第四章数列知识清单-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列知识点复习 有穷数列 按项数 无穷数列 递增数列 分类e 递减数列 按大小 般数列 常数列 摆动数列 数列 列表法 表示方法 解析法 通项公式 递推公式 图像法 等差数列 概念 性质 应用 特殊数列· 等比数列 概念 性质 应用 数学到归纳法 等差数列 等比数列 定义 an+-an =d an+1÷am=9 通项 an a +(n-1)d a,dig"-i 中 a,Ab成等差数列，则 a,G,b成等比数列，则 项 A=(a+b)/ G2=ab an=am+(n-m)d放d=a。-a 性 n-m an=an9”-m故g”m=0五 a 若m+n=p+q则an+am=a。十ag 质 若m+n=p+q则an~am=ap~a, Sx,Sk-S,S-Sk仍成等差 S,S2k-S,S-S2仍成等比 求和 s,=na+a）=a,+ n(n-1)d a,1-g")_a1-a9 9≠1 公式 2 2 S,= 1-9 1-q na q=1 a [Sn-Sn1n≥2 关系式 an= 适用所有数列 S n=1 概念 an-an-1=d 通项公式 an=a+(n-1)de an=am+(n-m)d 公式 前n项和公式 (atan) S=- 2 S,=na+m(nDd 2 若m+n=p+q,则 等差中项！ 下标和 若a,A,b成等差， 等差数列· am+an-ap+ag 则2A=a+b 等差数列{a,}的前n项和为Sm, 常用性质© 片段和 则数列SnS2m-Snm,S3m-S2m 也是等差数列 等差数列{a,}的前n项和为Sm, 则数列 S 也是等差数列 n ※等差数列常用结论： 1.已知数列{an}的通项公式是an=dn+m(d,m为常数)，则数列一定是等差数列。（关于n的 一次函数) 2.数列{an}的前n项和为S,则数列{an}为等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn(A,B∈R) ¤求Sn的最值可求二次函数S。=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界 项，即： 当a,>0,d<0,解不等式组 an≥0 可得S达到最大值时的n值。 an1≤ 当a1<0,d>0,由 an≤0 可得S,达到最小值时的n值。 an1≥ S21 3.若数列（小.，均为等差数列且前n项和分别为5nT则完= 121 概念 an=q an-1 通项公式 0n=a191-1e an=Qm9”-m 公式 S,=na,(q=1) 前n项和公式 等比数列· 1(1-g") Sn= ,(g≠1)© 9g ,(q≠1) 1-q 若m+n=p+q,则 下标和 aman-apag 性质 等比数列{a,的前n项和为Sm, 片段和 则数列Sm,S2m-Sm,S3m一S2m 也是等比数列 ※等比数列常用结论： 1.若{a}为各项均为正数的等比数列，则{log,an}(b>0,b≠1)必为等差数列： 若a}为等差数列，则6(b>0,b≠1)必为等比数列. 2.等比数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(AB≠0，q≠1)，则必有A+B=0;反之非常数列的 前n项和Sn=Aqn-A(A≠0，q≠1)则数列an}必为等比数列. 3.等比数列{an的奇数项符号相同，偶数项符号相同. ☆求通项公式的方法 1.公式法 1,n=1 2.an与Sn关系 an=Sn- n-1,n≥2 需检验a1 是否符合题意 3.累加法 形如an-an-1=f(n)(neN,且n≥2) 方法9 4.累乘法 形如a,=fom)(neN且心2) 5.倒数法形如分式a1= pa gand +k 6.构造法 ¤求前n项和方法： ①倒序相加法 数列中首末两端等“距离”的两项的和相等，可用倒序相加法求前项和 2分组转化法 数列通项公式由等差数列或等比数列阻成，可用分组转化法求前项和 3并项转化法 前n项和中两两结合后可求和，可用并项转化法求前n项和 4错位相减法 数列通项公式由一个等差数列和一个等比数列的乘积 构成，可用错位相减法 ⑤裂项相消法 数列通项公式拆成两项之差，求和时中间的一 些项可以相互抵消，从而求得其和 裂项求和法 常见的拆项公式有： 1 11 2.1=1 n(n+1)nn+1 n(n+k)k'n n+k 1 11-1》 4、1 =(n+1-vn) (2n-1)(2n+1）22n-12n+1 n+1+/n 错位相减法求和提醒：（数列{c}满足：C=anba,其中一个因式构成等差数列，另一个因 式构成公比q≠1的等比数列，根据题目信息写出前n项和 T为①式，将①式左右两边同乘以q得致②式，做差计算) T=ab+ab2+ab3+...+anb+ab