第1部分 专题4 关键能力提升五 数学工具在电磁学问题中的应用-【金版教程】2026年高考物理大二轮大考试题精选重组全书word

大考试题精选重组　物理 关键能力提升五　数学工具在电磁学问题中的应用 高考体验 1．(2022·山东卷，12)(多选)如图所示，xOy平面的第一、三象限内以坐标原点O为圆心、半径为L的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为L的正方形金属框绕其始终在O点的顶点、在xOy平面内以角速度ω顺时针匀速转动。t＝0时刻，金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势E随时间t变化规律的描述正确的是(　　) A．在t＝0到t＝的过程中，E一直增大 B．在t＝0到t＝的过程中，E先增大后减小 C．在t＝0到t＝的过程中，E的变化率一直增大 D．在t＝0到t＝的过程中，E的变化率一直减小 答案：BC 解析：在t＝0到t＝的过程中，金属框转过的角度从θ＝0到θ＝，金属框的有效切割长度先变大后变小，则E先增大后减小，故A错误，B正确。在t＝0到t＝的过程中，金属框转过的角度从θ＝0到θ＝，则金属框的有效切割长度l＝，E＝Bl＝＝；通过三角函数变换，可得E＝[1＋tan2(ωt)]，根据正切函数图像可作出E­t函数图像，θ＝ωt从0增大到的过程，图像的斜率一直增大，则E的变化率一直增大(也可对E求导数判断)，C正确，D错误。 2．(2024·海南卷，12)(多选)真空中有两个点电荷，电荷量均为－q(q≥0)，固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x(x≪r)，已知静电力常量为k，则下列说法正确的是(　　) A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为 C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小 D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动 答案：BCD 解析：如图，设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A处产生的场强的方向与竖直方向的夹角为θ，由点电荷的场强公式可知，P1处的点电荷在A处产生的电场强度大小E1＝k，根据对称性及场强的叠加原理可知，A点的合场强大小为E＝2E1cosθ，联立可得E＝ksin2θcosθ＝(cosθ－cos3θ)，由数学导数知识可知，当cosθ＝时，E有最大值，且最大值为Emax＝，此时A、O之间的距离为h＝＝r，故A错误，B正确；在M点放入一电子，从静止释放，电子将受向上的电场力从而向上运动，由于r>h，则电子向上运动的过程中所在位置的电场强度一直变小，所受的电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C正确；以O点为坐标原点，以沿P1P2连线向右为正方向建立x轴，当电子在坐标x′处时，电子受到的电场力为F＝－＝keq·，当x′≪r时，有F＝keq·＝－·x′，F与x′的方向相反，大小成正比，又O、N之间的距离x≪r，所以在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动，O点为平衡位置，所受电场力充当回复力，故D正确。 3．(2025·广西卷，14)在真空中，一个电荷量为－q、质量为m的试探电荷绕电荷量为＋Q的点电荷做椭圆轨道运动，如图甲，O′为椭圆中心，O′A为半长轴，长度为a，O′B为半短轴，点电荷处于椭圆的焦点F处，焦距为c。图乙是v2­关系图，其中v为该试探电荷运动速率，r为该试探电荷到点电荷的距离。距离点电荷r处的电势φ＝，其中k为静电力常量。重力和万有引力忽略不计。 (1)求B点的电势。 (2)求该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功。 (3)通过推理论证该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和是否守恒。若不守恒，说明理由；若守恒，求出该试探电荷在运动过程中动能和电势能之和。 答案：(1)　(2)－ (3)守恒　－ 解析：(1)根据椭圆知识可知，B点到F点的距离rBF＝a B点的电势φB＝ 联立解得φB＝。 (2)根据椭圆知识可知，A点到F点的距离rAF＝a－ A点的电势φA＝ 该试探电荷在A、B点的电势能分别为EpA＝－qφA，EpB＝－qφB 根据电场力做功与电势能变化的关系可知，该试探电荷从A点运动到B点电场力所做的功WAB＝EpA－EpB 联立解得WAB＝－。 (3)该试探电荷距＋Q点电荷的距离为r时，电势能为Ep＝－qφ 其中φ＝ 动能与电势能之和E总＝Ep＋mv2 联立可得E总＝－kQq·＋mv2 设题图乙中图线斜率为k0，由题图乙有v2＝k0 变形得－＝－·＋mv2 对比分析可知E总＝－，kQq＝ 解得E总＝－ 可知该试探电荷在运动过程中动能与电势能之和守恒，且为－。 好题精选 4．使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出，离子束引出的方法有磁屏蔽通道法和静电偏转法等，质量为m、速度为v的离子在回旋加速器内旋转，旋转轨道是半径为r的圆，圆心在O点，轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为B。 为引出离子束，使用磁屏蔽通道法设计引出器。引出器原理如图所示，一对圆弧形金属板组成弧形引出通道，通道的圆心位于O′点(O′点图中未画出)。引出离子时，令引出通道内磁场的磁感应强度降低，从而使离子从P点进入通道，沿通道中心线从Q点射出。已知OQ长度为L，OQ与OP的夹角为θ。 (1)求离子的电荷量q并判断其正负； (2)离子从P点进入、Q点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为B′，求B′； (3)换用静电偏转法引出离子束，维持通道内的原有磁感应强度B不变，在内外金属板间加直流电压，两板间产生径向电场，忽略边缘效应。为使离子仍从P点进入Q点射出，求通道内引出轨迹处电场强度E的方向和大小。 答案：(1)　带正电荷 (2) (3)沿径向向外　Bv－ 解析：(1)离子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝ 解得q＝，由左手定则判断离子带正电荷。 (2)离子在通道内、外做圆周运动的完整轨迹圆如图所示。 由题意可知O′Q＝R，OQ＝L，O′O＝R－r 引出轨迹为圆弧，由洛伦兹力提供向心力有qvB′＝ 解得R＝ 根据余弦定理得R2＝L2＋(R－r)2－2L(R－r)cos(π－θ) 联立解得B′＝。 (3)电场强度方向沿径向向外，引出轨迹为圆弧，有Bqv－Eq＝ 解得E＝Bv－。 5．(2025·黑龙江省哈尔滨市高三下二模)如图所示，平行光滑金属导轨固定在绝缘水平桌面上，右端连接有光滑倾斜轨道，导轨间距离为L，导轨左侧接有电阻，aa′b′b区域与cc′d′d区域间存在竖直向上与竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，aa′与bb′、cc′与dd′的距离均为L。M导体棒质量为2m、N绝缘棒质量为m，两棒垂直导轨放置，现N棒静止于bb′与cc′之间的某位置，M棒在aa′边界静止，某时刻M棒在水平向右的恒力F作用下开始运动，已知F＝，当运动到bb′边界时撤去F，此时M棒已经达到匀速运动。已知整个过程中两棒与导轨始终垂直且接触良好，导轨左侧电阻和M棒接入导轨的电阻均为R，其他导体电阻不计，所有碰撞均为弹性碰撞，首次碰撞之后N与M每次碰撞前M均已静止，且碰撞时间极短，求： (1)撤去F时M棒的速度大小v； (2)从M棒开始运动到M棒第一次静止，整个过程中通过R的电荷量q； (3)自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒M在磁场中运动的总位移大小x。 答案：(1)　(2)　(3)L 解析：(1)由于撤去F时M棒已经达到匀速运动，由平衡条件有F＝BIL M棒在磁场中切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv 由闭合电路欧姆定律可得I＝ 解得v＝。 (2)M棒在aa′b′b区域运动的过程，通过R的电荷量q1＝1Δt1 平均感应电流1＝ 平均感应电动势1＝ 磁通量变化量ΔΦ1＝BL2 联立可得q1＝ 以水平向右为正方向，设M、N棒碰后瞬间速度分别为v1、v2，两棒发生弹性碰撞，根据动量守恒定律及机械能守恒定律可得 2mv＝2mv1＋mv2， ×2mv2＝×2mv＋mv 解得v1＝，v2＝ M棒从进入cc′d′d区域磁场至第一次静止，由动量定理得－B2LΔt2＝0－2mv1 该过程中通过R的电荷量q2＝2Δt2 可得q2＝ 因M棒在两个磁场中运动时回路中电流方向相反，则q＝q1－q2 解得q＝。 (3)M棒从进入cc′d′d区域磁场至第一次静止，设位移大小为x右，则平均感应电动势 2＝ 且2＝ 可得x右＝ 易知绝缘棒N第二次与导体棒M碰前速度大小为vN1＝v2，方向水平向左，设碰后其速度为vN2，导体棒M的速度为vM2，弹性碰撞过程中根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 －mvN1＝2mvM2＋mvN2， mv＝×2mv＋mv 解得vM2＝－，vN2＝ 设碰撞后M棒在磁场中向左运动的位移大小为x1，根据动量定理得B3LΔt3＝0－2mvM2 其中3＝ 解得x1＝ 绝缘棒N第三次与导体棒M碰前速度大小为vN3＝vN2，方向水平向左，设碰后M、N棒的速度分别为vM3、vN3，同理有 －mvN2＝2mvM3＋mvN3 mv＝×2mv＋mv 此次M棒向左运动的位移x2满足x2＝－2mvM3 可得x2＝ 则有x2＝x1 绝缘棒N第四次与导体棒M碰前速度大小为vN4＝vN3，方向水平向左，设碰后M、N棒的速度分别为vM4、vN4，同理有 －mvN3＝2mvM4＋mvN4 mv＝×2mv＋mv 此次M棒向左运动的位移x3满足x3＝－2mvM4，可得x3＝L＝x1 以此类推，对第n＋1次碰撞后M棒向左运动的位移xn有xn＝x1 所以向左运动的总位移为x左＝x1＋x2＋…＋xn＋… 根据等比数列求和公式，有x左＝ 可得x左＝ 所以自发生第一次碰撞后到最终两棒都静止，导体棒M在磁场中运动的总位移大小 x＝x左－x右 解得x＝L。 6．一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零。这些离子经加速后通过狭缝O沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，最后打在底片上。已知放置底片的区域MN＝L，且OM＝L。某次测量发现MN中左侧区域MQ损坏，检测不到离子，但右侧区域QN仍能正常检测到离子。在适当调节加速电压后，原本打在MQ的离子即可在QN检测到。 (1)求原本打在MN中点P的离子质量m； (2)为使原本打在P的离子能打在QN区域，求加速电压U的调节范围； (3)为了在QN区域将原本打在MQ区域的所有离子检测完整，求需要调节U的最少次数。(取lg 2＝0.301，lg 3＝0.477，lg 5＝0.699) 答案：(1)　(2)≤U≤ (3)3次 解析：(1)离子在电场中加速，有qU0＝mv 在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m 解得r0＝ 由题意可知2r0＝L 解得m＝。 (2)由题意知qU＝mv2 由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m 由(1)可知m＝ 联立解得U＝ 离子打在Q点时，r＝L，U＝ 离子打在N点时，r＝L，U＝ 则电压的范围≤U≤。 (3)由(1)可知r＝，即r∝ 由题意知，第1次调节电压到U1，使原本打在Q点的离子打在N点，有＝ 此时，原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上，有＝ 解得r1＝L 第2次调节电压到U2，使原本打在Q1的离子打在N点，原本半径为r2的打在Q2的离子打在Q上，则＝，＝， 解得r2＝L 同理，第n次调节电压，有rn＝L 检测完整，有rn≤，解得n≥－1≈2.8 可知需要调节U的最少次数为3次。 9 学科网（北京）股份有限公司 $