第三章圆锥曲线知识清单-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线知识点总结 一、圆锥曲线的图像与性质 1椭圆图像与性质： 标准方程 2+=1(a>b>0) v2 x2 2+京=1(a>b>0) 不 图形 点 焦点坐标 F(-e,0)F2(c,0) F(0,-c)F2(0,c) 相 定义 平面内到两个定点E,F,的距离的和等 于常数（大于F,F,)的点的轨迹 同 a、b、c的关系 c2=a2-b2 点 焦点位置的判断 x2与y2的分母哪个大焦点就在哪条轴上 长轴长：2a 短轴长：2b 2.双曲线的图像与性质： 标准方程 x2y2 a2 b2 =1(a>0,b>0) Y_x=1(a>0,b>0) a2 b2 图形 性 质 焦点 F(-c,0),F2(c,0) F0,-c), F2(0,C 焦距 F F2=2c 焦点在×轴椭圆、双曲线对比总结： 椭圆 双曲线 定义 MF |+MF,|=2a,2a>FF2l MF I-MF,II=2a,0<2a<IF F2l 63 =1(a>b>0) x2 y2 a2 B2 =1(a>0,b>0) 方程 y2,x2 a2+方=1a>b>0) a2-2=la>0,b>0) F(±c,0) F(±c,0) 焦点 F(0,±c) F(0,±c) a,b,c的关 系 a>b>0,a最大a2-b2+c2 a>0,b>0,但a不一定大于 b,c最大，c2=a2+b2 3.抛物线图像与性质： 图形 方程 焦点 准线 范围 顶点对称轴 e y2 =2px o x20 (p>0) X_P 2 y∈R x轴 y2=-2p.x F(2,0 x≤0 r=D (D>0) 2 y∈R (0,0) 1 x2 2py y≥0 (p>0) F@ y号 x∈R y轴 x2=-2py (p>0) Fo-月 ys0 2 x∈R 二、圆锥曲线中的二级结论 【性质】横图等+广=1a>6>0和双曲线 京=1(a>0,b>0)通径的端点坐标为 y2 a+6 b2 C,± 抛物线y2=2pxp>0)通径的端点坐标为 号±p 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为26， ,抛物线的通径长为2p 【性质3】椭圆焦点三角形的面积为S=b.a 0 (0为焦距对应的张角) 证明：设PE=m,PE=n m+n=2a(1 2c2=m2+n2-2 mn cos0(2),(12-(2:mn= 2b2 1+cos0 1 S rpr:=mnsin(3) 00 →S5%=b2,sin6 2sincos =b2.2 0 1+cos0 2cos20 双曲线中货点三角形的面积为S=。（0为距对应的聚角】 tan- 2 【性质4】 1、若椭圆与直线I交于AB两点，M为AB中点，且kB与kO斜率存在时，则 8Kw=- 一Q1(焦点在x锥上时，当焦点在y辅上时，kaKa=g b2 若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点，kK阳=一Q b2 （焦点在x轴上时)， 宵焦点在y轴上时，k2K,二了 b P双曲线焦点在x能上为kak8三·焦惠春在上为w大。 3、设直线1与抛物线)=2x相交所得的弦B的中点坐标为x,%小，则k=卫 yo 【性质5】 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为0直线的1经过抛物线y2=2x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，则 @Fos0B驴kP ,1+1=2 1+cos0 FA FB p ②|AB=2p p* sin20 SA04B=2si 。AB卡2p1+) ®到AFFx+号BFF,+号4B卡++p 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线y2=2px的焦点为F,A(x,y),B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点， 求证：七= 45=-p2 ②一般地，如果直线I恒过定点M(m,0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，那么 xaX8=m',yay8 =-2pm. ③若OA⊥OB→AB恒过定点(2p,0) 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2=2x>0)焦点F的弦，若Ac1,y),B2,y),则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切.②以AF或BF为直径的圆与y轴相切