专题05四川省成都市2026年中考题型专项复习-圆相关计算A17

圆相关综合计算 目录 典例详解… 类型一、圆综合之切线相关证明 2 类型二、圆综合之面积相关问题 7 类型三、圆综合之利用垂径定理求值 16 类型四、圆综合之与三角形有关计算 23 题型专练 30 1 典例详解 类型一、圆综合之切线相关证明 例1如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E,过点E作直线BE的 垂线交AB于点F,OO是△BEF的外接圆. F (1)求证：AC是⊙0的切线： (2)过点E作EH⊥AB于点H,求证：EF平分∠AEH; 3)连接DE,若DE=3,DC=1,求O0的半径 【答案】(1)见解析： (2)见解析： 3)圆0的半径为4.5. 【分析】(1)连接OE,由等边对等角可得L0BE=∠0EB,由三角形角平分线的定义可得 ∠OBE=∠CBE,进而可得∠CBE=∠OEB,由内错角相等两直线平行可得OE∥BC,由两 直线平行同位角相等可得∠0EA=∠C=90°，然后由切线的判定定理即可得出结论： (2)由垂线的性质可得∠EHB=∠EHA=90°，∠BEF=90°，由直角三角形的两个锐角互余 可得∠EBH+∠BEH=∠FEH+∠BEH=90°，进而可得∠EBH=∠FEH,由等边对等角可得 ∠0EF=∠OFE,由∠EBH+∠OFE=90°可得∠FEH+∠OEF=90°，再结合 ∠FEA+∠0EF=90°，即可得出结论； (3)连接DE,由角平分线的性质定理可得EC=EH,由圆内接四边形的性质定理可得 ∠HFE+∠BDE=18O°，进而可得∠CDE=∠HFE,利用AAS可证得△CDE≌△HFE,于是 可得HF=CD=1,EF=DE=3,由勾股定理可得EH=EF2-HF2=8,设OE=OF=r, 则OH=OF-HF=r-1,在Rt△0EH中，根据勾股定理可得OH2+EH2=OE2,即 (-1)+8=2,解方程即可求得圆O的半径， 【详解】(1)证明：如图，连接OE, E 0B=0E, LOBE=∠OEB, 又：BE平分∠ABC, .∠OBE=∠CBE, .LCBE=∠OEB, OE∥BC, :∠C=90°， .L0EA=∠C=90°， .OE⊥AC, :OE是圆的半径， ·AC是圆O的切线： (2)证明：：EH⊥AB,EF⊥BE, ·.∠EHB=∠EHA=90,∠BEF=90°， .∠EBH+∠BEH=LFEH+∠BEH=90°， .∠EBH=∠FEH, OE=OF, .∠OEF=LOFE, .∠EBH+∠OFE=90°， .∠FEH+∠0EF=90°， 又：∠FEA+∠0EF=90°， .∠FEH=∠FEA, 即：EF平分∠AEH: (3)解：如图，连接OE,DE, BE是∠ABC的平分线，且EC⊥BC,EH⊥AB, :EC=EH, :∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE, 在△CDE和△HFE中， ∠C=∠EHF=90° ∠CDE=∠IHFE EC=EH △CDE≌△HIFE(AAS, ·.HF=CD=l,EF=DE=3, .EH2=EF2-HF2=32-12=8, 设OE=OF=r,则0H=0F-HF=r-1, 在Rt△0EH中，由勾股定理得：OH2+EH2=OE2, .(r-12+8=2, 解得：r=4.5, 圆0的半径为4.5. 【点晴】本题主要考查了等边对等角，三角形角平分线的定义，内错角相等两直线平行，两 直线平行同位角相等，切线的判定定理，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的 性质1，角平分线的性质定理，圆内接四边形的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股 定理，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是 解题的关键， 【变式1-1】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在O0上取一点C,延长AB至点D 4 ,连接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. (1)求证：CD是⊙0的切线： (2)若CD=4,DB=2,求AE的长。 【答案】(1)见解析 (2)AE=6 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也 考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键 (1)连接0C,如图，根据圆周角定理得到LACB=90°，即LBC0+∠0CA=90°，求得 ∠OCA=∠DCB,得到LDC0=90°，根据切线的判定定理得到CD是O0的切线； (2)根据勾股定理得到OB=3,求得AB=6,根据切线的性质得到AE=CE，根据勾股定 理即可得到结论， 【详解】(1)证明：连接0C,如图， B :AB为直径， .∠ACB=90°，即∠BC0+∠0CA=90°， 又：∠DCB=∠CAD,∠CAD=∠OCA, ∠OCA=LDCB, .∠DCB+∠BC0=90°，即∠DC0=90°， :0C是00的半径， CD是O0的切线； (2)解：∠DC0=90°，0C=0B, ∴.0C2+CD2=0D2, 0B2+42=0B+22, .0B=3, .AB=6, :AE⊥AD,AB是OO的直径， .AE是OO的切线， :CD是⊙0的切线； :AE=CE AD2+AE2=DE2, (6+2)2+AE2=(4+AE), 解得AE=6. 【变式1-2】如图，AB,ADC分别是半圆O的直径和割线，弦BE平分∠ABD,OE与 AC交于F,EG⊥AB于G,∠OEG=∠DBC. (1)求证：BC是半圆0的切线； (2)若BE=45,EF=2,求EG的长。 【答案】(1)见解析 (2)EG的长为4. 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理. (1)利用等角的余角相等求得∠0EG=∠BAD,再求得∠ABC=90°，据此即可证明BC是 半圆0的切线： (2)设半圆0的半径为x,证明△G0E≌△F0A,得到0G=0F=x-2,求得BG=2x-2 ,利用勾股定理列式计算求得x=5,据此计算即可求解. 【详解】(1)证明：：AB是半圆0的直径， 6 .∠ADB=90°， :弦BE平分∠ABD, .∠ABE=∠EBD, ∴AE=ED, .OE⊥AD, .∠AF0=90°， OF∥BD, :ZAOF ZABD .∠0EG=90°-∠A0F=90°-∠ABD=∠BAD, :∠OEG=∠DBC, .∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°， ∴BC是半圆O的切线； (2)解：设半圆0的半径为x, .0F=0E-EF=x-2, 0E=0A,∠G0E=∠F0A,∠EG0=∠AF0=90°， .△G0E≌△F0A, .0G=0F=x-2,BG=0B+0G=2x-2, 由勾股定理得EG2=BE2-BG=OE2-OG2, (45-(2x-22=x2-(x-22, 解得x=-4(舍去)，x=5, ·EG=V0E2-0G2=√52-32=4， .EG的长为4. 类型二、圆综合之面积相关问题 例2如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连结EB, 交OD于点F. (1)求证：ODLBE; (2)若DE=√10，AB=10,求AE的长； 7 (3)若△cDE的面积是△OBF面积的，求C的值. 6 C E 【答案】(1)见解析；(2)8；(3)170 17 【分析】(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性 质即可证明； (2)设AE=x.根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解； (3)设SACDE=5k,SAOBF-=6k,求得SACDE-=SABDE=5k,根据相似三角形的性质得到 S OBE= OB-,求得5AeE=45A9,于是得到5A0e=5r+5ae58AE=34k,再由相 AB 4 似三角形的性质即可得到结论， 【详解】(1)连接AD, :AB是⊙O直径， .∠AEB=∠ADB=90°， .AB=AC, BD ED, .OD⊥BE: (2):∠AEB=90°， ,∠BEC=90°， BD=CD BC=2DE=210, :四边形ABDE内接于oO, .∠BAC+∠BDE=180°， :∠CDE+∠BDE=180°， .∠CDE=∠BAC, ∠C=∠C, .△CDE~△CAB, CE DE 即CE .1o CBAB 21010 CE=2, ∴.AE=AC-CE=AB-CE=8; 5 (3) S.OBF6' SACDE=5k,SAOBF=6k, BD=CD, ∴.SACDE=SABDE=5k, .BD=CD,AO=BO, ∴ODAC, .△OBF-△ABE OB2_1 S。ABE (AB=4 .SAABE-4SAOBF, ∴.SAABE=4 SAOBF=24k, .SACAB-SACDE+SABDE+SAABE-34k, :△CDE~△CAB, ScDE一 CD)2 5 SCAB CA=34 CD√5170 CA34 34 BC=2CD, :BC-V170 AC 17 E 9 【点晴】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的 在识别图形是解题的关键， 【变式2-1】己知：如图，在O0中，∠PAD=∠AEP,AF=CF,AB是OO的直径， CD⊥AB于点G, F (1)求证：AP是00的切线， (2)若AG=4,tanZDAG=2,求FG的长. 3)在(2)的条件下，求ADE的面积. 【答案】(1)详见解析 (23 (3)70.4 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，勾股定 理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关 键. (1)如图所示，连接AC,证明∠PAD=∠ADC得到AP∥CD,进而推出AP⊥AB,由此 即可证明AP是⊙O的切线： (2)如图所示，连接BD,根据等边对等角得到LFAC=∠FCA,进而推出 ∠ADG=∠QDG,证明△AGD≌△QGD,得到QG=AG=4,∠DQG=∠DAG,解直角三 角形求出DG=2AG=8,根据勾股定理即可得到结论； (3)连接0D,过点E作EH⊥AB于H,设圆O的半径为r,则OG=r-4,利用勾股定 理求出r=10,则BQ=12,证明△AQE∽△DQB,求出QE,解直角三角形得到 EH=2QH,进而利用勾股定理求出EH,再根据S△DE=S△DQ+S△AQ进行求解即可. 10圆相关综合计算 目录 典例详解… 类型一、圆综合之切线相关证明 2 类型二、圆综合之面积相关问题 7 类型三、圆综合之利用垂径定理求值 16 类型四、圆综合之与三角形有关计算 23 题型专练 30 1 典例详解 类型一、圆综合之切线相关证明 例1如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E,过点E作直线BE的 垂线交AB于点F,OO是△BEF的外接圆. E HF (1)求证：AC是00的切线： (2)过点E作EH⊥AB于点H,求证：EF平分∠AEH; (3)连接DE,若DE=3,DC=1,求O0的半径. 【变式1-1】如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在O0上取一点C,延长AB至点D ,连接DC,∠DCB=∠DAC,过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E. (1)求证：CD是⊙0的切线； (2)若CD=4,DB=2,求AE的长. 【变式1-2】如图，AB,ADC分别是半圆O的直径和割线，弦BE平分∠ABD,OE与 AC交于F,EG⊥AB于G,LOEG=∠DBC· 2 D B (1)求证：BC是半圆O的切线； (2)若BE=45,EF=2,求EG的长. 类型二、圆综合之面积相关问题 例2如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连结EB, 交OD于点F, (1)求证：OD⊥BE; (2)若DE=√10，AB=10,求AE的长； (3)若△cE的面积是△0BF面积的。，求C的值， 6 C E B 【变式2-1】已知：如图，在O0中，∠PAD=∠AEP,AF=CF,AB是O0的直径， CD⊥AB于点G. C E 4 ⊙ B (1)求证：AP是⊙0的切线 (2)若AG=4,tan∠DAG=2,求FG的长. 3)在(2)的条件下，求ADE的面积. 【变式2-2】如图，A,B,C,D是O0上的四点，AB为O0的直径，CB=CD.点E是 AB延长线上的一点，BE=1,CE是OO的切线，CE=√万，延长AD,BC相交于点F,连 接EF, D (1)求∠DAB的度数： (2)求图中阴影部分的面积. 类型三、圆综合之利用垂径定理求值 例3如图，线段AB为⊙O的直径，点C在OO上，CD⊥AB,垂足为点D.点F在CD上， 且CF=BF.BF的延长线交OO于点E.过点C作CM∥BE交AB的延长线于点M. E M (1)猜想BC与EC的数量关系，并说明理由； (2)求证：直线CM是⊙0的切线： (3)若AB=10,BC=6,求AD的长. 【变式3-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使AB=AC ,过点D作DE⊥AC,垂足为E. E D B (1)求证：DC=BD: (2)求证：DE为O0的切线； 3)点F是AC与O0的交点，若AB=5,BD=3,求CF. 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠BAC. ⊙O经过A、B、D三点.连接DO并延长交OO于点E,连接AE,DE与AB交于点F. (1)求证：CB是⊙0的切线； (2)求证：AB=EB; (3)若BE=5√6，BC=5,求O0的半径. 类型四、圆综合之与三角形有关计算 例4如图，点A,C在⊙0上，连接A0,CO并延长，分别与⊙0的切线相交于点B,点D ，切点为E,CD与OO交于点F,连接AE,AF,AD⊥BD,垂足为点D,DE=3,DF=1. 5 D D B B C 备用图 (1)求证：AE平分∠BAD; (2)设AB=kOB(k>O),求k的值； (3)求cos∠EAF的值. 【变式4-1】如图，AB是OO的直径，直线CD过OO上一点C,BD⊥CD于点D,BC平 分∠DBA· (1)求证：直线CD是00的切线， (2)若BC=2√5，BD=2,求00的半径. 【变式4-2】如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O切线，切点是A,AB是弦，连接PB、 PC,PC交AB于点E,且∠PAB=∠PBA. E (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)连接OP,BC,求证：OP∥BC; 若∠4PB=4LBPC,求PE 的值。 CE 6 题型专练 1.如图，在四边形ABCD中，∠C=∠BAD,以AB为直径的OO经过点D,与边CD交于 点E,与边BC切于点B,连接AE,BE,BD. (1)求证：BD=CD; 2若4D=,BC=20,求DE的长」 BD3' 5 2.如图，OO中，A是BC的中点，以A,B,C三点作平行四边形ABCD,延长DC交 ⊙O于点E,连接BE E 0. (1)求证：AD是⊙0的切线； (2)若AD=24,BE=4√3，求00的半径. 3.如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，∠BAE的平分线AC交OO于点C,过点C作 直线CD⊥AE,交AE的延长线于点D. D B (1)试判断直线CD与⊙0的位置关系，并说明理由； 2)若cD=2,an∠CAD=5, 。,求00的半径和阴影部分的面积 7 4.如图所示，以ABC的边AB为直径作O0,点C在⊙0上，BD是⊙0的弦， ∠A=∠CBD,过点C作CF⊥AB于点F,交BD于点G,过C作CE∥BD交AB的延 长线于点E. D (1)求证：CE是⊙0的切线； (2)求证：CG=BG; (3)若∠DBA=30°，CG=4,求阴影部分的面积. 5.如图，AB为O0的直径，点C是BD的中点，过点C作CE⊥AB交于点E,交OO于 点F,连接BD交CF于点G. D B (1)连接AC,BC,求证CE'=AE,BE; (2)若BD=10,BE=4,求⊙0的半径： 3)连接CD,AD,BF,若GF=3√2，求GD的长. 6.如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点D作AF的 垂线，垂足为F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交O0于点G,连接EG, G D B (1)求证：DF是⊙0的切线： (2)若DE=4,AE=8,求线段EG的长， 7.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，O0与边BC相切于点D,与AB,AC分别相交于点 E,F,AD与OE相交于点G. ○ B (1)求证：∠C=∠ADE; (2)若CF=4, sinC=3 求00的半径和DG的长. 8.如图，AB是OO的直径，C是OO上的一点，连接AC、BC,延长AB至点D,连接 CD,使LBCD=∠A. E G D B 交 (1)求证：CD是⊙0的切线 (2)点E是AC的中点，连接BE,交AC于点F,过点E作EH⊥AB交OO于点H,交AB于 点G,连接BH,若BD=2,CD=4,求BF·BH的值. 9