6.1平面向量的概念【五大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

本讲义聚焦平面向量的概念这一核心知识点，系统梳理向量的定义、几何表示（含起点方向长度三要素）、模、零向量、单位向量及相等向量与共线向量的内涵，构建从基础概念到特殊向量再到向量关系的递进式学习支架。 资料通过题型归纳（含概念辨析、模计算等五题型）及例题与举一反三设计，助力学生用数学思维辨析向量性质，用数学语言解决实际问题。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升学习效果。

6.1　平面向量的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二　向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||. 2.向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 知识三：.模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 知识四：　相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 【题型归纳】 题型一：平面向量的概念 【例1】．（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【分析】根据向量的相关概念直接判断即可. 【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B 【举一反三】 1．（22-23高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. 【详解】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 3（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 题型二：向量的模 【例2】．（2022高一·全国·专题练习）已知，若，则 . 【答案】 【分析】直接由勾股定理求值即可. 【详解】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 【举一反三】 1．（20-21高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【答案】5 【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数. 【详解】由图知：与向量的模相等的向量有， ∴共有5个. 故答案为：5. 2．（20-21高一·全国·课后作业）图中，小正方形的边长为1，则||＝ ，||＝ ，||＝ ． 【答案】 3 2 【分析】根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】由题意可知：||3． ||． ||． 故答案为：3；；2． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型三：零向量和单位向量 【例3】．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【举一反三】 1．（25-26高一·全国）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可. 【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确； 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误. 【详解】①长度为0的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确； 故选：D 3．（25-26高一上·安徽六安·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行向量也叫共线向量 B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合 C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量 D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同 【答案】D 【解析】根据共线向量的定义判断AB；由的模长为，得出是一个与同向的单位向量；举例排除D. 【详解】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A正确； 两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B正确； 的模长为，，则是一个与同向的单位向量，C正确； 从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了共线向量概念的辨析，属于基础题. 题型四：相等向量和平行（共线）向量 【例4】．（2020高一下·天津静海·学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 【答案】D 【解析】根据向量的概念逐一判断即可. 【详解】解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误； 当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误； 相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确； 向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的概念，是基础题. 【举一反三】 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义，结合矩形的性质进行求解即可. 【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点， 所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示： 由题意得：，则，有3对；， 则，有6对； ，有1对；，有1对；，有1对； 共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对， 综上，相等的非零向量共有24对. 故选：D 2．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断. 【详解】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误； 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误； 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 3．（24-25高一下·陕西西安·月考）下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 【答案】D 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 题型五：平面向量的综合问题 【例5】．（24-25高一下·全国）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【答案】(1)， (2)，，，，，，． 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形， 所以，又，所以 ， 与向量相等的向量有，. （2）与共线的向量有，，，，，，． 【举一反三】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 【高分达标】 一、单选题 1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可. 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B.    3．（24-25高二下·云南昆明·月考）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量、向量模长、相等向量与相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，零向量的模长为，方向任意，A错误； 对于B，当向量为零向量时，，B错误； 对于C，若与方向不同，则，C错误； 对于D，与为相反向量，，D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 5．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 6．（24-25高一下·广东惠州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 【答案】A 【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用向量的定义可判断D选项. 【详解】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确； 对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误； 对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误； 对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误． 故选：A． 7．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用向量是既有大小又有方向的量，但零向量的方向是任意的，且零向量与任意向量是共线的，所以在概念辨析时要充分考虑零向量是否也满足，从而可作出判断. 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，若，由于方向不确定是相同或相反，则或是不一定正确的，故②错误； 对于③，若，且，因为零向量的方向是任意的，则的方向不一定相同或相反；只有当时，若，则的方向相同或相反；故③错误； 对于④，若，，由于当，就不能保证，只有当时，才一定有，故④错误； 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 9．（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 10．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【答案】CD 【分析】根据向量的相关概念即可判断选项. 【详解】由相等向量的概念可知A正确； 因为，所以与同向，B正确； 若，则不一定平行，C不正确； 若，则与不一定共线，D不正确. 故选：CD 11．（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BCD 【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 12．