寒假新课衔接：专题十 比例的应用 人教版六年级下册数学

2025-2026学年人教版数学六年级寒假新课衔接 专题十 比例尺 一、思维导图 二、考点精讲 考点一：比例尺 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 比例尺一般分为：数值比例尺和线段比例尺 【典例分析】一个精密零件4毫米，画在图纸上是12厘米，这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶30 B．1∶3 C．30∶1 【答案】C 【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写出图上距离与实际距离的比，化简即可。 【详解】12厘米∶4毫米＝120毫米∶4毫米＝（120÷4）∶（4÷4）＝30∶1 这幅图纸的比例尺是30∶1。 故答案为：C 【变式训练1】比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际( )千米；如果实际距离20千米，在图上要用( )厘米长的线段表示。 【变式训练2】木兰溪被称为莆田人民的母亲河。在一幅比例尺为的莆田地图上，量得木兰溪全长是4.2厘米，木兰溪的实际长度是( )千米，这幅地图的数值比例尺是( )。 【变式训练3】一个精密零件的实际长度是5毫米，画在一张设计图上是5厘米，这张设计图的比例尺是多少？ 考点二：比例尺的应用 比例尺=图上距离÷实际距离 实际距离=图上距离÷比例尺 图上距离=实际距离×比例尺 【典例分析】“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？ 【答案】6440千米 【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用92÷即可求出传统的丝绸之路的实际距离，再把结果换算成千米作单位，据此解答。 【详解】92÷＝92×7000000＝644000000（厘米） 644000000厘米＝6440千米 答：传统的丝绸之路实际全长约为6440千米。 【变式训练1】填表。 图上距离 实际距离 比例尺 2厘米 ( ) 1∶800000 3.2厘米 960千米 ( ) 8厘米 ( ) 20∶1 【变式训练2】实际距离是300千米，画在比例尺是1∶5000000的地图上，应画多少厘米？ 【变式训练3】某建筑工地挖一个长方形的地基，把它画在比例尺是1：2000的平面图上，长是6厘米，宽是4厘米，这块地基的面积是多少？ 考点三：应用比例尺画图 【典例分析】实验小学的正东方向200米处是图书馆，图书馆的正北方向100米处是医院，医院的正西方向300处是科技馆。请你先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】用图上1厘米代表实际100米的线段比例尺比较合适．根据平面图上方向辨别“上北下南，左西右东”，以实验小学的位置为观测点即可确定图书馆的方向，再根据比例尺求出实际200米的图上距离；以图书馆的位置为观测点即可确定医院的方向，再根据比例尺求出实际100米的图上距离；以医院的位置为观测点即可确定科技馆的方向，再根据比例尺求出实际300米的图上距离；据此画图。 【详解】200÷100＝2（厘米） 100÷100＝1（厘米） 300÷100＝3（厘米） 作图如下： 【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。 【变式训练1】某市新建一个长方形运动场，长240m，宽120m，请在下面图中画出运动场的平面图．（比例尺：1：4000） 考点四：图形的放大与缩小 【典例分析】 图形的放大与缩小。 (1)按2∶1画出上面三个图形放大后的图形。 分析：按2∶1放大，也就是把各边都放大到原来的( )倍。放大后的图形与原来的图形相比，( )相同，( )不同。 (2)如果把放大后的图形的各边按一定的比缩小，缩小后的图形与原来的图形相比，( )相同，( )不同。 【答案】(1) 2 形状 大小 (2) 形状 大小 【分析】（1）图形的放大是指图形的各边按照一定的比例放大，一个图形放大后，对应边的长度比、图形的周长比都相等，但是面积比不相等，所以图形的大小会发生变化，但是形状不变，据此解答。 （2）图形的缩小是指图形的各边按照一定的比例缩小，一个图形缩小后，对应边的长度比、图形的周长比都相等，但是面积比不相等，所以图形的大小会发生变化，但是形状不变，据此解答。 【详解】（1）按2∶1放大，也就是把各边都放大到原来的2倍。放大后的图形与原来的图形相比，形状相同，大小不同。 （2）如果把放大后的图形的各边按一定的比缩小，缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，大小不同。 【点睛】本题主要考查图形的放大与缩小，掌握图形变化的特征是解答题目的关键。 【变式训练1】课件出示教材58页例4。 按2∶1画出下面三个图形放大后的图形。 （1）审题：你读懂了哪些信息？ （2）组内交流：“按2∶1放大”是什么意思？怎样才能正确地把这些图形放大？ （3）尝试画出放大后的图形。 （4）先独立思考，再小组内交流自己的想法，并动手画一画。回答下列问题 ①按2∶1放大是什么意思？ 按2∶1放大就是（     ）。 ②原来的正方形各条边占（    ）格，放大2倍后，正方形各条边占（    ）格。 ③原来的长方形的长占（     ）格，宽占（    ）格，放大2倍后，长方形的长占（    ）格，宽占（    ）格。 ④原来的三角形的底占（    ）格，高占（    ）格，放大2倍后，三角形的底占（    ）格，高占（    ）格。 想一想：这个三角形的斜边不能用数方格确定占几格，该怎样确定它的斜边是否也放大到原来2倍？ 考点五：比例的应用 【典例分析1】淘气模仿“曹冲称象”来称体重。淘气站在船上，船下沉2厘米；爸爸站在船上，船下沉4厘米。淘气的体重是35.7千克，爸爸的体重是多少千克？ 【答案】71.4千克 【分析】由题意可知，设爸爸的体重是x千克，根据体重与船下沉的高度的比值一定，可确定体重与下沉的高度成正比例，据此可列比例解答即可。 【详解】解：设爸爸的体重是x千克。 35.7∶2＝x∶4 2x＝35.7×4 2x＝142.8 2x÷2＝142.8÷2 x＝71.4 答：爸爸的体重是71.4千克。 【典例分析2】修正带是通过两个齿轮相互咬合进行工作的。下面这个修正带，小齿轮有30个齿，大齿轮有90个齿。大齿轮转动5圈，小齿轮转动（    ）圈。 A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】两个相互咬合的齿轮在转动时，相同时间内走过的齿数相等。因为总齿数一定，齿数越多，圈数越少，所以我们可以用齿数与圈数成反比例的关系来解答。 【详解】解：设小齿轮转动圈。 所以小齿轮转动15圈。 故答案为：C 【变式训练1】中国空间站工程巡天空间望远镜是大型空间天文望远镜，长约14米。小明收藏了这一型号的望远镜模型，它的长度与实际长度的比为1∶70，这一模型的长度是多少厘米？ 【变式训练2】风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视。我国风能资源丰富，它取之不尽，用之不竭。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米。同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米。风力发电架的高是多少米？ 三、强化训练 1．一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的( )。比例尺的表示形式有( )比例尺和( )比例尺。 2．（1）画出长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°后的图形。 （2）将长方形ABCD按2∶1放大后画在合适的位置。 （3）观察并思考，放大后的长方形与原长方形周长的比是（    ），面积的比是（    ）。 3．某张地图上的线段比例尺是，把它改写成数值比例尺是（    ）。 A．1∶45 B．1∶45000 C．1∶4500000 D．4500000∶1 4．一个圆柱形零件的高是5mm，画在图纸上的高是5cm。这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．1∶1 B．10∶1 C．1∶10 D．10 5．一个直角三角形，两条直角边分别是3厘米和4厘米，它的面积是( )平方厘米，如果按3∶1放大，放大后的三角形的面积是( )平方厘米。 6．根据比例尺、图上距离、实际距离之间的关系填写下表。 图上距离 3.4cm 42dm 42dm 实际距离 150km 比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1 7．古代我国沿海居民利用海水制食盐，将海水引入盐田，晒干后得到海盐，此法称为“盐田法”。已知500千克海水能晒制15千克海盐，那么引入17500吨海水，可以晒制多少吨海盐？（用比例解） 8．一个足球是用12块黑皮和20块白皮缝制而成的，王师傅在缝制过程中一共用了60块黑皮，那么相应地用了多少块白皮？（用比例解答） 9．美美手机超市门口放着一个按20∶1的比制作的手机模型。这个手机模型的高度是1.6米，手机的实际长度是多少厘米？（用比例方法解答） 10．节假日期间，淘淘一家开车到花仙谷游玩。在比例尺是的地图上，量得淘淘家到花仙谷的距离是4.5厘米。他们开车平均每小时行驶90千米，则从淘淘家到花仙谷需要多少小时？ 11．国家游泳中心“水立方”改造成“冰立方”，成为冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆。冰壶场地是由长50米、宽25米、深约3米的泳池改造而成的，如果将这个泳池的平面图画在比例尺是1∶200的图纸上，长和宽各应画多少厘米？ 12．甲、乙两地的实际距离是800千米，在一幅地图上量得甲、乙两地的图上距离是4厘米。乙、丙两地的实际距离是600千米，那么在同一幅地图上量得乙、丙两地的图上距离是多少厘米？ 13．要解决老旧小区的供暖问题，工人师傅铺一条暖气管道，前6天铺了210m，照这样的速度，还需要8天才能把管道全部铺完。这条管道一共长多少米？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【变式训练1】40 0.5/ 【分析】一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 根据比例尺的意义可知，比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际4000000厘米，根据进率“1千米＝100000厘米”将4000000厘米换算成以“千米”作单位的数即可。 已知实际距离20千米，先根据进率将20千米换算成以“厘米”作单位的数，再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，即可求出20千米在图上对应的线段长度。 【详解】4000000厘米＝40千米 20千米＝2000000厘米 2000000×＝0.5（厘米） 比例尺1∶4000000表示图上1厘米代表实际（40）千米；如果实际距离20千米，在图上要用（0.5）厘米长的线段表示。 【变式训练2】 168 1∶4000000 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米相当于实际距离40千米，已知地图上量得木兰溪全长是4.2厘米，那么木兰溪的实际长度是（40×4.2）千米。 根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1千米＝100000厘米”，即可将线段比例尺改写成数值比例尺。 【详解】40×4.2＝168（千米） 1厘米∶40千米 ＝1厘米∶（40×100000）厘米 ＝1∶4000000 木兰溪的实际长度是168千米，这幅地图的数值比例尺是1∶4000000。 【变式训练3】10∶1 【分析】已知零件的实际长度和图上长度，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”求解，注意单位的换算：1厘米＝10毫米。 【详解】5厘米∶5毫米 ＝（5×10）毫米∶5毫米 ＝50∶5 ＝（50÷5）∶（5÷5） ＝10∶1 答：这张设计图的比例尺是10∶1。 【点睛】本题考查比例尺的意义及应用，注意长度单位的换算。 考点二 【变式训练1】16千米 1∶30000000 4毫米 【分析】（1）根据“实际距离＝图上距离÷比例尺” 以及进率“1千米＝100000厘米”求解； （2）根据“比例尺＝图上距离∶实际距离” 以及进率“1千米＝100000厘米”求解； （3）根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及进率“1厘米＝10毫米”求解。 【详解】（1）2÷ ＝2×800000 ＝1600000（厘米） 1600000厘米＝16千米 （2）3.2厘米∶960千米 ＝3.2厘米∶（960×100000）厘米 ＝3.2∶96000000 ＝（3.2÷3.2）∶（96000000÷3.2） ＝1∶30000000 （3）8÷ ＝8× ＝0.4（厘米） 0.4厘米＝4毫米 如下表： 图上距离 实际距离 比例尺 2厘米 16千米 1∶800000 3.2厘米 960千米 1∶30000000 8厘米 4毫米 20∶1 【点睛】本题考查比例尺的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键，注意长度单位之间的换算。 【变式训练2】6厘米 【分析】先根据进率：1千米＝100000厘米，将300千米换算成30000000厘米；然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，代入数据计算，即可求解。 【详解】300千米＝30000000厘米 30000000×＝6（厘米） 答：应画6厘米。 【点睛】本题考查比例尺的应用以及长度单位的换算。 【变式训练3】9600平方米 【详解】实际长：6÷= 12000（厘米） 12000厘米=120米 实际宽：4÷=8000(厘米) 8000厘米=80米 实际面积:120×80=9600(平方米) 答：这块地基的实际面积是9600平方米． 考点三 【变式训练1】 【详解】240m＝24000cm，120m＝12000cm 24000×＝6（cm） 12000×＝3（cm） 即画长方形运动场的长是6cm，宽是3cm． 考点四 【变式训练1】（1）三个图形所占的格数，图形放大的比例为2∶1。 （2）指的是图形的图上距离是实际距离的2倍，将图形的各个边长都扩大到原来的2倍即可正确地把这些图形放大。 （3）见详解 （4）①按2∶1放大就是将图形的各个边长都扩大到原来的2倍，图形的形状不变； ②3；2；6 ③4；2；8；4 ④4；3；8；6 见详解 【分析】（1）由题意可知，题中给出的信息有：三个图形所占的格数；图形放大的比例为2∶1； （2）根据图上距离∶实际距离＝比例尺，可知“按2∶1放大”就是把图形的大小放大到原来的2倍；将图形的各个边长都扩大到原来的2倍即可正确地把这些图形放大； （3）把图形各个边长都扩大到原来的2倍即可，据此作图即可； （4）①根据图上距离∶实际距离＝比例尺，据此可知2∶1放大的含义； ②观察图形可知，正方形的各边长占的格数，放大后，正方形各边长占的格数是原来的2倍； ③观察图形可知，长方形的各边长占的格数，放大后，长方形各边长占的格数是原来的2倍； ④观察图形可知，三角形的各边长占的格数，放大后，三角形各边长占的格数是原来的2倍； 根据把图形的放大的方法解答即可。 【详解】（1）题中给出的信息有：三个图形所占的格数，图形放大的比例为2∶1； （2）“按2∶1放大”指的是图形的图上距离是实际距离的2倍，将图形的各个边长都扩大到原来的2倍即可正确地把这些图形放大； （3）如图所示： （4）①按2∶1放大就是将图形的各个边长都扩大到原来的2倍，图形的形状不变。 ②3×2＝6（格） 原来的正方形各条边占3格，放大2倍后，正方形各条边占6格。 ③4×2＝8（格），2×2＝4（格） 原来的长方形的长占4格，宽占2格，放大2倍后，长方形的长占8格，宽占4格。 ④4×2＝8（格），3×2＝6（格） 原来的三角形的底占4格，高占3格，放大2倍后，三角形的底占8格，高占6格。 将三角形的底和高都扩大到原来的2倍，则斜边也一定放大到原来的2倍。 【点睛】本题考查图形的放大或缩小，明确放大的是图形的各个边长，图形的形状不变是解题的关键。 考点五 【变式训练1】20厘米 【分析】由题意可知：模型的长度与实际长度的比为1∶70，即比值是一定的，符合正比例的意义，所以模型的长度与实际长度成正比例。1米＝100厘米。据此即可列比例求解。 【详解】14米＝1400厘米 解：设这一模型的长度是x厘米。 1∶70＝x∶1400 70×x＝1×1400 70x＝1400 x＝1400÷70 x＝20 答：这一模型的长度是20厘米。 【变式训练2】80米 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。设风力发电架的高是x米，根据风力发电架的高∶风力发电架的影长＝测杆的长∶测杆的影长，列出比例解答即可。 【详解】解：设风力发电架的高是x米。 x∶64＝2∶1.6 1.6x＝64×2 1.6x＝128 1.6x÷1.6＝128÷1.6 x＝80 答：风力发电架的高是80米。 强化训练 1． 比例尺 数值 线段 【详解】一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺的表示形式有数值比例尺和线段比例尺。如：1∶200000是数值比例尺，是线段比例尺。 2．（1）图见详解 （2）图见详解 （3）2∶1；4∶1 【分析】（1）根据旋转的特征，将长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （2）将长方形ABCD按2∶1放大，则原来长方形的长、宽分别乘2，据此画出放大后的长方形。 （3）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽，分别求出原来和放大后长方形的周长、面积，再根据比的意义，求出放大后的长方形与原长方形周长的比、面积的比，并化简比。 【详解】（1）画出长方形ABCD绕点B逆时针旋转90°后的图形，如下图。 （2）放大后长方形的长：3×2＝6 放大后长方形的宽：2×2＝4 画一个长为6、宽为4的长方形，如下图。 （3）原来长方形的周长： （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10 放大后长方形的周长： （6＋4）×2 ＝10×2 ＝20 原来长方形的面积：3×2＝6 放大后长方形的面积：6×4＝24 20∶10＝（20÷10）∶（10÷10）＝2∶1 24∶6＝（24÷6）∶（6÷6）＝4∶1 放大后的长方形与原长方形周长的比是2∶1，面积的比是4∶1。 3．C 【分析】从线段比例尺可知，图上1厘米的距离相当于实际距离45千米，1千米＝100000厘米，则45千米＝4500000厘米。即把它改写成数值比例尺是1厘米∶45千米＝1厘米∶4500000厘米＝1∶4500000，据此解答。 【详解】1厘米∶45千米 ＝1厘米∶4500000厘米 ＝1∶4500000 把它改写成数值比例尺是1∶4500000。 故答案为：C 4．B 【分析】分析题目，先根据1cm＝10mm把图上距离化成以mm为单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离求出比例尺即可。 【详解】5cm＝50mm 图上距离∶实际距离 ＝50mm∶5mm ＝（50÷5）∶（5÷5） ＝10∶1 一个圆柱形零件的高是5mm，画在图纸上的高是5cm。这幅图纸的比例尺是10∶1。 故答案为：B 5． 6 54 【分析】（1）根据直角三角形的特征可知，两条直角边分别是直角三角形的底和高。根据三角形的面积＝底×高÷2，求出直角三角形的面积。 （2）这个直角三角形按3∶1放大，则原来的两条直角边都要乘3，即是放大后直角三角形的底和高，再根据三角形的面积公式求出放大后三角形的面积。 【详解】（1）3×4÷2＝6（平方厘米） 它的面积是6平方厘米。 （2）（3×3）×（4×3）÷2 ＝9×12÷2 ＝54（平方厘米） 放大后的三角形的面积是54平方厘米。 6．5cm； 102km；252dm；7dm 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺＝图上距离：实际距离，图上距离＝实际距离×比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此代入数据即可求解。 【详解】3.4cm＝0.000034km 0.000034÷＝0.000034×3000000＝102（km） 15km＝1500000cm 15000000×＝5（cm） 42÷＝252（dm） 42÷6＝7（dm） 图上距离 3.4cm 5cm 42dm 42dm 实际距离 102km 150km 252dm 7dm 比例尺 1∶3000000 1∶6 6∶1 7．525吨 【分析】分析题目，设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐，再根据海水的质量∶海盐的质量的比值不变列出比例500∶15＝17500∶x，最后解出比例即可。 【详解】解：设引入17500吨海水，可以晒制x吨海盐。 500∶15＝17500∶x 500x＝15×17500 500x＝262500 x＝262500÷500 x＝525 答：引入17500吨海水，可以晒制525吨海盐。 8．100块 【分析】根据题意，黑皮的数量比和白皮的数量比会相等。将白皮数量设为未知数，从而列出比例。将比例写成一般方程，等式两边同时除以12，解出未知数即可。 【详解】解：设相应地用了x块白皮。 答：相应地用了100块白皮。 9．8厘米 【分析】将手机的实际长度设为x厘米，根据“模型高度∶实际高度＝20∶1”列出比例。将比例改写成一般方程，再根据等式的性质，将等式两边同时除以20，求出手机的实际长度。 【详解】解：设手机的实际长度是x厘米。 1.6米＝160厘米 160∶x＝20∶1 20x＝160 20x÷20＝160÷20 x＝8 答：手机的实际长度是8厘米。 10．1.5小时 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米的距离表示实际30千米，图上4.5厘米就有4.5个30，用乘法计算可得实际距离，再根据，代入数据计算即可。 【详解】图上1厘米表示实际距离的30千米。 （小时） 答：从淘淘家到花仙谷需要1.5小时。 11．25厘米；12.5厘米 【分析】将这个泳池的平面图画在比例尺是1∶200的图纸上，也就是将实际长度缩短到原来的，用实际长度乘，就是图纸上的长度。据此解答。 【详解】50米＝5000厘米 25米＝2500厘米 5000×＝25(厘米)   2500×＝12.5(厘米) 答：长应画25厘米，宽应画12.5厘米。 12．3厘米 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，据此确定这幅地图的比例尺，根据图上距离＝实际距离×比例尺，换算出乙、丙两地的图上距离即可。 【详解】4厘米∶800千米＝4厘米∶80000000厘米＝（4÷4）∶（80000000÷4）＝1∶20000000 600千米＝60000000厘米 60000000×＝3（厘米） 答：在同一幅地图上量得乙、丙两地的图上距离是3厘米。 13．490米 【分析】铺的长度∶对应天数＝每天铺的长度（一定），比值一定是正比例关系，设这条管道一共长x米，根据管道总长度∶总天数＝每天铺的长度，列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设这条管道一共长x米。 x∶（6＋8）＝210∶6 x∶14＝210∶6 6x＝14×210 6x＝2940 6x÷6＝2940÷6 x＝490 答：这条管道一共长490米。 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $