第一章空间向量与立体几何公式总结-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教版a版选择性必修一公式汇总 第一章空间向量与立体几何 一、空间向量基本运算 设a=(a,a,a,6=(6,b,b)' 空间向量的坐标运算法则如下表所示： 法 a+b=(a1+b,a2+b2,a3+b3) 法 a-b=(a,-h,a2-b2,a,-b) 乘 2a=(2a1,2a2,1a3)(2∈R) 数量 积 a.b=ab +abz+asb; 空间向量的平行与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(亿1，b2,b3)(a,伪非零向量) 1.向量不行 a∥b台b=a台b=a,b,=a,b=a(2∈R) 2.向量垂直 a⊥b台ab=a,b1+ab2+ab3=0. 3.向量模长 lal=va.a=vai+aj+aj 4.向量夹角余弦 cos(a.b)= a.b ab +ab,asb; va+a+a+b+b 5所点距离 设4=(1，，，B=(2,J2,,则AB到=√（一P+02一hP十(2一P 二、线面：置笑系 位置关系。 回睾表示 图形表示 设4，分别是不重合的直线1，，的方向向量， 44 儿线线草行 则1，∥，台u∥台3A∈R,使得u=A达. 车 2.线面草行 设u是直线的方向向量，n是平面a的法向量，1da,· 行 则1∥a台u⊥台u·n=0. 5.面面年行。 设n,n分别是不重合的平面a,B的法向量，· 则a∥Bn∥n台3AeR,使得n=An.· 位置关系 向景表示。 ③形表元。 4.线线香直。 设直线1,1的方向向量分别为山，，· 则1：⊥1，台u⊥w台u·4=0. 直5.线面垂直。 设直线I的方向向量为山，平面a的法向量为n, 则I⊥a台u∥台3A∈R,使得=n~ 6.面面垂直. 设平面a,B的法向量分别为n,,· 则a⊥B台n⊥n台n·n=0.e 三、空间角与距离 7.点P到直线1的距离为d,=日-G :(其中u为直线1的单位方向向量，向量a= 8.点B到平面a的距离为d=AB-)n.(n为平面a的法向量) 9.cos 0=lcos Bl=la.bllallb,( (异面直线11与12所成的角0，a与b的夹角B) 10.sin 0=lcos 8=la.nllallnl,e0] (直线1与平面a所成的角为0，a与n的夹角为B) 11.cos o=lcos (m.n2)|=In1.n21 In1 n21,(0 (设平面α与平面B的夹角为0.注意：二面角与两个平面夹角的不一样) 图① 图② 图③ 补充： 几何体（柱体、锥体、台体、球体） 一、几何体表面积与体积 图形 表面积公式 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图 多面体 的面积 D A B S直棱柱侧=ch(c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高 直棱柱 ) S表=S侧十2S底 (1为圆柱的母线长，x为圆柱底面的半径) 底面积：S底=π2 圆柱 侧面积：S侧=2rr1 表面积：S=2r1+2πr2 几何体 侧面展开图 侧面积公式 S正棱锥侧=12ch 正棱锥 c为底面周长；h'为斜高，即侧面等腰三角形的 高 S圆锥侧=rrl 圆锥 r为底面半径，1为侧面母线长； 名称 定义 图形表示 相关概念 球心 半径 球心：半圆的圆心 半圆以它的直径所在直 半径：连接球心和球面上 线为旋转轴，旋转一周形成的 球 任意一点的线段 曲面叫做球面，球面所围成的 直径 如图可记作：球 直径：连接球面上两点并 旋转体叫做球体，简称球 0 经过球心的线段； 体积公式： 1.长方体（长a,宽b,高c):V=abc 2.正方体（棱长a):V=a3 3.棱柱（含直棱柱、斜棱柱）（底面积S底， 高h):V=S底·h 4.棱锥（底面积9，高）：V=背9。力 5.棱台（上底面积S上，下底面积5下，高h): V=3h(S上+S不+V5S不) 6.圆柱（底面半径r,高h):V=2h 7圆锥（底面半径，高）：V=}rh 8.圆台（上底面半径r,下底面半径R,高 月：V=hr2+e+m) 9球（伴径）：V-代 二、线面平行与垂直的判定定理和性质定理 图 符合语言 aga 线面平行 bCa →a∥a 判定定理 a∥b mCa nca 线面垂直 m m∩n=P →l⊥a 判定定理 La n- 1⊥m 1⊥n acB a bcB 面面平行 anb=P >→B∥a 判定定理 a/∥a b∥a 面面垂直 aca 判定定理 aLB →a⊥B B a∥a 线面平行 acB 性质定理 a →a∥b anB=b a∥β 面面平行 a∩y=a →a∥b 性质定理 Bny=b a b a⊥a 线面垂直 →a∥b 性质定理 b⊥a a⊥B B 面面垂直 anB=a 性质定理 ILa →1⊥ a ICB