和数量积的定义求解即可. 【详解】（1），，，又，，故. （2），， 又，，，， 故的值为. 19．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知向量与的夹角为，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，， 则． （2）因为向量与的夹角为，且，，且, 可得 20．（24-25高一下·山西·月考）如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． (1)用，表示，； (2)若点F是BE的中点，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据向量的线性关系列式求解； （2）应用平行四边形性质特征得出，再结合平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】（1）因为是平行四边形，点E是DC的中点，所以， 所以， 所以，所以； （2）因为是平行四边形，点F是BE的中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，，， 所以， 所以 题型六：数量积和模关系问题 21．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】先根据题意求，再求. 【详解】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 22．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 23．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）设为单位向量，且，则 · 【答案】 【分析】由平方，求得，进而可求解. 【详解】因为为单位向量， 所以， 由平方可得：， 即， 所以， 所以， 故答案为： 24．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量，满足，则 ． 【答案】 【分析】由已知可求得，进而利用可求模. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 题型七：向量夹角的计算 25．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】对进行平方求出的值，再利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为， 则，所以. 故答案为： 26．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的运算律进行求解即可. 【详解】因，，， 由， 而， 所以， 故答案为：. 27．（25-26高二上·上海·月考）已知平面向量满足，且，则 . 【答案】 【分析】结合题意与平面向量数量积的定义得到，再结合求出夹角即可. 【详解】因为，所以， 可得，即， 得到， 解得，而，故. 故答案为： 28．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面向量夹角公式计算即可. 【详解】因为单位向量满足，若向量，所以， 所以，故答案为：. 题型八：垂直关系的向量表示 29．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 30．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可. 【详解】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 31．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知 都是非零向量，且满足 ，则 的值是 . 【答案】2 【分析】根据向量垂直的数量积为 0 可求出 . 【详解】因为 ，所以 . 化简得 . 因为 ， 所以 . 故答案为：2 . 32．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则 . 【答案】2 【分析】根据向量垂直的充要条件和数量积的定义即可求解. 【详解】∵， ∴，即， 则. 又∵，， ∴，解得：． 故答案为：. 题型九：已知模求参数问题 33．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知向量，均为单位向量，且，，则实数 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系的向量表示以及数量积的运算律，将平方后，即可求得答案. 【详解】由题意知，，故，且， 即，故， 故答案为： 34．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ． 【答案】1或 【分析】结合平面向量的相关知识，将两边平方，计算即可. 【详解】将两边平方，得， 得，即，解得或． 故答案为：或. 35．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 36．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 题型十：求向量投影 37．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 38．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式，计算即可求解. 【详解】由题意，，，且在方向上的投影向量为， 所以，所以，所以， 解得. 故选：A 39．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可． 【详解】，两边平方得，解得， 向量在向量上的投影向量为. 故选：D 40．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据可判断四边形的形状，由外接圆可进一步判断其形状及角度，从而根据投影向量的概念求解. 【详解】由知，即， 又三点构成，所以，所以四边形是平行四边形，如图： 又的外接圆圆心为，所以， 所以平行四边形是菱形，且，即与的夹角为， 设菱形的边长为. 则在上的投影向量为. 故选：D. 题型十一：向量中三角形心的问题 41．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为，而表示与的平分线共线的向量， 所以平分．同理，平分，平分，所以是的内心， 故选：B． 42．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【详解】如图，点是的中点，所以，因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 43．（20-21高一下·上海宝山·期中）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为 ． 【答案】 【详解】若，， ∴，即为△的重心， 令，，则，， ∴，由， 故答案为： 44．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 题型十二：向量的数量积综合问题 45．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且，， 所以， 则， 故当时，最小为. 46．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 【答案】(1)18 (2) (3) 【分析】（1）利用可得，展开进行计算即可； （2）利用投影向量的计算公式计算即可； （3）利用即可得解. 【详解】（1），，即， ，，； （2）在方向上的投影向量为； （3）， . 47．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ． （2）当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 48．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3)的取值范围是 【详解】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 【高分演练】 一、单选题 49．（25-26高一·全国·假期作业）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 50．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：B. 51．（2026高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为1，，，，则（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】应用平面向量的加法计算再结合模长定义计算求解. 【详解】正方形的边长为1，，，， 则. 故选：D. 52．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模的平方及数量积的运算求解夹角即可. 【详解】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 53．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据非零向量，相互垂直及模长关系设出向量，，代入，通过向量点积及模长运算得出关于的方程，解方程求出的值． 【详解】因为向量，相互垂直，且，不妨设，， 则， 解得. 故选：B． 54．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断. 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 二、多选题 55．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 56．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【分析】如图，在菱形中，且，记，则，，再数形结合得到各项向量夹角即可． 【详解】如图，在菱形中，且，则三角形为等边三角形， 记，则，，且能保证成立， 易得和及和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为． 故选：AB． 57．（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 58．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C. 【详解】由题意可知，，且，则， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误；因， 则，因，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 59．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 【答案】3 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 60．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：. 61．（24-25高一下·江西上饶·月考）设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 【答案】 【详解】因为点在线段外，， 所以，即， 所以，所以， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以. 故答案为：. 62．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题 63．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，然后再根据模长公式即可求解； （2）根据夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 所以 . （2）. 64．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量数量积的运算律求； （2）由向量的垂直表示及数量积的运算律列方程求参数值. 【详解】（1）由； （2）由题设， 所以，可得. 65．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 又，，，． 又，． （2），． 向量在向量上的投影向量的模为 66．（24-25高一下·北京海淀·期末）已知向量，，，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值； (3)若（），求的最小值及其相应的值. 【答案】(1)3(2)(3)，最小值 【详解】（1）因为，，， 所以. （2）因为与垂直，所以，所以，所以. （3）．当时，有最小值. 67．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接. (1)试用和表示； (2)若，，. ①求； ②求. 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）在四边形中，. 在四边形中，. 又因为，分别是，的中点，所以，. 所以，即， 又因为，，所以，. 所以. （2）①由题知. 又由（1）知，. 因此. 所以. ②因为. 所以. ， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3&6.24　向量的数乘运算 向量的数量积 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、平面向量数量积的运算律 1、 a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·月考）若非零向量，且设，则实数 ． 题型二：平面向量的混合运算 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 6．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 7．（23-24高一下·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 8．（2024高一·江苏·专题练习）（1）计算： ①； ②； ③． （2）设向量，求． 题型三：向量的线性运算的几何应用 9．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 10．（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 题型四：向量的数量积的定义和几何意义 13．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知边长为2的正方形中，点，分别为，的中点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（    ） A． B． C． D．3 题型五：数量积的运算 17．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知向量与的夹角，且，. (1)求，； (2)求与的夹角 18．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，. (1)若，求的值； (2)若，，，求的值. 19．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知向量与的夹角为，且，． (1)求的值； (2)求的值． 20．（24-25高一下·山西·月考）如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． (1)用，表示，； (2)若点F是BE的中点，求的值． 题型六：数量积和模关系问题 21．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 22．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 23．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）设为单位向量，且，则 · 24．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知单位向量，满足，则 ． 题型七：向量夹角的计算 25．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 26．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 27．（25-26高二上·上海·月考）已知平面向量满足，且，则 . 28．（24-25高一下·甘肃天水·期末）已知单位向量满足，若向量表示向量的夹角，则 . 题型八：垂直关系的向量表示 29．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 30．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 31．（24-25高一下·云南丽江·期末）已知 都是非零向量，且满足 ，则 的值是 . 32．（24-25高一下·云南文山·期中）已知非零向量，，其中，，且满足，则 . 题型九：已知模求参数问题 33．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知向量，均为单位向量，且，，则实数 ． 34．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ． 35．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 36．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 题型十：求向量投影 37．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高三上·广东惠州·月考）已知向量，满足，，在方向上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D． 39．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 40．（2025高三上·广东广州·专题练习）已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型十一：向量中三角形心的问题 41．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 42．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 43．（20-21高一下·上海宝山·期中）设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为 ． 44．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型十二：向量的数量积综合问题 45．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 46．（24-25高一下·云南楚雄·月考）已知是非零向量，，且. (1)求. (2)求在方向上的投影向量； (3)求. 47．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 48．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 49．（25-26高一·全国·假期作业）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 51．（2026高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为1，，，，则（    ） A．0 B．3 C． D． 52．（25-26高三上·甘肃酒泉·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 53．（2025·陕西西安·模拟预测）若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（   ） A．2 B． C． D． 54．（23-24高一下·贵州遵义·月考）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 二、多选题 55．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 56．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 57．（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 58．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 三、填空题 59．（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则 . 60．（25-26高三上·福建·月考）在平行四边形中，，，点是的中点，点满足，且，则 ． 61．（24-25高一下·江西上饶·月考）设点是线段的中点，点在线段外，，，则 ． 62．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 四、解答题 63．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）已知. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 64．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，. (1)求； (2)求k为何值时，. 65．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 66．（24-25高一下·北京海淀·期末）已知向量，，，. (1)求； (2)若与垂直，求实数的值； (3)若（），求的最小值及其相应的值. 67．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接. (1)试用和表示； (2)若，，. ①求； ②求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $