专题5.2 导数与函数的单调性导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第二册）

该高中数学导学案以“导数与函数的单调性”为核心，围绕导数与单调性的关系、含参讨论、由单调性求参数等目标，通过必备知识梳理、分考点专练（含6大考点）及达标检测，构建“基础-应用-提升”的递进式学习路径，形成完整知识体系。 亮点在于“问题链驱动”设计，如含参函数单调性讨论、构造函数比较大小等任务，培养数学思维（逻辑推理）与数学眼光（直观想象）。经典例题与变式训练结合，达标检测覆盖全考点，为教师实施单元复习提供系统支撑，促进学生深度学习与能力提升。

专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 专题5.2导数与函数的单调性 考点预览 考点06利用导数讨论含参函数的单调性 考点01利用导数判断函数的单调性 考点05由函数在区间上的单调性求参 导数与函数的单调性 考点02利用导数求函数单调区间 考点04函数与号函数的图象关系 考点03构造通数比较大小 一、必备知识 1.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数的单调性的关系 在某个区间(a,b)内，如果f'(x)≥0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)≤0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件： 可导函数f(x)在(a,b)上是增（减）函数的充要条件是对r∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x) 在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2.含参函数单调性讨论依据 (1)导函数有无零点讨论（或零点有无意义）： (2)导函数的零点在不在定义域或区间内： (3)导函数多个零点时大小的讨论。 3.已知函数的单调性求参数 (1)函数f(x)在区间D上单调增（单减）→f'(x)≥0（≤0）在区间D上恒成立： (2)函数f(x)在区间D上存在单调增（单减）区间三f'(x)>0(<O)在区间D上能成立： (3)己知函数f(x)在区间D内单调一f'(x)不存在变号零点 (4)己知函数∫(x)在区间D内不单调→f'(x)存在变号零点 二、考点专练： 目目 考点01 利用导数判断函数的单调性 【经典例题】 1.(2425高二下·云南昭通镇雄县第四中学·期中)（多选已知定义在R上的函数f(x)满足 fx+2)=f(2-x),f'(x)为f(x)的导函数，且对于任意的x∈R,都有(x-2)f'(x)≤0，则() 1/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 A.f(0)<f(4)B.f(-1)=f(5)C.x∈R,f(x)≤f(2)D.x∈R,f(x)≥f(2) 【答案】BC 【详解】当x=2时，f(0)=f(4),故A错误；当x=3时，f(-1)=f(⑤)，故B正确：对于由f(x+2) =f(2-x)知，y=f(x)的图象关于直线x=2对称，又(x-2)f'(x)≤0，当x>2时，f'(x)≤0，即 y=f(x)在区间(2，+o)上单调递减：当x<2时，f'(x)≥0，y=(x)在区间(-n,2)上单调递增， .x∈R,f(x)≤f(2),故C正确，D错误.故选：BC 2.(2025·广西梧州·期考)函数f(x)=(x2-x)e*的图象大致是() 小 【答案】B 【详解】因为f(x)=(x2-x)e,所以f”(x)=(x2+x-)e,令f'(x)=0,即x2+x-1=0,解得 =+5.点=山5，所以当x>+5或x<山与5时f)0,当5x<+5时 2 2 f(x)<0,所以f(x)在 -1-V5-1+V5 2,2 上单调递减， 故排除A、D:当x<0时e*>0,x2-x=x(x-1)>0,所以f(x)=（x2-x)e>0,故排除C;故选：B 【变式训练】 1.2324高二下湖北五州期末)函数f()=心的图象大致为() 【答案】D 【详解1由题可得函数定义域为(-n,0)(0,+切)，f(刘-血-nr-f,所以函数f)为 奇函数，故排除AB:x>0时，f=血-21nx,)=20-血，当x∈(0，e)时，f()>0, f(x)单调递增：当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；又当x→+时f(x)>0,故排除C.故 选：D 2/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 2.(24-25高二下·云南临沧中学期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式 (x2-2x-3)f'(x)<0的解集 【答案】(1,3) 【详解】由函数f(x)的图象，得当x<-1或x>1时，函数f(x)单调递增，则f"(x)>0;当-1<x<1时， 函数f(x)单调递减，f'(x)<0,不等式(x2-2x-3)f'(x)<0化为 2x-3>0X-2x-3<0,解 或 f'(x)<0 f'(x)>0 x2-2x-3>0 无解解 [x2-2x-3<0 ,得1<x<3,所以不等式(x2-2x-3)f'(x)<0的解集(1,3). f'(x)<0 f'(x)>0 故答案为：(1,3) 目目 考点02 利用导数求函数单调区间 【经典例题】 1.(24-25高二下·广西南宁第三中学期中)函数f(x)=(x+1)e2“的单调递增区间是() A. 2 B.(-2,+0) C.(-1,+m) D.(0,+0) 【答案】A 【详解】函数f(x)=(x+1)e2的定义域为R,又f'(x)=e2+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x,令f'(x)>0,解 得x子所以函数1()=(+)的单调通州区间是（+切放选：A 2.已知函数f(x)=(x-a)nx+(a-1)x.当a>0时，则函数f(x)的单调减区间为 【答案】(0,1) 【详解】函数f()=(c-alnr+(a-1)x的定义域为(0，+o),求导得f'()=lnr-a+a,令 g(x)=lnr-+a,求导得g'()=x+a ，当a>0时，8)>0，则函数f)在0+o)上单调递增，而 f'()=0,当0<x<1时，f'(x)<0:当x>1时，f'(x)>0,函数f(x)的递减区间为(0,1) 【变式训练】 1.245高=下山东部分学校尼知通数F()-2,则/()的单调造增区间为(） D. e2,+o0 【答案】A 3/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 【详解】易知函数定义域为(0，+o）,因为f(句-血(2），所以f(y-x-2x血(2)_1-21(2，令 f()>0,得(2)分所以0<2x<,即0<x<c,所以()的单调通增区间为0e 1 23 2.(24-25高二下·山西太原·期中)函数f(x)=nx-二+ 一2示的单调递减区间是() A.(-n,-3)和(0,1)B.(（-3,0)和(1，+∞)C.(0,1)D.(1,+w) 【答案】C 【详解】由愿设f()=+2-31+31-马且x>0,当0<x<,则f(<0,f在0)上单 3 调递减，当x>1,则f'(x)>0,f(x)在(1，+o)上单调递增，所以单调递减区间是(O,1).故选：C. 3.(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学期中)已知函数f(x)=lnx+x2-3x(a∈R).则函数f(x)的单 调增区间为 【答案】 0.2 和(1，+∞) 【i详解】当a=3时，f)=nx+-3x，xe(0+）,f'=+2x-3-2r-3x+1_2x-1x- 1 由f'(x) 2x少0，可得x1或0<<分由了国=2--0，可钓x<1. 所以函数f(x)的单调减区间是？， 单海区间足(0)和*： 4.(24-25高二下·四川成都树德中学·月考)设函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f(x)在区间D上是减 函数，且函数f'(x)在区间D上是增函数，称f(x)在区间D上是“缓减函数”，区间D称为f(x)的“缓减 区间”，若f(x)=cos2x+2sinx,下列区间是f(x)的缓减区间的是( 7π5元 7兀 5π4π 4π3π A. 43 D 、6 6 3’2 【答案】A 【详解】由题意得f'(x)=2cosx(-sinx)+2cosx=2cosx(1-sinx), 又1-sinx≥0，由f'()s0,得c0sx≤0，解得5+2kπ≤x≤+2k,k∈Z, 2 即f(x)的单调递减区间为 +2+2e 2 g(x)=f'(x)=2cosx(1-sinx)=2cosx-2cosxsinx, g'(x)=-2sinx-2.(-sin2x+cos2x)=2sin2x-2cos2x-2sin x=4sin2x-2sinx-2, 4/19 专题52导数与函数的单调性 高中数学导学案 由g'(x)20,得4sin2x-2sinx-2≥0，即2(2sinx+1)(sinx-1)≥0， 又sinx-l≤0，则sinx≤- :解得石+2ksx≤+24，太，Z, 6 6 即f(句的单调递增区间为7匹+2k,元+2k,π，k∈Z。 6 6 由“缓减区间的定义可得f(x)的“缓减区间”为 7匹+2k3π+2a kEZ, 6 7π5π 而 [7+2k 6是6 .3π +2m的子集，是“缓减区间”： 不是6 7π 3π 6 +2km的子集，不是“缓减区间”： 2 5π4π 7π 年不是6 +2c的子集，不是缓减区间； 3π +2kL, 不 [7匹+2kπ3+2的子集，不是“缓减区间 2 故选：A 目目 者点03 构造函数比较大小 【经典例题】 2.(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学.期末)已知a=lnl.01,b=1.01,c=e.o1则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 【答案】A 【详解】易知a=lnl.01<1,c=eo1>1,构造函数f(x)=e-(x+1),求导f'(x)=e*-1,易知当x≥0 时，f'(x)=e*-1≥0，f(x)单调递增：所以f(0.01)=e1-(0.01+1)>f(0)=0,所以c>b>1,所以 a<b<c,故选：A 2.(24-25高二下·云南保山期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x,x32∈(-o,0)且x≠x2,都 有，0，a).日=〔》剥() x-x2 A.b<c<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<b<a 【答案】A 【详解】因为函数f)是定义在R上的偶函数，x,,∈(n,0)且x≠x,都有f)-f)>0, x1-x2 所以在-n0)上单润道箱，@+网)单调道减，所以c=了(）行）】 ="e222"4设8的则8)，0<x<e时，8四>0，>e时， x2 g'(x)<0,所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+n)上g(x)单调递减，因为e<3<4,所以 5/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 e>8③)>8④，e血34，故eh320,义f在0，+0)上单遇递减 e 3 e 3 :f())即<c<a,放选：A 【变式训练】 1.(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学.期中)已知a=41n3,b=3元，c=4ln元，则a,b,c的大 小关系是() A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c 【答案】C 【详解】因为a=41n3=4rn3,b=3π，c=41nπ3=4×31nπ， a_h3,c_lhπ 12元3’12元π 构造透数了)-产，则r国-，当e@e)时.了0，f(四单调适带。 x 当xee+o)时，f(<0,f()单调递减，因元>3>e,所以f(<f(6),即<，即 2元2元，所以c<a:又1h>lne=1,所以3π<3x4<4×3nπ，即b<c综上，b<c<a故选：C C 2.23-24高二下重肤城区七校期末已知ah2.bh5.c则α.b,c的大小关系正确的是 2 5 () A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 【答案】D 【详解】a=n2 ,当0<x<e时， f'(x)>0,当x>e时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，e)上递增，在(e,+o)上递减，因为2<e<5, 所以f2<fe),fe)>f5,因为f2)-f5=2_5-5血2-21血5_血32-血25>0，所以 25 10 10 f(2)>f(5),所以b<a<c故选：D 3.(24-25高二上·云南保山期末)已知实数x,y满足：2-2'>y-x,则下列关系式恒成立的是（) A.y B.1 x v C.n(+1)>n(y+1)D.x>y 【答案】D 【详解】由2-2'>y-x得2+x>2"+y,令f(x)=2"+x,则f(x)>f(y),因为y=2'和y=x是R上的 增函数，所以f(x)是R上的增函数，所以由f(x)>f(y)得x>y,因为当x=0,y=-1时，满足x>y, ,v,上>，x+D>+D都不成立，所以ABC错误因为fx)=x在R上单调递增，所以 但x3>y3, x y x>y时x3>y3恒成立，所以D正确.故选：D, 6/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 目目 考点04 函数与导函数的图象关系 【经典例题】 1.(2025·广西南宁·期考)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，下列说法正确的是() A.函数y=f(x)在(-2,2)上是增函数 B.函数y=f(x)在(1，+∞)上是减函数 C.x=-1是函数y=f(x)的极小值点 D.x=1是函数y=f(x)的极大值点 【答案】A 【详解】由图象可知，当x∈(-2,2)时，f'(x)≥0；当x∈(2，+o)时，f'(x)<0,∴fx在(-2,2)上单调 递增，在(2，+o)上单调递减，可知B错误，A正确：x=2是极大值点，没有极小值，·x=-1和x=1不 是函数的极值点，可知C,D错误.故选：A 2.(21-22高二上·河北博野中学月考)（多选如图所示是y=∫(x)的导数y=f'(x)的图象，下列结论中 正确的有() 5 A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数D.x=2是f(x)的极小值点 【答案】BC 【详解】根据图象知当x∈(-1,2)U(4,+o)时，f'(x)>0,函数单调递增；当x∈(-3，-1)U(2,4)时， f'(x)<0,函数单调递减故A错误，故C正确：当x=-1时，∫(x)取得极小值，x=-1是f(x)的极小 值点，故B正确：当x=2时，f(x)取得是极大值，x=2不是f(x)的极小值点，故D错误故选：BC 【变式训练】 1.(24-25高二下·四川达州期中)（多选已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则(） 7/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 =(x) XA A.f(x)在(x2,x4)上单调递减 B.f(x)在(x,+o)上单调递增 C.f(x)的一个极小值为f(x) D.f(x)在[x,x]上的最大值为f(x) 【答案】BD 【详解】由图可知，当x∈(-o,x)U(x,+o)时，f'(x)>0,当x∈(x,x)时，f'(x)<0,所以f(x)在 (x,x)上单调递减，在(-o,),（x,+o)上单调递增，极小值为f(x),在[x,x]上的最大值为 (x) f(:),所以选项A和C错误，选项B和D正确，故选：BD X4 2.(多选设函数f(x)=(x+)(x-2),则() A.f(x)有三个零点 B.x=1是f(x)的极小值点 C.f(x)的图象关于点(0，-2)中心对称 D.当0<x<1时，f(x)>f(x2) 【答案】BC 【详解】对于A,令f(x)=(x+I)(x-2)=0,解得x=-1或x=2,所以f(x)有两个零点，故A选项错 误：对于B,由f'(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1)2=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,解得x=-1或x=1, 当x<-1或x>1时，f'(x)>0,即f(x)在(-o,-1)和(1，+o)上单调递增，当-1<x<1时，f'(x)<0,即 f(x)在(-1，I)单调递减，所以x=1是f(x)的极小值点，故B选项正确：对于C,因为 f(-x)+f(x)=(-x+1)(-x-2)+(x+1)(x-2)=-4,则f(x)的图象关于点(0，-2)中心对称，故C选项 正确：对于D,当x∈(-1，)时，f(x)单调递减，则当0<x<1时，f(x)单调递减，又当0<x<1时， x>x2,所以f(x)<f(x2),故D选项错误；故选：BC 3.(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知可导函数f(x)的部分图象如图所示，f(2)=0,f(x)为函 8/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 数f(x)的导函数，下列结论不一定成立的是() 012345支 A.f(①)<f①)B.f(⑤)<f5)C.f(2)=f(2)D.f(3)<f(4)<f(⑤) 【答案】B 【详解】由导数的几何意义可知，f'()<0,由图可知，f)>0,所以∫'(I)<f(1),故A成立；由图可 知，f'(5)>0,f(5)>0,但不确定f'(5)与f(5)的大小关系，故B不一定成立：由图可知， f'(2)=f(2)=0,故C成立；由图可知，函数在区间[2，+∞)上单调递增，且增长速度越来越快，所以 f(3)<f'(4)<f(5),故D成立.故选：B. 目目 考点05 由函数在区间上的单调性求参 【经典例题】 1.425商=下广西软州明末尼知函数f)=一+布其定义减内的一个了区间a2a+2内 不是单调函数，则实数a的取值范围是() B. 37 44 D.2) 【答案】D 【详解】因为话数0=广一h号>0在间Q2a2刃上不草游，所以 a-2≥0 14x2-1 f'(x)=2x- 2x 2x ,(x>0在区间(a-2a+2)上有零点，由f')=0,得x= 2则 a-2<1 <a+2 2 5 得2≤a<)故选：D.故选：A 2.若对任意的x1,x2∈(m,+),且x<X2, n,-血五<2，则实数m的取值范围是（） x2-X1 A. 1 B. c.) D.e 【答案】C 【详解】对任意的x,x2∈(m,+o),且x<x2, xn为-为n<2,易知m20 则x血为x血<2，-25，所以x(无+2)<5nx+2),即血5+2>血+2 令f)=lnx+2 ,则函数f()在m,+∞上单调递减. 9/19 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 因为f'(x)= n,由了水0，可得所以西致的单调莲发区间为怎树 所以om)（枚。，即实数m的取值范围为 ,+故选：C. 3.(2425高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期中)若函数f(x)=cos2x+asinx在区间 6'2 上是减函 数，则a的取值范围是() A.（-m,2] B.[4,+m) C.(2,4) D.[2,4] 【答案】A 详解】因为f)F-2sin2x+cos-三一4 4sincosx+acox=cosx(←4simx+a,而x∈石，时，函数f@ 单调递减，所以∫'(x)<0在x∈ 62 恒成立，即cosx(-4sinx+a)<0恒成立，因为cosx>0,所以 -4sinr+a<0,即a<4sinx在x∈ 兀兀 6’2 恒成立，因为y=4sinx在 6'2 上单调递增，则 4sinx>4sin亚=2，所以a≤2.故选：A. 6 【变式训练】 1.已知函数f(x)=x2+m,若f(x)在(2，+0)上单调递增，则实数m的取值范围为() A.(-m,16] B.(-m,8) C.(-0,-8)U(8,+0）D.(-∞，-16小[16，+∞) 【答案】A 【详解】由f()=+求导可得：f"()=2x-空，因为f()在(2，+o)上单调递增，所以在 e2+m)时，f)-2x-≥0，即m≤2，而当xe2+0)时，2>16，所以m≤16，故选：A 2.(2425高二下天津第二中学·月考)若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间 行2内存在单调递增区间，则实 数a的取值范围是() A.t B. C.[-2,+m) D.(-2,+0) 【答案】D 【详解1f9-+2ar-2+1,因为函数f)=nx+ar2-2在区间32内存在单调递增区间，所 以2ax2+1>0在 内有解，所以0>京成立，自于x2习：所以e任文气2 则实数a的取值范围是(-2，+o).故选：D 3.(24-25高二下·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)已知函数f(x)=cosx+ax,若对于任 10/19专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 专题5.2导数与函数的单调性 考点预览 考点06利用导数讨论含参函数的单调性 考点01利用导数判断函数的单调性 考点05由函数在区间上的单调性求参 导数与函数的单调性 考点02利用导数求函数单调区间 考点04函数与号函数的图象关系 考点03构造通数比较大小 一、必备知识 1.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数的单调性的关系 在某个区间(a,b)内，如果f'(x)≥0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)≤0， 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件： 可导函数f(x)在(a,b)上是增（减）函数的充要条件是对r∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x) 在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零. 2.含参函数单调性讨论依据 (1)导函数有无零点讨论（或零点有无意义）： (2)导函数的零点在不在定义域或区间内： (3)导函数多个零点时大小的讨论。 3.已知函数的单调性求参数 (1)函数f(x)在区间D上单调增（单减）→f'(x)≥0（≤0）在区间D上恒成立： (2)函数f(x)在区间D上存在单调增（单减）区间三f'(x)>0(<O)在区间D上能成立： (3)己知函数f(x)在区间D内单调一f'(x)不存在变号零点 (4)己知函数∫(x)在区间D内不单调→'(x)存在变号零点 二、考点专练： 目目 考点01 利用导数判断函数的单调性 【经典例题】 1.(2425高二下·云南昭通镇雄县第四中学·期中)（多选已知定义在R上的函数f(x)满足 fx+2)=f(2-x),f'(x)为f(x)的导函数，且对于任意的x∈R,都有(x-2)f'(x)≤0，则() 1/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 A.f(0)<f(4)B.f(-1)=f(5)C.x∈R,f(x)≤f(2)D.x∈R,f(x)≥f(2) 2.(2025·广西梧州·期考)函数f(x)=(x2-x)e*的图象大致是() 【变式训练】 1.(23-24高二下湖北五州期末)函数f()=血x的图象大致为(） 中% 2.(24-25高二下·云南临沧中学·期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式 (x2-2x-3)f'(x)<0的解集 目目 考点02 利用导数求函数单调区间 【经典例题】 1.(2425高二下广西南宁第三中学·期中)函数f(x)=(x+1)e2的单调递增区间是() B.(-2,+0) C.(-1,+0) D.(0,+o) 2/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 2.已知函数f(x)=(x-a)nx+(a-1)x.当a>0时，则函数f(x)的单调减区间为 【变式训练】 1.2425高下山东部分学校已知函数f(父)=2、则f因的单调递增区间为 2.45高=下山太原期适数()=hx子+的单调范减区间是《） A.（-n,-3)和(0,1)B.(-3,0)和(1，+∞)C.(0,1)D.(1,+w) 3.(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学.期中)己知函数f(x)=lnx+x2-3x(a∈R).则函数f(x)的单 调增区间为」 4.(2425高二下·四川成都树德中学·月考)设函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f(x)在区间D上是减 函数，且函数f'(x)在区间D上是增函数，称f(x)在区间D上是“缓减函数”，区间D称为f(x)的“缓减 区间”，若f(x)=cos2x+2sinx,下列区间是f(x)的“缓减区间”的是() A.[]B[ C. n[祭劉 3/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 目目 考点03 构造函数比较大小 【经典例题】 2.(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学期末)已知a=lnl.01,b=1.01,c=e.o1则() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b 2.(24-25高二下·云南保山期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x,x3∈(-o,0)且x≠x2,都 有，0.。=).日。=〔罗)别) x-七3 A.b<c<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<b<a 【变式训练】 1.(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学期中)已知a=41n3,b=3π，c=4ln元，则a,b,c的大 小关系是() A.b<a<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c 2.Q321有三下车庆主城区七校期未已知ah2bn5c。则ue的大小关系正确的是 5 () A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 3.(24-25高二上·云南保山期末)已知实数x,y满足：2-2'>y-x,则下列关系式恒成立的是() A.y.>c.h(时h(） D.x'>y' x V 4/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 目目 考点04 函数与导函数的图象关系 【经典例题】 1.(2025·广西南宁·期考)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，下列说法正确的是() A.函数y=f(x)在(-2,2)上是增函数 B.函数y=f(x)在(1，+o)上是减函数 C.x=-1是函数y=f(x)的极小值点 D.x=1是函数y=f(x)的极大值点 2.(21-22高二上·河北博野中学·月考)（多选如图所示是y=∫(x)的导数y=∫'(x)的图象，下列结论中 正确的有( A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数 D.x=2是∫(x)的极小值点 5/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 【变式训练】 1.(24-25高二下四川达州期中)（多选已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则(） X4/ A.f(x)在(x,x4)上单调递减 B.f(x)在(x,+o)上单调递增 C.f(x)的一个极小值为f(x) D.f(x)在[x,x]上的最大值为f(x:) 2.(多选设函数f(x)=(x+1)(x-2),则() A.f(x)有三个零点 B.x=1是f(x)的极小值点 C.f(x)的图象关于点(0，-2)中心对称 D.当0<x<1时，f()>f(x2) 3.(2425高二上·湖南长沙长那中学期末)已知可导函数f(x)的部分图象如图所示，f(2)=0,f'(x)为函 数f(x)的导函数，下列结论不一定成立的是() 0123453 A.f(I)<f(I)B.f'(5)<f(5)C.f(2)=f(2)D.f'(3)<f'(4)<f(5) 6/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 目目 考点05 由函数在区间上的单调性求参 【经典例题】 1.(2425高二下广西软州期末)已知函数f()=x-1nx+3在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)内 不是单调函数，则实数a的取值范围是() 2.若对任意的x,5∈m,,且<，n飞。二血5<2，则实数m的取值范围是（) x2-x A.t B.[e C. D. 3.(24-25高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期中)若函数f(x)=cos2.x+asinx在区间 上是减函 数，则a的取值范围是() A.（(-0,2] B.[4,+o∞) C.(2,4) D.[2,4] 【变式训练】 1.已知函数f(x)=x2+m,若f(x)在(2，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为() A.（-0,16] B.(-m,8) C.(-m,-8)U(8,+∞)D.(-m,-16[16+∞ 7/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 2.(2425高二下·天津第二中学·月考)若函数f(x)=nx+ax2-2在区间 32内存在单消造塔区间，则实 数a的取值范围是() A[gB.（gm C.[-2,+m) D.(-2,+0) 3.(2425高二下·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)已知函数f(x)=cosx+ax,若对于任 意两个不相等的实数x、,都有)-f>0恒成立，则实数a的取值范围是（） X1一X2 A.[1,+0) B.[0,1] C.（-o,0] D.R 目目 考点06 利用导数讨论含参函数的单调性 【经典例题】 1.(22-23高三上·吉林长春第二实验中学·月考)已知函数f(x)=ln(x-1)-a2x(a∈R). 讨论函数f(x)的单调区间. 2.(2425高二下-浙江建德寿昌中学)已知函数f()=ax-(a+)x+hx.求函数f()的单调区间。 8/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 3.(24-25高二下·河南郑州第一中学.期中)已知函数f(x)=ae2+(a-2)e-x.讨论f(x)的单调性. 【变式训练】 1.(24-25高二下广西崇左期末)已知函数f(x)=alnx+1+a.讨论f(x)的单调性. 2.(24-25高二下山西晋城部分学校期中)已知函数f(x)=kx-lnx(k∈R).讨论f(x)的单调性， 3.(24-25高二下·湖南多校联考)已知函数f(x)=e*-ax-1,a∈R.讨论f(x)的单调性. 本2425病=下河北衡水年城县单续实验中学月均已知西数闭=-0ra=0. 讨论f(x)的单调性； 9/12 专题5.2导数与函数的单调性 高中数学导学案 三、达标检测 1.设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f'(x)的图象可能是() 2.函数y=x2-lnx的单调递减区间为() A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+o) D.(0,+o) 3.(24-25高二下·河北保定部分高中·月考)已知函数f(x)=alnx-x存在单调递增区间，则实数a的取值 范围为() A.[0,+) B.(1,+o) C.(0,+0) D.[1,+o) 4.(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)（多选）已知函数∫(x)的定义域为R,其导函数为 f(x),f(x)的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是( A.f(x)在(3，+n)上单调递增 B.f(x)的最大值为f) C.f(x)的一个极大值点为-1 D.f(x)的一个减区间为1,3) 5.(21-22高二上·河北博野中学·月考)（多选如图所示是y=f(x)的导数y=f'(x)的图象，下列结论中 正确的有( A.f(x)在区间(-3,1)上是增函数 B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数 D.x=2是f(x)的极小值点 6.(21-22高二下·福建厦门同安实验中学·月考)（多选已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则 10/12专题5.2 导数与函数的单调性 高中数学导学案 专题5.2 导数与函数的单调性 考点预览 一、必备知识 1. 利用导数研究函数的单调性 （1）导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2.含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3.已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 二、考点专练： 地 城 考点01 利用导数判断函数的单调性 【经典例题】 1．(24-25高二下·云南昭通镇雄县第四中学·期中) （多选已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（   ） A． B． C．， D．， 【答案】BC 【详解】当时，，故A错误；当时，，故B正确；对于由知，的图象关于直线对称，又，当时，，即在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增，，，故C正确，D错误．故选：BC. 2．(2025·广西梧州·期考)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，令，即，解得、，所以当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，故排除A、D；当时，，所以，故排除C；故选：B 【变式训练】 1．(23-24高二下·湖北五州·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得函数定义域为，，所以函数为奇函数，故排除AB；时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；又当时，故排除C.故选：D 2．(24-25高二下·云南临沧中学·期中)已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集 ． 【答案】 【详解】由函数的图象，得当或时，函数单调递增，则；当时，函数单调递减，，不等式化为或，解，无解；解，得，所以不等式的解集. 故答案为： 地 城 考点02 利用导数求函数单调区间 【经典例题】 1．(24-25高二下·广西南宁第三中学·期中)函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，又，令，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：A 2．已知函数.当时，则函数的单调减区间为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，则函数在上单调递增，而，当时，；当时，，函数的递减区间为. 【变式训练】 1．(24-25高二下·山东部分学校·)已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知函数定义域为，因为，所以，令，得，所以，即，所以的单调递增区间为， 2．(24-25高二下·山西太原·期中)函数的单调递减区间是（   ） A．和 B．和 C． D． 【答案】C 【详解】由题设且，当，则，在上单调递减，当，则，在上单调递增，所以单调递减区间是.故选：C. 3．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数．则函数的单调增区间为 . 【答案】和 【详解】当时， ，，， 由，可得或，由，可得， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是和； 4．(24-25高二下·四川成都树德中学·月考)设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间是的“缓减区间”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 又，由，得,解得，， 即的单调递减区间为，. 设， 则， 由，得，即， 又，则，解得，， 即的单调递增区间为，． 由“缓减区间”的定义可得的“缓减区间”为，， 而是的子集，是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”； 不是的子集，不是“缓减区间”. 故选：A. 地 城 考点03 构造函数比较大小 【经典例题】 2．(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，，构造函数，求导，易知当时，，单调递增；所以，所以，所以，故选：A 2．(24-25高二下·云南保山·期中)已知函数是定义在上的偶函数，，且，都有，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，都有， 所以在上单调递增，单调递减，所以，，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即，故，又在上单调递减，，即，故选：A 【变式训练】 1．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，，，， 构造函数，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因，所以，即，即，所以；又，所以，即.综上，.故选：C. 2．(23-24高二下·重庆主城区七校·期末)已知，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，因为， 所以，，因为，所以，所以故选：D 3．(24-25高二上·云南保山·期末)已知实数满足：，则下列关系式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，令，则，因为和是上的增函数，所以是上的增函数，所以由得，因为当时，满足，但，，都不成立，所以ABC错误因为在上单调递增，所以时恒成立，所以D正确.故选：D． 【经典例题】地 城 考点04 函数与导函数的图象关系 1．(2025·广西南宁·期考)如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点 【答案】A 【详解】由图象可知，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误．故选：A 2．(21-22高二上·河北博野中学·月考) （多选如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据图象知当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误.故选：BC. 【变式训练】 1．(24-25高二下·四川达州·期中) （多选已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 【答案】BD 【详解】由图可知，当时，，当时，，所以在上单调递减，在，上单调递增，极小值为，在上的最大值为，所以选项A和C错误，选项B和D正确，故选：BD. 2．（多选设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 【答案】BC 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A 选项错误；对于B，由，令，解得或， 当或时，，即在和上单调递增，当时，，即在单调递减，所以是的极小值点，故B选项正确；对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确；对于D，当时，单调递减，则当时，单调递减，又当时，，所以，故D选项错误；故选：BC. 3．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立；由图可知，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立；由图可知，，故C成立；由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立.故选：B. 地 城 考点05 由函数在区间上的单调性求参 【经典例题】 1．(24-25高二下·广西钦州·期末)已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在区间上不单调，所以在区间上有零点，由，得，则得，故选：D．故选：A. 2．若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意的，，且，，易知， 则，所以，即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得，所以函数的单调递减区间为， 所以，故，即实数的取值范围为．故选：C． 3．(24-25高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期中)若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，而时，函数单调递减，所以在恒成立，即恒成立，因为，所以，即在恒成立，因为在上单调递增，则，所以.故选：A． 【变式训练】 1．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由求导可得：，因为在上单调递增，所以在时，，即，而当时，，所以，故选：A. 2．(24-25高二下·天津第二中学·月考)若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为函数在区间内存在单调递增区间，所以在内有解，所以成立，由于，所以，，则实数的取值范围是．故选：D. 3．(24-25高二下·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)已知函数，若对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立，所以在上单调递增，因为，则恒成立，所以恒成立，又，所以，即实数的取值范围是.故选：A 【经典例题】地 城 考点06 利用导数讨论含参函数的单调性 1．(22-23高三上·吉林长春第二实验中学·月考)已知函数．讨论函数的单调区间； 【详解】函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，在上单调递增； 当时，解得，解得，此时在上单调递增，在上单调递减. 2．(24-25高二下·浙江建德寿昌中学·)已知函数.求函数的单调区间. 【详解】的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 3．(24-25高二下·河南郑州第一中学·期中)已知函数.讨论的单调性； 【详解】 ①当时，  在上递减； ②当时，令，， 当时，，当时，， 在上递减，在上递增. 【变式训练】 1．(24-25高二下·广西崇左·期末)已知函数．讨论的单调性； 【详解】由题设，且， 当时，，则在上单调递减， 当时，有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上， 时在上单调递减， 时在上单调递减，在上单调递增. 2．(24-25高二下·山西晋城部分学校·期中)已知函数.讨论的单调性； 【详解】的定义域为，， 当时，因，所以恒成立， 即在为单调递减函数； 当时，令，所以 当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数， 综上，当时， 在为单调递减函数； 当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数. 3．(24-25高二下·湖南多校联考·)已知函数，.讨论的单调性； 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 4．(24-25高二下·河北衡水阜城县阜城实验中学·月考)已知函数. 讨论的单调性； 【详解】（1）的定义域为R，. 若，令，得或，令，得； 若，令，得或，令，得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 三、达标检测 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D；当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B．故选:A． 2．函数y=x2㏑x的单调递减区间为（ ） A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞） 【答案】B 【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B 3．(24-25高二下·河北保定部分高中·月考)已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知在上有解，即在上有解， 可得，所以．故选：C． 4．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)（多选）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】ABC 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0，故无法确定在上单调递增，A说法错误；BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确；C选项，从图象上可以得到，在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误.故选：ABC 5．(21-22高二上·河北博野中学·月考) （多选如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】BC 【详解】根据图象知当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：BC. 6．(21-22高二下·福建厦门同安实验中学·月考) （多选已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数 C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点 【答案】BD 【详解】对选项A，，，为减函数，故A错误；对选项B，，，是减函数，故B正确；对选项C，，，是增函数，，，是减函数，所以为函数的极大值点，故C错误；对选项D，，，是增函数，，，是减函数，所以为函数的极大值点，故D正确.故选：BD 7．(24-25高二下·云南玉溪第一中学·期中)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题可知，在上恒成立，即恒成立，令，则，所以函数在上单调递增所以，解得，则实数的取值范围是.故答案为：. 8．(24-25高二下·北京首都师范大学附属育新学校·月考)函数在上为增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上为增函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又在上单调递增，所以，即满足题意的实数的取值范围是.故答案为： 9．(24-25高三上·黑龙江六校·期末)已知函数.讨论的单调区间； 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. 10．(21-22高二下·天津第一中学·期中)已知函数 (1)若，求的增区间； (2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围； 【详解】（1）的定义域是，时，， 令，得，∴函数的增区间是. （2），由函数存在单调递减区间，知在上有解区间，∴，即，而，当且仅当时取等号，∴，（当时，不等式只有唯一的解，不符题意舍去），又，∴的取值范围是． 11．(24-25高三下·湖北十堰·调研)已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性； 【详解】（1）因为，则， 由，可得，所以直线与曲线的切点坐标为， 故，解得. （2）因为，所以函数的定义域为， 由可得，由可得， 故函数的增区间为，减区间为. 12．(24-25高二下·广西南宁第二十一中学·期中)已知函数． (1)设，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【详解】（1）因为，所以函数.对函数求导得：. 因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线斜率为-1， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为，所以. 令，则. 当时，或时，;时，. 此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 当时，或时，;时，. 此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是. 当时，，此时函数在上单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，函数在上单调递增. 13．(24-25高二下·广西河池·期末)已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域内为增函数，求实数a的取值范围； 【详解】（1）若，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数在定义域为，且， 由题意可知：在定义域内单调递增，可得， 原题意等价于在定义域内单调递增， 构建，则， 又因为在定义域内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数a的取值范围为. 14．(24-25高三上·山东齐鲁名校联盟�天一大联考·)设函数. (1)讨论的单调区间. (2)已知直线是曲线在点处的切线. （i）求直线的方程； （ii）判断直线是否经过点. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则恒有，函数在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无递减区间. （2）（i）由（1）知，，而， 则直线的方程为，即. （ii）由（i）知，直线的方程为， 当时，， 令，而， 求导得，函数在上单调递增， 因此，即，，而，于是， 所以直线不经过点. 试卷第1页，共3页 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $专题5.2 导数与函数的单调性 高中数学导学案 专题5.2 导数与函数的单调性 考点预览 一、必备知识 1. 利用导数研究函数的单调性 （1）导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2.含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3.已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 二、考点专练： 地 城 考点01 利用导数判断函数的单调性 【经典例题】 1．(24-25高二下·云南昭通镇雄县第四中学·期中) （多选已知定义在R上的函数满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（   ） A． B． C．， D．， 2．(2025·广西梧州·期考)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(23-24高二下·湖北五州·期末)函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·云南临沧中学·期中)已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集 ． 地 城 考点02 利用导数求函数单调区间 【经典例题】 1．(24-25高二下·广西南宁第三中学·期中)函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数.当时，则函数的单调减区间为 . 【变式训练】 1．(24-25高二下·山东部分学校·)已知函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·山西太原·期中)函数的单调递减区间是（   ） A．和 B．和 C． D． 3．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)已知函数．则函数的单调增区间为 . 4．(24-25高二下·四川成都树德中学·月考)设函数的导函数为，若函数在区间上是减函数，且函数在区间上是增函数，称在区间上是“缓减函数”，区间称为的“缓减区间”，若，下列区间是的“缓减区间”的是（ ） A． B． C． D． 地 城 考点03 构造函数比较大小 【经典例题】 2．(24-25高二上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·云南保山·期中)已知函数是定义在上的偶函数，，且，都有，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·期中)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·重庆主城区七校·期末)已知，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·云南保山·期末)已知实数满足：，则下列关系式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点04 函数与导函数的图象关系 1．(2025·广西南宁·期考)如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．是函数的极小值点 D．是函数的极大值点 2．(21-22高二上·河北博野中学·月考) （多选如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【变式训练】 1．(24-25高二下·四川达州·期中) （多选已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．的一个极小值为 D．在上的最大值为 2．（多选设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 3．(24-25高二上·湖南长沙长郡中学·期末)已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点05 由函数在区间上的单调性求参 【经典例题】 1．(24-25高二下·广西钦州·期末)已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·云南昭通昭通一中教研联盟·期中)若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·天津第二中学·月考)若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·云南昆明官渡区云南大学附属中学星耀学校·期中)已知函数，若对于任意两个不相等的实数、，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题】地 城 考点06 利用导数讨论含参函数的单调性 1．(22-23高三上·吉林长春第二实验中学·月考)已知函数． 讨论函数的单调区间. 2．(24-25高二下·浙江建德寿昌中学·)已知函数.求函数的单调区间. 3．(24-25高二下·河南郑州第一中学·期中)已知函数.讨论的单调性. 【变式训练】 1．(24-25高二下·广西崇左·期末)已知函数．讨论的单调性. 2．(24-25高二下·山西晋城部分学校·期中)已知函数.讨论的单调性. 3．(24-25高二下·湖南多校联考·)已知函数，.讨论的单调性. 4．(24-25高二下·河北衡水阜城县阜城实验中学·月考)已知函数. 讨论的单调性； 三、达标检测 1．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．  B．  C．  D．   2．函数y=x2㏑x的单调递减区间为（ ） A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞） 3．(24-25高二下·河北保定部分高中·月考)已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·江苏常州北郊高级中学·期中)（多选）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 5．(21-22高二上·河北博野中学·月考) （多选如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．在区间上是增函数 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 6．(21-22高二下·福建厦门同安实验中学·月考) （多选已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间上，函数是增函数 B．在区间上，函数是减函数 C．为函数的极小值点 D．2为函数的极大值点 7．(24-25高二下·云南玉溪第一中学·期中)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 8．(24-25高二下·北京首都师范大学附属育新学校·月考)函数在上为增函数，则实数的取值范围是 . 9．(24-25高三上·黑龙江六校·期末)已知函数.讨论的单调区间. 10．(21-22高二下·天津第一中学·期中)已知函数 (1)若，求的增区间； (2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围. 11．(24-25高三下·湖北十堰·调研)已知函数． (1)若直线与曲线相切，求的值； (2)讨论的单调性. 12． (24-25高二下·广西南宁第二十一中学·期中)已知函数． (1)设，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 13．(24-25高二下·广西河池·期末)已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域内为增函数，求实数a的取值范围. 14．(24-25高三上·山东齐鲁名校联盟�天一大联考·)设函数. (1)讨论的单调区间. (2)已知直线是曲线在点处的切线. （i）求直线的方程； （ii）判断直线是否经过点. 试卷第1页，共3页 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $