精品解析：江苏省阜宁中学2025-2026学年高一上学期第二次学情调研数学试卷

2025～2026学年度（上）学期江苏省阜宁中学第二次学情调研 高一年级数学试卷 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．（早7：30～9：30） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C D. 4. 已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（ ） A. B. C D. 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 51 C. 53 D. 55 7. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的8倍，大约经过（ ）天（参考数据：，，） A. 32 B. 33 C. 103 D. 104 8. 已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ） A 6 B. 7 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知在上单调递减，则a的取值范围为 C. D. 若角终边关于轴对称，则 10. 若函数恒成立，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为-3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则______． 13. 已知，，且，则的值为______． 14. 已知函数，若关于x方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知命题p：函数在区间上没有零点；命题q：，使得成立．若p和q其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a的取值范围． （2）化简：． 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 17. 已知函数在上有最小值，无最大值，且满足． （1）求的最小正周期． （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且对满足的，有． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在直角坐标系中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交的延长线于点Q，使得，记，，且． （1）若，求值； （2）已知函数，，记的最小值为．若，求m的值及此时的最大值． 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度（上）学期江苏省阜宁中学第二次学情调研 高一年级数学试卷 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．（早7：30～9：30） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求解描述法集合，再结合并集运算即可求解. 【详解】由， 则， 故选：C. 2. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 3. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 4. 已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“”分段法，以及指数函数、对数函数性质确定的大小关系. 【详解】因函数在上为增函数，则， 又因在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则， 所以. 故选：A 6. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 49 B. 51 C. 53 D. 55 【答案】A 【解析】 【分析】根据结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A. 7. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的8倍，大约经过（ ）天（参考数据：，，） A. 32 B. 33 C. 103 D. 104 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解. 【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的倍. 则 ，即， 故，故， 故大约经过104天. 故选：D 8. 已知定义在上的单调函数满足.若对，使成立，则n的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数单调性求出的表达式,再分别求出在上的最大值 在上的最大值,最后根据已知条件求出的最小值. 【详解】设,t为常数,则.且在上单调，由已知可知, 即即,解得且在上单调递增.所以在上的最大值为. 在上的最大值. ∵对,，，…，,使得成立,只需 ,即,即. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，为真命题的是（ ） A. 两个非零向量，若，则与共线且反向 B. 已知在上单调递减，则a的取值范围为 C. D. 若角终边关于轴对称，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，两边同时平方后即可得到夹角大小；对B，根据二次函数和对数函数复合的单调性原则即可得到不等式组，解出即可；对C，根据同角三角函数关系即可判断；对D，根据关于轴对称的角的关系即可判断. 【详解】对A，，两边同时平方得， 即，即，即， 即，则，则与共线且反向，故A正确； 对B，设，因为在上单调递增， 则在上单调递减，显然， 其对称轴为，则， 又因为在上恒成立， 则，解得， 综上所述a的取值范围为，故B正确； 对于C ，故C正确； 对于D, 若角终边关于y轴对称，则，故D错误； 故选：ABC. 10. 若函数恒成立，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为-3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由恒成立求得，然后利用消元法及二次函数性质求解判断A；利用基本不等式求得，再利用对数函数单调性求最值判断B；利用基本不等式中“1”的代换技巧求解最值判断C；结合指数运算利用基本不等式求解最值判断D. 【详解】由， 可得或，解得或； 当时，可得或；当时，可得或； 又因为对恒成立，所以，即， 又，可得； 对于选项A，由可得， 所以， 当，等号成立，此时的最小值为，则选项错误； 对于选项B，易知，因此，即； 因此，可得的最大值为-3，即选项B正确； 对于选项C，由可得； 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，可得C正确； 对于选项D， ， 当且仅当，即时，等号成立，即D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中B为最高点，，，则（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用三角函数的图像性质求，由此确定函数解析式并判断AC，解方程判断B，再结合函数的周期判断D. 【详解】由题意，过点作轴的垂线，垂足为， 中，， ，， 解得，，的最大值为，故A错误； 根据，解得的周期，所以， ，结合， 即，，又属于函数的递减区间， 解得，所以，故C正确； 令，则或， 解得或，，所以，故B正确； 根据是周期为4的函数，可得是周期为12的周期函数， 所以， 结合，，， ，，，， 可得，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】 令，，则，， 不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示， 因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形， 所以，所以， 所以，即. 故答案为： 13. 已知，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析得，将其转化为，再设，则转化为，再通过分析的单调性，可得，继而得到，再代入，即可得解. 【详解】由，且其有唯一零点0，因为，易得， 即，又因为，故，故， 又因为，故，即. 由，可得. 设，可转化为， 因为函数与在单调递增，且函数值均为正， 故在上单调递增， 又因为，， 故有，即， 则， 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知命题p：函数在区间上没有零点；命题q：，使得成立．若p和q其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性及零点定义列不等式，求得p为真命题时a的取值范围；再利用分离参数法及二次函数性质求得q是真命题时a的取值范围；进而利用p和q一真一假列不等式组求解即可； （2）直接利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）若p为真命题，函数在区间上单调递增， 因为在区间上没有零点， 所以或者， 解得或； 若q为真命题，令，其开口向上，对称轴为， 所以， 因为，使得成立， 所以，所以， 若p真，q假，则，解得； 若p假，q真，则，解得； 综上，实数a的取值范围是． （2）原式为：， 由诱导公式得， ， ， ，， 代入原式可得. 16. 已知函数为奇函数． （1）求实数a的值并指出函数的单调性（不需证明）； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；函数在上单调递增 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，再由复合函数的单调性可得判断的单调性； （2）由函数的单调性解抽象函数不等式，再利用换元法结合对数的运算对讨论即可； 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以， 此时，，满足题意， 函数在上单调递增， 因为在单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得函数在上单调递增， 所以， 即， 令，即，即， 当时，，即，因为恒成立，所以解得， 当时，，即，解得； 当时，，解集为空集； 当时，，即，解得； 综上，当时, 不等式的解集为; 当时，不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 已知函数在上有最小值，无最大值，且满足． （1）求的最小正周期． （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且对满足的，有． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由已知得范围，由得时，函数取到最小值，从而求出，确定周期；（2）(i）由已知可得，求出值；（ii）由恒成立，得恒成立，求解可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由在上有最小值，无最大值， 可知，故有． 又与在一个最小正周期内，且， 所以时，函数取到最小值， 所以．故有． 又因为，所以． 所以函数的最小正周期． 【小问2详解】 （ⅰ）由可知，中一个对应最大值，一个对应最小值． 对于函数其最大值与最小值对应的相邻的距离为半个最小正周期． 所以有（借助图象理解，如图）． 即． （ⅱ）由以上可得，． 因为对任意的，都有成立， 所以当时，恒成立． 由可得，此时， 由可得，此时． 所以，解得． 即实数的取值范围为． 18. 如图，在直角坐标系中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过O作射线交的延长线于点Q，使得，记，，且． （1）若，求的值； （2）已知函数，，记的最小值为．若，求m的值及此时的最大值． 【答案】（1） （2）；此时的最大值为 【解析】 【分析】（1）由同角的三角函数关系求出，再由三角函数定义确定点坐标，再由面积关系得到点，然后由三角函数定义求出，最后结合诱导公式化简； （2）由同角的三角函数关系结合正弦函数的值域和换元法，利用二次函数的性质讨论对称轴的范围得到，从而可得. 【小问1详解】 ，，则， 由三角函数的定义可得， 又，即，得， 所以， 所以， 【小问2详解】 ， 设，，则， 所以原函数化为，对称轴为， 当时，； 当时，； 当时，， 综上，， 因为， 所以，解得； 或，解得（舍）或（舍）， 或，解得（舍）， 所以， 此时，，对称轴为， 所以当时，， 即此时的最大值为. 19. 设，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为，值域为； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为的整数部分，为的小数部分． （1）若，求关于的方程的解； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）或或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分，，，三种情况进行讨论，结合取整函数的定义求方程的解； （2）分，，，，四种情况进行讨论，结合取整函数的定义求不等式的解集； （3）分，两种情况进行讨论，结合分离参数求最值和函数的单调性求最值确定的取值范围. 【小问1详解】 ①，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ②，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． ③，此时，， 则方程可化为，解得，符合题意． 综上所述，若，关于的方程的解为或或． 【小问2详解】 ①，此时，，，此时不等式恒成立． ②，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ③，此时，，则不等式可化为， 解得，又，． ④，此时，，，此时不等式无解． 综上所述，关于的不等式的解集为． 【小问3详解】 ①，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，则，又， ，当且仅当时等号成立， ，． ②，此时，则不等式可化为， 整理得：在上恒成立， 设，， 令，， 则， ，且， 则， 又，则，，， ，故在上单调递减． 即在上单调递减． ，．又， 综上所述，． 【点睛】方法点睛：高斯函数常见处理策略： （1）高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法. （2）由求时直接按高斯函数的定义求即可.由求时，因为不是一个确定的实数，可设处理. （3）求由构成的方程时先求出的范围，再求的取值范围. （4）求由与混合构成的方程时，可用放缩为只有构成的不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $