第1部分 专题4 关键能力提升五 数学工具在电磁学问题中的应用-【金版教程】2026年高考物理大二轮大考试题精选重组全书word

关键能力提升五　数学工具在电磁学问题中的应用

高考体验

1．(2022·山东卷，12)(多选)如图所示，xOy平面的第一、三象限内以坐标原点O为圆心、半径为L的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为L的正方形金属框绕其始终在O点的顶点、在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动。t＝0时刻，金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势E随时间t变化规律的描述正确的是(　　)

A．在t＝0到t＝的过程中，E一直增大

B．在t＝0到t＝的过程中，E先增大后减小

C．在t＝0到t＝的过程中，E的变化率一直增大

D．在t＝0到t＝的过程中，E的变化率一直减小

答案：BC

解析：在t＝0到t＝的过程中，金属框转过的角度从θ＝0到θ＝，金属框的有效切割长度先变大后变小，则E先增大后减小，故A错误，B正确。在t＝0到t＝的过程中，金属框转过的角度从θ＝0到θ＝，则金属框的有效切割长度l＝，E＝Bl＝＝；通过三角函数变换，可得E＝[1＋tan2(ωt)]，根据正切函数图像可作出E­t函数图像，θ＝ωt从0增大到的过程，图像的斜率一直增大，则E的变化率一直增大(也可对E求导数判断)，C正确，D错误。

2．(2024·海南卷，12)(多选)真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q≥0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x≪r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　)

A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r

B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为

C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小

D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动

答案：BCD

解析：如图，设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A处产生的场强的方向与竖直方向的夹角为θ，由点电荷的场强公式可知，P1处的点电荷在A处产生的电场强度大小E1＝k，根据对称性及场强的叠加原理可知，A点的合场强大小为E＝2E1cosθ，联立可得E＝ksin2θcosθ＝(cosθ－cos3θ)，由数学导数知识可知，当cosθ＝时，E有最大值，且最大值为Emax＝，此时A、O之间的距离为h＝＝r，故A错误，B正确；在M点放入一电子，从静止释放，电子将受向上的电场力从而向上运动，由于r>h，则电子向上运动的过程中所在位置的电场强度一直变小，所受的电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C正确；以O点为坐标原点，以沿P1P2连线向右为正方向建立x轴，当电子在坐标x′处时，电子受到的电场力为F＝－＝keq·，当x′≪r时，有F＝keq·＝－·x′，F与x′的方向相反，大小成正比，又O、N之间的距离x≪r，所以在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动，O点为平衡位置，所受电场力充当回复力，故D正确。

3．(2025·广西卷，14)在真空中，一个电荷量为－q、质量为m的试探电荷绕电荷量为＋Q的点电荷做椭圆轨道运动，如图甲，O′为椭圆中心，O′A为半长轴，长度为a，O′B为半短轴，点电荷处于椭圆的焦点F处，焦距为c。图乙是v2­关系图，其中v为该试探电荷运动速率，r为该试探电荷到点电荷的距离。距离点电荷r处的电势φ＝，其中k为静电力常量。重力和万有引力忽略不计。

(1)求B点的电势。

(2)求该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功。

(3)通过推理论证该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和是否守恒。若不守恒，说明理由；若守恒，求出该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和。

答案：(1)　(2)－  (3)守恒　－

解析：(1)根据椭圆知识可知，B点到F点的距离rBF＝a

B点的电势φB＝

联立解得φB＝。

(2)根据椭圆知识可知，A点到F点的距离rAF＝a－

A点的电势φA＝

该试探电荷在A、B点的电势能分别为EpA＝－qφA，EpB＝－qφB

根据电场力做功与电势能变化的关系可知，该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功WAB