（24-25高一下·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】AD 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据向量的定义即可判断B；根据零向量与任意向量共线即可判断C；根据单位向量的定义即可判断D. 【详解】对于A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故A正确； 对于B，向量无法比较大小，故B错误； 对于C，若是零向量，则结论不成立，故C错误； 对于D，对任一非零向量，是一个与方向相同的单位向量，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 13．（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【分析】根据且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案. 【详解】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形，所以. 故答案为：120 14．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 15．（24-25高一下·全国·课后作业）一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 【答案】 100 200 【分析】根据判定四边形为平行四边形，即可求解. 【详解】如图所示，汽车从点出发，经过点，到达点，最后停在点， 易知，， 又在四边形中，， 所以四边形为平行四边形，所以． 故答案为：100，200    16．（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 【答案】①③ 【分析】对每个命题分别判断即可得到答案. 【详解】对于①，由，而显然. 从而是向量的必要不充分条件，故①正确. 对于②，向量，不相等，但满足且，故②错误. 对于③，因为，则且， 又不共线，所以四边形是平行四边形. 反之，在平行四边形中，由于平行四边形对边平行且长度相等，故有. 所以是四边形为平行四边形的充要条件，故③正确. 故答案为：①③. 四、解答题 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 18．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 19．（2023高一·全国）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 20．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【答案】(1)23； (2)存在，4； (3)9. 【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论. （2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论. （3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论. 【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个. （2）存在，由正六边形的性质知，， 所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. （3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上， 所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1　平面向量的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　向量的概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量：只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二　向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||. 2.向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 知识三：.模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. 知识四：　相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 【题型归纳】 题型一：平面向量的概念 【例1】．（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【举一反三】 1．（22-23高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 2．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 3（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 题型二：向量的模 【例2】．（2022高一·全国·专题练习）已知，若，则 . 【举一反三】 1．（20-21高一·全国·课后作业）如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 2．（20-21高一·全国·课后作业）图中，小正方形的边长为1，则||＝ ，||＝ ，||＝ ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 题型三：零向量和单位向量 【例3】．（22-23高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【举一反三】 1．（25-26高一·全国）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线． A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 3．（25-26高一上·安徽六安·期末）下列说法不正确的是（    ） A．平行向量也叫共线向量 B．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合 C．若为非零向量，则是一个与同向的单位向量 D．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同 题型四：相等向量和平行（共线）向量 【例4】．（2020高一下·天津静海·学业考试）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为 A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3） 【举一反三】 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 2．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·陕西西安·月考）下面命题中，正确的是（    ） A．若， 则 B．若，则 C．若， 则 D．若 则 题型五：平面向量的综合问题 【例5】．（24-25高一下·全国）如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）： (1)与向量相等的向量； (2)与向量共线的向量． 【举一反三】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【高分达标】 一、单选题 1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）设点是正方形的中心，则向量的关系是（   ） A．方向相同 B．模相等 C．共线 D．起点相同 3．（24-25高二下·云南昆明·月考）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 4．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 5．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 6．（24-25高一下·广东惠州·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．模为的向量与任意向量共线 B．单位向量只有一个 C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 7．（24-25高一下·江西南昌·月考）给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则的方向相同或相反；④ 若，，则. 其中错误的说法有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 9．（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 11．（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 12．（24-25高一下·福建福州·期中）下列叙述中正确的是（ ） A．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 三、填空题 13．（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 14．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 15．（24-25高一下·全国·课后作业）一辆汽车从点出发向西行驶了100km到达点，然后又改变方向向西偏北方向行驶了200km到达点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达点，则 km， km． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）给出下列命题： ①是向量的必要不充分条件； ②向量，相等的充要条件是； ③若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件. 其中正确的是 .（填序号） 四、解答题 17．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 18．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 19．（2023高一·全国）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 20．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $