第25章 投影与视图（知识清单）数学沪科版九年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“投影与视图”单元内容，涵盖平行投影与中心投影的概念及区别、正投影的特征、三视图的定义与画法、常见几何体的三视图等核心知识范畴，为学生搭建了从“概念理解”到“作图应用”再到“综合计算”的递进式学习架构。 清单采用“知识点分类+易错点辨析+重难点突破”的方式构建知识体系，通过“★”标注关键要点（如“长对正，高平齐，宽相等”的三视图画法规律），培养学生的空间观念和几何直观。设计了“典例+变式”的分层训练，如结合古代米斗、榫卯结构等实际情境的三视图辨析题，以及利用相似三角形解决投影测长问题，帮助学生用数学眼光观察现实世界，教师可依托清单精准把握教学重难点，学生能通过易错点提示高效自主复习，提升应用意识与实践能力。

第25章 投影与视图 知识点一 平行投影与中心投影的概念 平行投影 由 形成的投影是平行投影 中心投影 由 发出的光线形成的投影叫做中心投影 平行投影与中心投影的区别 ①太阳光线是 的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；②灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例；③灯光是从 发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；④太阳光是平行光 知识点二 正投影 线段的正投影 图形的正投影 几何体的正投影 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 在一个平面上的正投影是一个平面图形 知识点三 视图的概念 ·刻画一个几何体：需要画出它在三个互相垂直的投影面上的正投影（视图）． 其中正对着我们的面叫做正面（前面），下方的面叫做水平面（上面），右边的面叫做侧面。 ·三视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为 ；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为 ；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为 ．主视图、俯视图和左视图就组成了三视图。 ★说明：主视图反映几何体的长与高，俯视图反映几何体的长与宽，左视图反映几何体的高与宽． 知识点四 常见的空间几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点五 三视图的画法 ·三视图的画法符合以下规律： ①主视图的长与俯视图的长对正 ②主视图的高与左视图的高平齐 ③俯视图的宽与左视图的宽相等 简述为：长对正，高平齐，宽相等 ★ 要注意看不见的轮廓线应画成虚线 【易错点一】 判断平行投影和中心投影现象 ·易错辨析：根据对应点的连线经过点光源作图 【典例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子最合理的是（   ） A．B． C． D． 【变式1】下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 【易错点一】 判断几何体的三视图 ·易错辨析：判断主视图、左视图和俯视图，看得见的线用实线，看不见的线用虚线。 ★【典例3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【典例4】古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【典例5】我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【变式5】如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【典例6】如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式6】榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑，家具及其他器械的主要结构方式，不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是（    ） A． B． C． D． 重难点01根据投影作图并测长 ·方法：先根据投影方式作图，再①构造相似三角形，应用对应边成比例解决问题；②构造直角三角形，应用锐角三角函数值解决问题。 【典例1】（24-25九年级下·河南郑州·期末）小明想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆，测得其影长米． (1)请在图中画出此时旗杆在阳光下的投影； (2)如果米，求旗杆的高． 【变式1】晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． (1)请在图中画出大树的影长； (2)若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为2米的木杆放在灯杆（点A处为照明灯）前0.6米处，再沿着方向移动1.8米放置另一个等长木杆． (1)请分别画出木杆的影子（用线段表示，适当加粗）； (2)若测得木杆影长为1.2米，求木杆的影子长度． 【变式3-1】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A． B． C． D． 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东青岛·期末）数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动：    (1)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高； (2)夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 重难点02 小正方体组合体的三视图 【典例4】（24-25七年级上·河南郑州·期末）一个几何体有若干块大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．下面表示从左面看到的形状图的是（　　） A． B． C． D． 【典例5】如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【变式5】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积（包括底部）为______． 【典例6】（24-25七年级上·河南开封·期末）由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体个数最少为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式6】如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 重难点03 根据视图求几何体的表面积或体积 【典例7】（24-25九年级上·山东烟台·期末）已知直三棱柱的三视图如图所示．若，，，，求该直三棱柱的侧面积． 【变式7-1】某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 【变式7-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 投影与视图 知识点一 平行投影与中心投影的概念 平行投影 由平行光线形成的投影是平行投影 中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影 平行投影与中心投影的区别 ①太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；②灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例；③灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；④太阳光是平行光 ※知识点二 正投影 线段的正投影 图形的正投影 几何体的正投影 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 在一个平面上的正投影是一个平面图形 知识点三 视图的概念 ·刻画一个几何体：需要画出它在三个互相垂直的投影面上的正投影（视图）． 其中正对着我们的面叫做正面（前面），下方的面叫做水平面（上面），右边的面叫做侧面。 ·三视图：自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图．主视图、俯视图和左视图就组成了三视图。 ★说明：一个几何体的三个视图分别从不同方向反映了一个几何体的形状与大小，主视图反映几何体的长与高，俯视图反映几何体的长与宽，左视图反映几何体的高与宽． 知识点四 常见的空间几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点五 三视图的画法 ·三视图的画法符合以下规律： ①主视图的长与俯视图的长对正 ②主视图的高与左视图的高平齐 ③俯视图的宽与左视图的宽相等 简述为：长对正，高平齐，宽相等 ★ 要注意看不见的轮廓线应画成虚线 【易错点一】 判断平行投影和中心投影现象 ·易错辨析：根据对应点的连线经过点光源作图 【典例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子最合理的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 【详解】解：∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体在地面上的影子最合理的是， 故选：． 【变式1】下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义； 根据平行的投影的定义可知，在同一时刻，物体的高度与其影长之比是定值，并且方向一致，据此判定即可， 【详解】A．影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D．树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意． 故选A． 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的变化规律是解题的关键：①太阳光下物体影子的长短不仅与物体的高度有关，而且与时间有关：同一时刻，高物体的影子较长，所有物体的影子长度与其高度成正比；②太阳光下物体影子的方向和长度变化规律（北半球）如下：一天之中，由于太阳东升西落，所以早晨物体的影子向西，傍晚物体的影子向东．一天之中，物体影子的方向变化为：正西—西北—正北—东北—正东，影子的长度变化为：长—短—长． 根据不同时刻物体在太阳光下的影子的方向、大小的变化规律进行判断即可：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西—西北—正北—东北—正东，物体影子的长短为：长—短—长． 【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：， 故答案为：． 【易错点一】 判断几何体的三视图 ·易错辨析：判断主视图、左视图和俯视图，看得见的线用实线，看不见的线用虚线。 ★【典例3】（24-25九年级上·河南郑州·期末）某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可. 【详解】 解：的左视图是  ， 故选：D 【变式3-1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．注意所看到的线都要用实线表示出来．找到从几何体的上面看所得到图形即可． 【详解】解：从几何体的上面看到的图形即俯视图如图所示， 故选：A． 【变式3-2】如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形判定则可，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是解题的关键． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是： 故选：． 【典例4】古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知．如图1，这是一种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图所示， 米斗的俯视图为 故选：A. 【典例5】我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案． 【详解】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆， 即该几何体的俯视图是：． 故选：A． 【变式5】如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为： ． 故选：C． 【典例6】如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，从几何体的左边看到的图形是左视图．根据几何体的左视图的定义，结合看的见的棱是实线，看不见的棱是虚线即可得到答案． 【详解】 解：几何体的左视图是， 故选：C ． 【变式6】榫卯（sǔn mǎo）是中国古代建筑，家具及其他器械的主要结构方式，不用钉子就可以加固物件，体现了中国古代的文化智慧，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“卯”的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形的中间有一个边为虚线的矩形， ∴选项C符合题意， 故选：C． 重难点01根据投影作图并测长 ·方法：先根据投影方式作图，再①构造相似三角形，应用对应边成比例解决问题；②构造直角三角形，应用锐角三角函数值解决问题。 【典例1】（24-25九年级下·河南郑州·期末）小明想利用阳光下的影长测量学校旗杆的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆，测得其影长米． (1)请在图中画出此时旗杆在阳光下的投影； (2)如果米，求旗杆的高． 【答案】(1)见解析 (2)旗杆的高为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，过A点作交于F，则为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接，过A点作交于F，则为所求，如图∶ （2）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， 即， ∴． 答：旗杆的高为． 【变式1】晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． (1)请在图中画出大树的影长； (2)若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 【答案】(1)见解析 (2)8米 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、平行投影 【分析】本题考查了平行投影、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，过点作交直线于点，则影长即为所求； （2）先证明，再利用相似比即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作交直线于点， 如图，影长即为所求： （2）解：， ， ，， ， ， ，即， 解得：米， 答：大树的高度为8米． 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B作于点C，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【典例3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图，现将一高度为2米的木杆放在灯杆（点A处为照明灯）前0.6米处，再沿着方向移动1.8米放置另一个等长木杆． (1)请分别画出木杆的影子（用线段表示，适当加粗）； (2)若测得木杆影长为1.2米，求木杆的影子长度． 【答案】(1)见解析 (2)4.8米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心投影的性质画出图形即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，作射线分别交直线于点G，H，则即为所求． （2）解：由题知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理． ∴， ∴， 解得：． ∴木杆EF的影子长度为4.8米． 【变式3-1】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A． B． C． D． 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】[数学思考]D；[解决问题] 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题]根据题意可得出，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】解：[数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意， 故答案为：D； [解决问题]， ，， ，， 又， ， ，，，， ， ，， ， 解得：； 灯杆的高度为． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东青岛·期末）数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动：    (1)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高； (2)夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1) (2)画图见解析，小军影子的长度变短了 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）先根据中心投影画出图形，然后证明，，根据相似三角形的性质，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，知，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：路灯的高为； （2）解：如图，    由题意，知，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 解得，， ∵ ∴小军影子的长度变短了． 重难点02 小正方体组合体的三视图 【典例4】（24-25七年级上·河南郑州·期末）一个几何体有若干块大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．下面表示从左面看到的形状图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查几何体的三视图，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字，据此选出图形即可． 【详解】解：由题意可得：从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，4，3， 故选：A． 【典例5】如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可． 【详解】解：这个组合体的三视图如图所示： 【变式5】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积（包括底部）为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积； （1）根据三视图的画法直接画图即可． （2）根据几何体的形状得出其表面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）这个几何体的表面积为． 故答案为：. 【典例6】（24-25七年级上·河南开封·期末）由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体个数最少为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，仔细观察该几何体的主视图和俯视图，发挥空间想象能力，便可得出几何体的形状．解答本题的关键是熟练掌握：主视图是从物体的前面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 【详解】解：仔细观察物体的主视图和俯视图可知：该几何体的下面最少要有四个小正方体，上面最少要有一个小正方体， 故该几何体最少有5个小正方体组成， 故选：B． 【变式6】如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体的个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】B 【分析】本题运用了三视图的知识．利用三视图的特点进行解答即可． 【详解】解：根据三视图得：这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体， 因此搭成这个几何体的小正方体的个数为个． 故选B． 重难点03 根据视图求几何体的表面积或体积 【典例7】（24-25九年级上·山东烟台·期末）已知直三棱柱的三视图如图所示．若，，，，求该直三棱柱的侧面积． 【答案】该直三棱柱的侧面积为 【分析】本题考查了直三棱柱的三视图、性质、侧面积，解直角三角形等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于点，由题意得，在中，，所以在中，，设，，则，求出以及、的长，然后求出直三棱柱的侧面积即可． 【详解】解：过点作于点， ， ， ，在中，， 在中，， 设，， 则， ， ， ，， 该直三棱柱的侧面积为． 【变式7-1】某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为．请求出该几何体的体积和表面积． 【答案】体积为：，表面积为： 【分析】本题主要考查根据三视图求立体几何图形的体积，表面积，理解三视图中的数量关系，根据体积，表面积的计算公式即可求解，掌握三视图的特点，立体图形体积，表面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据主视图可得，圆柱体底面圆的直径为， ∴圆柱体底面圆的半径为， 根据俯视图可得，立体图形的长为，宽为，结合左视图可得，立体图形的高为， ∴立体图形，半圆柱体， ∴图示模型的体积为， ∴体积为：； 图示立体图形的表面积： 主视图中：，，则； 左视图中：； 俯视图中：； ∴图示模型的表面积为：， ∴表面积为：． 【变式7-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，利用三视图还原几何体是解题关键．由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，再根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为， 则它的体积是， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $