2026年四川省成都市中考数学题 型专项复习- 计算与概率统计解答题A14-A15

该初中数学中考复习讲义聚焦“计算与概率统计”核心模块，覆盖分式方程、不等式组、三角函数综合、一元二次方程、概率统计五大中考必考类型，构建“典例详解-题型专练”双模块架构，通过考点分类梳理、解题方法指导、真题变式训练，帮助学生系统突破计算与统计难点。 亮点在于“类型突破+变式迁移”教学策略，如概率统计计算中通过画树状图、列表法分析随机事件，培养数据意识与推理能力，三角函数综合计算结合特殊角值与运算技巧提升运算能力。题型专练设置基础巩固与综合应用分层题目，配合限时训练，确保高效提升学生解题速度与准确率，助力教师精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

计算与概率统计 目录 典例详解 1 类型一、分式方程计算 1 类型二、不等式组计算 3 类型三、三角函数综合计算 4 类型四、解一元二次方程 5 类型五、概率统计计算 6 题型专练 11 典例详解 类型一、分式方程计算 例1解方程：． 【变式1-1】解方程：． 【变式1-2】（1）计算：； （2）解方程． 类型二、不等式组计算 例2解不等式组． 【变式2-1】解不等式组并写出它的所有整数解． 【变式2-2】解不等式组： 类型三、三角函数综合计算 例3计算：． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算：． 类型四、解一元二次方程 例4解方程： 【变式4-1】解方程：． 【变式4-2】解方程： (1) (2) 类型五、概率统计计算 例5为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． (1)本次共调查游客 人，扇形统计图中m的值为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 【变式5-1】我国古诗词源远流长，我校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了___________名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； (2)若我校共有1600人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数； (3)我校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【变式5-2】为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图； (2)请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球； (3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 题型专练 1. 计算：； （2）解一元一次不等式组：． 2. （1）计算：； （2）解不等式组： 3. 计算： (1)； (2)解不等式组：． 4. （1）计算：； （2）解不等式组： 5. （1）计算： （2）解不等式组： 6. （1）计算：； （2）解不等式组： 7. （1）计算： （2）求不等式组的整数解． 8. 计算、解不等式组： (1)； (2)． 9. （1）计算：． （2）解方程： 10. （1）计算：； （2）解不等式组：． 11. （1）计算：； （2）解不等式组：． 12. 计算：． 13. （1）计算：； （2）解不等式组：． 14. 计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 15. （1）计算：； （2）解不等式组： 16. ．3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． (1)此次共调查了 人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为 ； (2)补全条形统计图； (3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 17. 某校开展居家体育训练，倡导学生在家开展体育锻炼．返校后，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的两幅不完整的统计图： 根据上述信息，回答下列问题： (1)在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 ， ； (2)补全频数直方图； (3)如果该校共有学生2000人，请你估计平均每天开展体育锻炼所用时长不少于30分钟的学生有多少人？ 18. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．全体初三年级学生的比赛成绩根据结果分为四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知：该校初三共有___________名学生，比赛成绩等级为级的学生有___________人； (2)的值为：___________，B等级所对的圆心角为___________度； (3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个女生的概率． 19. 年“川超”联赛开赛以来热度高涨，某体育媒体针对参赛球员构成开展调研，涵盖：A、企业职工球员；B、中学生球员；C、大学生球员；D、退役运动员球员；E、自由职业者球员五类群体．调研员从支参赛队伍中随机抽取若干人，统计其身份类型，并将结果绘制成如下不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)在本次抽样调查中，样本容量是 ，在扇形统计图中，“A”所在扇形圆心角的度数为； (2)计算大学生球员的人数，并将条形统计图补充完整； (3)若“川超”联赛参赛球员总数为人，根据抽查结果，估计“大学生球员”共有多少人？ 20. 为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 21. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； (2)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； (3)将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 22. 今年8月在成都举行的世界大学生运动会再次引发成都市校园运动热潮．某校准备举办专题活动，在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（拔河），B（飞盘），C（轮滑），D（棒球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答以下问题： (1)求参与调查的学生中，愿意参加飞盘活动的学生人数，并补全条形统计图； (2)若该校共有2000名学生，请你估计该校愿意参加棒球活动的学生人数； (3)若从参与调查的2名男生和1名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 23. 为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 计算与概率统计 目录 典例详解 1 类型一、分式方程计算 1 类型二、不等式组计算 3 类型三、三角函数综合计算 4 类型四、解一元二次方程 5 类型五、概率统计计算 6 题型专练 11 典例详解 类型一、分式方程计算 例1解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． ∴原方程的解为X=4 【变式1-1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式1-2】（1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ， ∴ 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为 类型二、不等式组计算 例2解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 【变式2-1】解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 【变式2-2】解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 分别求出不等式的解集，然后根据 “同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 类型三、三角函数综合计算 例3计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 类型四、解一元二次方程 例4解方程： 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 【变式4-1】解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．先移项，然后用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， 即：， 或， 解得：，． 【变式4-2】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法即可解一元二次方程； （2）根据公式法即可解一元二次方程． 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： ∵，， ∴ 解得：，． 类型五、概率统计计算 例5为了提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对旺苍“酸辣粉、松花蛋、红军饼、卤土鸡”4种美食的喜好程度，每人限选一种，并将调查结果绘制成不完整的统计图，如图所示．根据图中信息解答下列问题． (1)本次共调查游客 人，扇形统计图中m的值为 ； (2)将条形统计图补充完整； (3)该旅行社推出活动，游客可从上述 4种美食中随机选择两种免费品尝．请用画树状图或列表的方法，求出某游客选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率． 【答案】(1)240，35 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再利用概率公式计算概率．也考查了统计图． （1）根据该项所占的百分比等于该项人数÷总人数．两图给出了“卤土鸡”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“酸辣粉”的人数； （2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出选“红军饼”的人数，再补全条形图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次抽取的游客总人数为 ， ∴， ∴， 故答案为：240，35； （2）解：选红军饼的人数为人． 补全条形统计图如图： （3）把四种美食分别记为 A：酸辣粉、B：松花蛋、C：红军饼、D：卤土鸡，画树状图如图． 共有12种等可能的结果，其中选到“酸辣粉”和“红军饼”的结果有2种， ∴选到“酸辣粉”和“红军饼”的概率 【变式5-1】我国古诗词源远流长，我校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为，，，四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： (1)本次共抽取了___________名学生的竞赛成绩，请补全条形统计图； (2)若我校共有1600人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为等级的学生人数； (3)我校在竞赛成绩为等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】(1)，图见解析； (2)估计竞赛成绩为等级的学生人数为人； (3)甲、乙两人同时被选中的概率为． 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用树状图或列表法求概率，概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键． （1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘全校人数即可求解； （3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次共抽取的学生人数为：（人）， 成绩为等级的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：（人） ∴估计竞赛成绩为等级的学生人数为人； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的有种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为． 【变式5-2】为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图； (2)请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球； (3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】(1)20，50，见解析 (2)360 (3) 【分析】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由题意分别列式计算即可； （2）由该校学生人数乘以喜爱打篮球的学生所占的百分数即可； （3）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：， 这次共抽取了学生人数为（名）， 喜欢打乒乓球的人数为， 补全条形统计图如下： ； （2）解：该校喜爱打篮球的人数：（名）； （3）解; 列表如下： 男 男 男 女 男 —— （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） —— （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） —— （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） —— 共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种， ∴抽到一男一女学生的概率． 题型专练 1. 计算：； （2）解一元一次不等式组：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、立方根、一元一次不等式组的求解： （1）依次计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、立方根即可； （2）先求出两个一元一次不等式的解，从而可求不等式组的解． 【详解】解：（1）原式； （2）解得， 对于：， 去分母：， 即 解得， ∴不等式组的解集为． 2. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）首先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 3. 计算： (1)； (2)解不等式组：． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，不等式组的解法，熟练掌握各种计算公式，准确求不等式组的解集是解题的关键． （1）先去绝对值，把特殊角三角函数值代入，计算零指数幂，化为最简二次根式，再合并即可； （2）解出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为． 4. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，求不等式组的解集： （1）进行零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的计算，化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 5. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）3（2） 【分析】本题考查了三角函数，绝对值，零指数幂，根式运算，不等式组求解．熟练掌握三角函数，绝对值，零指数幂，根式运算，不等式组求解是解题的关键． （1）根据三角函数，绝对值，零指数幂，根式运算计算出各项的值再进行加减运算； （2）分别求出两个不等式的解集，然后取它们的交集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解第一个不等式 不等式两边同时乘以6去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：； 解第二个不等式：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时除以2得：； 综上所述，取交集得不等式组的解集为． 6. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】 （） （） 【分析】()需先依据零指数幂、特殊角三角函数值、立方根、绝对值的各自规则，分别将式子中的每一项转化为常规实数；再按照实数的加减运算法则计算最终结果，避免因某一项化简错误导致整体结果出错；零指数幂法则为任何非零数的次方都等于；特殊角的余弦值；立方根表示求的立方根；绝对值需要根据绝对值的代数意义化简，最后将各项化简结果进行计算； ()解不等式组需要分别求解每个不等式，然后取它们解集的交集，即为不等式组的解集；解单个不等式时，需严格遵循去分母、去括号、移项等步骤（尤其注意系数化为时，若系数为负数需反转不等号方向）；最后通过对比两个不等式的解集，找出它们的公共部分，即为不等式组的解集； 【详解】解：原式 ； 解不等式①： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化得：； 解不等式②：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化得：； 则不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算及一元一次不等式组的解法；混合运算关键是正确化简各项特殊运算并进行合并计算；解不等式组关键是先分别解出两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集． 7. （1）计算： （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）整数解为1，2，3． 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得公共部分得到不等式组的解集，进而可求得整数解． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则原不等式组的整数解为1，2，3． 8. 计算、解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)不等式组的解集为 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组. （1）先计算零指数幂，绝对值，三角函数，算术平方根，再计算加减即可； （2）分别求两不等式的解，再计算解集即可. 【详解】（1）原式 ； （2）由得， 由得：， 则不等式组的解集为． 9. （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法； （1）先化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，分母有理化，再合并即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）； 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 经检验：是增根，是原方程的解． 10. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元一次不等式组，掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别计算零指数幂，有理数的乘方，化简绝对值和特殊角的三角函数值，再进行加减计算； （2）分别求解每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解不等式①，去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解不等式②，去分母，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 原不等式组的解集是． 11. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）5；（2）． 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组等知识点，能根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键． （1）先化简二次根式，然后根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 12. 计算：． 【答案】（1）；【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，立方根和特殊角的三角函数值，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，有理数的乘方，立方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到为0，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； 13. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数、特殊角的三角函数值、负整数指数等知识，也考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （1）先计算0指数、代入特殊角的三角函数值、计算负整数指数、化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先求出每个不等式的解集，再找出其解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，，解得：， ∴不等式组的解集为． 14. 计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值、实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值计算，再结合实数的混合运算法则即可得解； （2）分别解出不等式①、②后，找出共同解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：解不等式①，， ， 得， 解不等式②，， 得， 不等式组的解集为． 15. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，解一元一次不等式组，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据事实的运算法则求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 16. ．3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． (1)此次共调查了 人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为 ； (2)补全条形统计图； (3)该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，求圆心角，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数；用C类的学生人数占总人数的比例乘以，即可求出扇形统计图中C类对应的圆心角度数； （2）用总人数减去类，类，类，类的人数即可得到类的人数，进而补全条形图； （3）利用画树状图法求解即可． 【详解】（1）解：本次调查总人数为（人）； 扇形统计图中C类对应的圆心角度数， 故答案为：，； （2）解：选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 17. 某校开展居家体育训练，倡导学生在家开展体育锻炼．返校后，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，如图是根据相关数据绘制的两幅不完整的统计图： 根据上述信息，回答下列问题： (1)在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 ， ； (2)补全频数直方图； (3)如果该校共有学生2000人，请你估计平均每天开展体育锻炼所用时长不少于30分钟的学生有多少人？ 【答案】(1)200，45 (2)图见解析 (3)估计平均每天开展体育锻炼所用时长不少于30分钟的学生有600人 【分析】本题主要考查了扇形统计图、频数直方图、样本容量、利用样本估算总体等知识， （1）利用“平均每天开展体育锻炼所用时长为分钟学生人数除以其占比”，即可计算调查的样本容量；结合扇形统计图和条形统计图计算的值，然后代入计算即可； （2）首先计算平均每天开展体育锻炼所用时长为分钟学生人数，然后补画频数直方图即可； （3）利用“该校学生总数参与调查的学生中平均每天开展体育锻炼所用时长不少于30分钟的学生占比”，即可获得答案． 【详解】（1）解：人，即样本容量为200， ，即， ，即， ∴， 故答案为：200，45； （2）人， 补全频数直方图如图所示； （3）人， 答：估计平均每天开展体育锻炼所用时长不少于30分钟的学生有600人． 18. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．全体初三年级学生的比赛成绩根据结果分为四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． (1)由图可知：该校初三共有___________名学生，比赛成绩等级为级的学生有___________人； (2)的值为：___________，B等级所对的圆心角为___________度； (3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个女生的概率． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，用列表法或树状图法求概率，求扇形统计图相关数据，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用成绩等级为等级的人数除以所占的比例即可得出总人数，用总人数减去其他等级的人数即可得出成绩等级为级的学生人数； （2）用成绩等级为等级的人数除以总人数即可得出的值，用乘以成绩为等级所占的比例即可得出结果； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：该校初三共有名学生； 比赛成绩等级为级的学生有（人）； 故答案为：；； （2）解：，故； B等级所对的圆心角为； （3）解：画树状图可得： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为种， 故抽取的2人中至少有1个女生的概率为． 19. 年“川超”联赛开赛以来热度高涨，某体育媒体针对参赛球员构成开展调研，涵盖：A、企业职工球员；B、中学生球员；C、大学生球员；D、退役运动员球员；E、自由职业者球员五类群体．调研员从支参赛队伍中随机抽取若干人，统计其身份类型，并将结果绘制成如下不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)在本次抽样调查中，样本容量是 ，在扇形统计图中，“A”所在扇形圆心角的度数为； (2)计算大学生球员的人数，并将条形统计图补充完整； (3)若“川超”联赛参赛球员总数为人，根据抽查结果，估计“大学生球员”共有多少人？ 【答案】(1)， (2)，图见解析 (3)人 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本容量，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确读懂统计图． (1)根据B的人数除以占比即可求解样本容量，再由乘以A的占比即可求解圆心角； (2)先求出C组人数，即可补全条形统计图； (3)用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：样本容量为， 表示“企业职工球员”的扇形的圆心角度数为， 故答案为：，； （2）解：C组人数：（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：（人）， 答：估计“大学生球员”共有人． 20. 为庆祝中国共产党建党周年，我区某校组织全校名学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次被抽取的部分人数是 名，扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 ； (2)根据抽样结果，请估计该校获得特等奖的人数为 名； (3)某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件∶树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为∶概率=所求情况数与总情况数之比，也考查了条形统计图和扇形统计图． （1）由C级的人数和所占百分比求出本次被抽取的部分人数，再由乘以B级所占的比例即可； （2）由全校学生名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解∶本次抽样测试的人数为∶ (名)， ∴扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是 故答案为∶，． （2）解：估计该校获得特等奖的人数为∶ (名)， 故答案为∶． （3）解：把小利、小芳、小明、小亮分别记为A、B、C、D， 画树状图如图∶ 共有种等可能的结果，小利被选中的结果有6种， 小利被选中的概率为∶． 答：小利被选中的概率为． 21. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； (2)该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； (3)将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】(1)400， (2)D (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； （2）解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； （3）解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 22. 今年8月在成都举行的世界大学生运动会再次引发成都市校园运动热潮．某校准备举办专题活动，在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（拔河），B（飞盘），C（轮滑），D（棒球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答以下问题： (1)求参与调查的学生中，愿意参加飞盘活动的学生人数，并补全条形统计图； (2)若该校共有2000名学生，请你估计该校愿意参加棒球活动的学生人数； (3)若从参与调查的2名男生和1名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)70人，见详解 (2)450人 (3) 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及列表法或树状图法求概率，用样本的百分比估计总体中的数量，解题的关键是理解条形图与扇形图中数据间的关系，画树状图． （1）先用愿意参加拔河活动的学生人数除以对应的百分比求出参与调查的学生，用总数减去已知项目的人数即可得到愿意参加飞盘活动的学生人数，据此补全条形统计图即可； （2）根据样本估计总体，用该校学生总数乘以愿意参加棒球活动的学生人数的百分比，即可估计该校愿意参加棒球活动的学生人数； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出 1 名男生和 1 名女生的情况数，根据概率公式即可得出所求概率． 【详解】（1）解：参与调查的学生总数为（人）， ∴愿意参加飞盘活动的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：人， 答：估计该校愿意参加棒球活动的学生人数为450人； （3）解：列表如下： 男1 男2 女 男1 男1，男2 男1，女 男2 男2，男1 男2，女 女 女，男1 女，男2 由表可得所有等可能的情况6种，其中抽取的两名学生为 1 名男生和 1 名女生共有4种， ∴恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为． 答：恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为． 23. 为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解决下列问题： (1)①此次调查一共抽取了______名学生； ②请将条形统计图补充完整； ③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度； (2)若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数． 【答案】(1)①40；②见解析；③90 (2)280人 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”课程的已知人数（16人）和对应百分比（）求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，最后通过样本比例估计总体人数． （1）①根据“部分数量对应百分比总体数量”，用科创实践的16人除以求出调查总人数；②用总人数减去“计算思维”（14人）和“科创实践”（16人）的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；③用“数字艺术”的人数除以总人数，再乘以，求出对应扇形圆心角； （2）先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再乘以该校参加课程的总人数800，估计总体人数． 【详解】（1）解：①∵ 科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，   ∴ 调查总人数为（名）．   故答案为：40；   ② 数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即（人）．   补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；   ③ 扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为 故答案为：90； （2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为， ∵ 该校共有800名学生参加课程，   ∴ 估计喜欢计算思维课程的学生人数为（人）．   答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $