专题02 平面向量基本定理、共线定理及其推论、等和线（专项训练4大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题02 平面向量基本定理、共线定理及其推论、等和线 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、平面向量基本定理及其应用 1 题型二、平面向共线定理（含三点共线）（重点） 3 题型三、平面向共线定理的推论（常考点） 4 题型四、等和线问题（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 6 题型一、平面向量基本定理及其应用 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 7．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 题型二、平面向共线定理（含三点共线）（重点） 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 4．如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川绵阳·月考）设a，b是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为 ． 6．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则 题型三、平面向共线定理的推论（常考点） 1．如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 题型四、等和线问题（难点） 1．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在扇形中，，点在圆弧(包含端点)上运动，若，则的取值范围是 4．如图，点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA平行.若，则当时，x的取值范围是    5．在平行四边形中，为的三等分点，为与的交点，为边上一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围是 6．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是 ． 1．已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津·期末）在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 7．（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 8．已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·天津·月考）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 11．（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 12．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·广东广州·期中）（多选题）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 14．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是 ． 15．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 16．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）在平行四边形中，，交于点，若，则 . 18．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 19．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. (1)用，表示，并求的模； (2)求的长. 20．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量基本定理、共线定理及其推论、等和线 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、平面向量基本定理及其应用 1 题型二、平面向共线定理（含三点共线）（重点） 6 题型三、平面向共线定理的推论（常考点） 9 题型四、等和线问题（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 17 题型一、平面向量基本定理及其应用 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 2．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 3．如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 4．（24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，运用向量的加减数乘运算，将用向量表示即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，则点G为 的三等分点， 即， 则． 故选：C. 5．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 6．（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【详解】（1）点是的中点，， 故， ； （2）由（1）知， ． 7．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算求解； （2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得． 【详解】（1）∵，分别为，的中点， ∴； （2）设， ∵，分别为，的中点， 所以， 因为三点共线，三点共线， 所以，解得， 即， 由已知与平行且相等，因此是平行四边形， 所以，是等边三角形， 所以． 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 题型二、平面向共线定理（含三点共线）（重点） 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的表达式，由题意可知存在，使得，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为、、三点共线，所以存在，使得， 即， 因为、是平面内的一组基底，所以，解得，． 故选：D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【详解】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知与是两个不共线的向量，且向量同向，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量同向可得存在正实数使得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】已知向量同向，所以存在正实数使得， 比较系数可得，即，所以，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 4．如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 5．（24-25高一下·四川绵阳·月考）设a，b是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量共线的判定定理，列出关系式，求出结果. 【详解】P，Q，R三点共线， ,可得，化简得，解得. 故答案为：. 6．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则 【答案】8 【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数的方程，求出参数关系. 【详解】因为，所以，则， 所以，， 因为为的中点，故． 又因为、、三点共线，则， 所以，存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线，所以， 所以，，故． 故答案为：8. 题型三、平面向共线定理的推论（常考点） 1．如图，在中，点是线段上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线设，，从而得到，得到方程组，求出. 【详解】因为三点共线，所以设， 即，整理得：， 因为，所以，解得： 故选：C 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，得到，由，得到，结合三点共线，即可求解. 【详解】在中，因为，即为的中点，所以， 又因为，所以， 因为三点共线，可得，所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知为的重心，线段上一点满足，与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用重心及向量的中线公式得到，结合条件及向量共线的推论，即可求出结果. 【详解】如图，因为为的重心，所以在中线上，且， 又，所以， 设，所以， 又，所以，又三点共线， 所以，得到，所以， 故选：B. 5．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解. 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 6．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据三点共线可求的关系式，再结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为的中点，故， 而三点共线，故存在实数，使得， 所以，而不共线， 故，所以， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：B. 题型四、等和线问题（难点） 1．如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【详解】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故选：C.    2．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    3．如图，在扇形中，，点在圆弧(包含端点)上运动，若，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据等和线分析特殊位置即可得出的取值范围. 【详解】如图，取的四等分点(靠近点)，作出直线， 则，令. 所以点在与直线平行的直线上，设交直线于，则， 当重合时，取最大值4; 当重合时，取最小值1; 综上可知，. 故答案为： 4．如图，点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA平行.若，则当时，x的取值范围是    【答案】. 【分析】构造平行四边形数形结合确定x的范围即可. 【详解】当y=时，要使点P落在指定区域内，M为OA的中点，,点P应落在线段上，作交OB于点C，则，因此x的取值范围为.    故答案为：. 5．在平行四边形中，为的三等分点，为与的交点，为边上一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围是 【答案】 【详解】 如图，作，则，过点作直线的平行线，交于，过点作直线的平行线，交于， 已知，相似比，所以， 设，因为三点共线，所以， 设，则，即， 因为为内一点（含边界），所以在线段之间（含端点），则， 所以，由，得. 故答案为：. 6．在中，，，点为内（包括边界）任意一点，若，其中，，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】构造“等和线”解题，作，连接，则，对应的，作与平行的直线，点在同一直线上时，相等，求出过和的直线对应的“和”，即可得所求范围． 【详解】构造“等和线”解题，作， 连接，则， 所以， 显然对应的， 作出的一系列平行线，对应的 对应的， 过点对应的等和线，过点对应的“等和线：， 所以的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量基本定理的应用．利用结论：若是不共线向量，，则共线，由此可得，当点在与平行的直线上时，对应的相等，这就是“等和线”．由此可解决平面向量中一类范围问题． 1．已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解. 【详解】由题意，，设，即， 则，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算与共线定理即可得出结论. 【详解】，所以共线， 即三点共线，故A正确； ，，，不共线，故B错误； ，，，不共线，故C错误； ，，， 不共线，故D错误； 故选：A 3．（24-25高一下·浙江衢州·期末）已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为是的重心，所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则即可求解. 【详解】 ∵，，∴，. ∵，分别是，的中点，∴，. 又，，∴，即. 故选：A. 5．（24-25高一下·天津·期末）在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，利用平行线分线段成比例可推导得到，结合向量加法和数乘运算可求得结果. 【详解】作，交于点，   ，，， ，， . 故选：C. 6．（24-25高一下·湖北十堰·期中）已知，是两个不共线的向量，向量与方向相同，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线得到方程，从而得到或，经过检验，排除不合要求的值，得到答案. 【详解】由，不共线，易知向量为非零向量， 由向量与方向相同， 可知存在实数，使得，即. 由，不共线，必有， 否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾. 由，解得或， 当时，两向量分别为，，方向相反，与题意不符. 当时，，，方向相同，符合题意. 因此，当向量与方向相同时， 故选：B 7．（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得. 故选：D． 8．已知点为所在平面内一点，且，若点落在的内部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点 落在 的内部，所以 ， 两点在直线 的同一侧，所以由推广知， ，所以 .故选D. 9．在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算法则，利用表示，结合向量三点共线的定理列式运算求解. 【详解】由，得. 因为共线，所以，解得. 故选：B. 10．（24-25高一下·天津·月考）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为16. 故选：B. 11．（23-24高一下·河北·期末）在中，为线段上（不包含端点）不同的两个动点．若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】依题意设，根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理得到方程组，整理得解. 【详解】因为，所以， 设， 则 ， 又，且、不共线， 则，所以．    12．在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 【详解】解：由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 13．（24-25高一下·广东广州·期中）（多选题）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 14．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由平面向量的线性关系及共线，得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由题设，且共线，则， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值是. 故答案为： 15．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 16．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意作图，利用平面向量基本定理，结合相似三角形线段长成比例，计算求解. 【详解】 如图，取中点，连接交于，过作，交的延长线于， 过作，交的延长线于， 则， 易知，则，所以， 设，因为三点共线，所以， 设，则，即， 当点在内（含边界）时，在线段上（含端点）， 所以， 由，，可得. 则的取值范围是. 故答案为：. 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）在平行四边形中，，交于点，若，则 . 【答案】/ 【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理将用线性表示，对照系数即得. 【详解】如图，中，，则与相似， 因，则， 故， 即，故. 故答案为：. 18．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助平面向量线性运算与平面向量基本定理计算即可得； （2）借助平面向量线性运算及数量积的计算公式计算即可得. 【详解】（1）因为在菱形中，， 故， 故，所以； （2） ， 在菱形，且， 故，， 所以. 故. 19．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，. (1)用，表示，并求的模； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）表达出，平方后求出答案； （2）由垂直关系得到. 【详解】（1）等腰梯形，，，，，， ， 为的中点，， 作，垂足为，因为，， 所以，又，所以， ， ； （2）， 又， 在中， . 20．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到； （2），利用向量数量积运算法则得到，并得到，，利用向量余弦夹角公式得到； （3）由向量基本定理得到，由向量共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】（1） （2）， ， 其中 ， ， ； （3）， 三点共线，∴设，即， 故， ∴，， ， . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $